(4 dạng) Bài tập Dạng lượng giác của số phức ôn thi Tốt nghiệp
Bài viết Dạng lượng giác của số phức ôn thi Tốt nghiệp môn Toán với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Dạng lượng giác của số phức.
(4 dạng) Bài tập Dạng lượng giác của số phức ôn thi Tốt nghiệp
Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác
1. Phương pháp giải
*Định nghĩa: Cho số phức z ≠ 0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.
* Cho số phức z = a+ bi, (a,b ∈ R) Để viết số phức z dưới dạng lượng giác ta làm như sau:
+ Tìm một acgumen của số phức z là φ
+ Tính môđun của số phức z: |z| = r =
.
+ Khi đó, ta có z = r.(cosφ + i.sinφ)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết số phức z = 6 + 6i dưới dạng lượng giác?
A. z = 6√2(cos
+ i.sin
)
B. z = 6(cos
+ i.sin
)
C. z = 3√2(cos
+ i.sin
)
D. z = 3√2(cos
+ i.sin
)
Lời giải:
Ta có: |z| = r = 
= 6√2
Chọn φ là số thực thoả mãn
⇒ φ =
.
Do đó, dạng lượng giác của số phức z là:
z = 6√2(cos
+ i.sin
)
Chọn A.
Ví dụ 2: Viết số 10 dưới dạng lượng giác?
A. 10.(cosπ + isinπ)
B. 10.(cos 0 + i.sin0)
C. 10√2(cos
+ i.sin
)
D. 10√2(cos
+ i.sin
)
Lời giải:
Ta có: Số 10 có mô dun là 10 và có một acgumen bằng 0 nên nó có dạng lượng giác là:
10.(cos0 + i.sin0).
Chọn B.
Ví dụ 3: Viết số -
dưới dạng lượng giác.
A. -
(cos0 + i.sin0)
B.
(cos-2π + i.sin-2π)
C.
(cosπ + i.sinπ)
D. -
(cos3π + i.sin3π)
Lời giải:
Số -
có mô đun là
, có một acgumen là π nên số đó có dạng lượng giác là:
-
=
(cosπ + i.sinπ)
Chọn C.
Ví dụ 4: Viết số phức z =
dưới dạng lượng giác?
A. 
[cos(-
) + isin(-
)]
B.
[cos(-
) + isin(-
)]
C. 
[cos(
) + isin(
)]
D.
[cos(
) + isin(
)]
Lời giải:
Ta có: z =
= 
= 
Ta có |z| = 
=
Một acgumen là φ thỏa mãn:
cosφ = 
; sinφ = -
⇒ φ = -
Do đó ,dạng lượng giác của số phức z là:
z =
=
[cos(-
) + isin(-
)] .
Chọn B.
Ví dụ 5: Viết số phức z = 100i dưới dạng lượng giác?
A. z = 100.√2(cos
+ i.sin
)
B. z = 100.
(cos
+ i.sin
)
C. z = 100.√2(cos
+ i.sin
)
D. z = 100(cos
+ i.sin
)
Lời giải:
Ta có: |z| = 
= 100
Gọi φ là một acgumen của z thì φ thỏa mãn: cosφ = 0; sinφ = 1 ⇒ φ =
Do đó, dạng lượng giác của số phức z là :
z = 100(cos
+ i.sin
)
Chọn D.
Dạng 2: Nhân, chia số phức dạng lượng giác
1. Phương pháp giải
Nếu z = r.(cosφ + i.sinφ) và
z' = r'.(cosφ' + i.sinφ'); (r ≥ 0; r' ≤ 0)
Thì
z.z' = r.r'[cos(φ + φ') + i.sin(φ + φ')]
= 
.[cos(φ' - φ) + i.sin(φ' - φ)]; (r > 0)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = (1 - i√3).(1 + i)
A. z = 2√2[cos(- 
) + i.sin(-
)]
B. z = 2[cos(-
) + i.sin(-
)]
C. z = 
[cos(-
) + i.sin(-
)]
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có:
1 - i√3 = 2.[cos(- 
) + isin(-
)]
1 + i = √2[cos
+ i.sin
]
Áp dụng công thức nhân, chia số phức ta đuợc:
z = (1 - i√3)(1 + i)
= 2√2[cos(-
) + i.sin(-
)]
Chọn A.
Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =
A. 2[cos-
+ i.sin-
]
B. 2√2[cos
+ i.sin
]
C. √2[cos-
+ i.sin-
]
D. 
[cos
+ i.sin
]
Lời giải:
Ta có: 2 + 2i = 2√2[cos
+ i.sin
]
Và 1 + √3i = 2.[cos
+ i.sin
]
Do đó: z =
= 
= √2[cos-
+ i.sin-
]
Chọn C.
Ví dụ 3: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =
A. 
(cos
+ i.sin
)
B.
(cos-
+ i.sin-
)
C. 
(cos-
+ i.sin-
)
D.
(cos
+ i.sin
)
Lời giải:
Ta có: 3 = 3.(cos0 + i.sin0)
10√3 + 10i = 20.(cos
+ i.sin
)
Do đó, z =
= 
=
(cos-
+ i.sin-
)
Chọn B.
Ví dụ 4: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =
A. 
[cos(
) + i.sin(
)]
B. 
[cos(
) + i.sin(
)]
C.
[cos(-
) + i.sin(-
)]
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có: √3 + i = 2(cos
+ i.sin
)
2 + 2i = 2√2.(cos
+ i.sin
)
⇒ (√3 + 1)(2 + 2i) = 4√2(cos
+ i.sin
)
Lại có; 1 - i = √2.(cos(-
) + i.sin(-
))
Suy ra:
z =
= 
.[cos(-
-
) + i.sin(-
-
)]
=
[cos(-
) + i.sin(-
)]
Chọn C.
Dạng 3: Công thức Moa-vro
1. Phương pháp giải
* Công thức Moa- vro
Cho số nguyên dương n ta có;
[r(cosφ + i.sinφ)]n = rn(cos(nφ) + i.sin(nφ))
Khi r = 1 ta có:
(cosφ + i.sinφ)n = cos(nφ) + i.sin(nφ)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: z = (√2 + √2i)10
A. 25(cos
+ i.sin
)
B. 210(cos
+ i.sin
) .
C. 25(cos(-
) + i.sin(-
) )
D. 210(cos
+ i.sin
)
Lời giải:
Ta có: √2 + √2i = 2.(cos
+ i.sin
)
Do đó,
z = (√2 + √2i)10 = [2.(cos
+ i.sin
)]10
= 210(cos
+ i.sin
)
= 210.(cos
+ i.sin
)
Chọn D.
Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =
A. 
(cos(-4π) + i.sin(-4π))
B.
(cos(-3π) + i.sin(-3π))
C.
(cos(2π) + i.sin(2π))
D.
(cos(-4π) - i.sin(-4π))
Lời giải:
* Ta có:
1 - i = √2(cos(-
) + i.sin(-
))
⇒ (1 - i)10
= √210.[cos(-10.
) + i.sin(-10.
)]
= 25[cos(-
) + i.sin(-
)]
* Lại có:
√3 + i = 2(cos
+ i.sin
)
⇒ (√3 + i)9 = 29.(cos9.
+ i.sin9.
)
= 29.(cos
+ i.sin
)
* Do đó,
z =
= 
=
(cos(-4π) + i.sin(-4π))
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho số phức sau
(cos
- i.sin
)i5(1 + √3i)7
Tìm phần ảo của số phức.
A. 64 B. 128 C. 256 D. 32
Lời giải:
Ta có: 1 + √3i = 2.(cos
+ i.sin
) và i4 = 1 nên ta có:
(cos
- i.sin
)i5(1 + √3i)7
= (cos
- i.sin
).i.[2(cos
+ i.sin
)]7
= 27(cos(-
) + i.sin(-
)).i.[(cos
+ i.sin
)]
= 27[cos2π + isin2π]i = 27i
Vậy phần ảo bằng 27 = 128.
Chọn B.
Ví dụ 4: Tính số phức sau:
A. 1+ i B. 2 + 2i C. – 1 D. 2i
Lời giải:
* Ta có: 1 - i = √2.(cos(-
) + i.sin(-
))
√3 + i = 2(cos
+ i.sin
)
-1 - i√3 = 2(cos
+ i.sin
)
* Do đó:
z = 
= 
= 
= cos(-15π) + i.sin(-15π) = -1
Chọn C.
Ví dụ 5: Cho số phức z = 1 - cos
+ i.sin
.Tính z1012
A. (2sin
)2012(
+
i)
B. (2sin
)2012(
+
i)
C. (2sin
)2012(
+
i)
D. (2sin
)2012(
+
i)
Lời giải:
Ta có:
z = 2sin2
+ 2isin
cos
= 2sin
(sin
+ icos
)
= 2sin
(cos
+ isin
)
⇒ z2012
= (2sin
)2012(cos
+ isin
)2012
= (2sin
)2012(cos
+ isin
)
= (2sin
)2012(cos
+ isin
)
= (2sin
)2012(
+
i)
Chọn A.
Dạng 4: Ứng dụng công thức Moa- vro
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình:
z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0?
A. z = -1; z =
+
i ; z = -
-
i ;
z =
-
i ; z = -
+
i .
B. z = -1; z = 1 +
i ; z = - 1 -
i ; z =
-
i ; z = -
+
i .
C. z = -1; z =
+
i ; z = -
-
i ;
z =
- √3i ; z = -
+ √3i.
D. z = -1; z = 1 + √3i ; z = -
-
i ; z = 1 - √3i ;
z = -
+
i .
Lời giải:
Ta có: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0
⇔ z4.(z + 1) + z2.(z + 1) + (z+ 1) = 0
⇔ ( z+1).(z4 + z2 + 1) = 0
⇔ 
Xét phương trình: z4 + z2 + 1 = 0 (*)
Đặt t = z2, khi đó phương trình (*) trở thành: t2 + t + 1 = 0 (**)
Có ∆ = 12 – 4.1.1 = - 3.
Khi đó, (**) có hai nghiệm phức là:
t =
⇒ z2 =
⇔ 
Từ z2 = cos
+ isin
⇒ 
Từ z2 = cos(-
) + isin(-
)
⇒ 
Vậy phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm:
z = -1; z =
+
i ; z = -
-
i ;
z =
-
i ; z = -
+
i .
Chọn A.
Ví dụ 2: Giải phương trình z6 + 64= 0 ?
A. √3 ± 2i; ±2i; -√3 ± i
B. √3 ± i; ±2i; -√3 ± i
C. √3 ± i; ±2i; -√3 ± 2i
D. 1 ± √3; ±2i; 1 ± √3
Lời giải:
Ta có: : z6 + 64 = 0 ⇔ z6 = - 64.
+ Giả sử z = x + yi = r(cosφ + isinφ);
(x,y ∈ R)
⇒ z6 = r6.(cos6φ + isin6φ) (1)
+ Ta có: -64 = 64(cosπ + isinπ) và z6 = -64 (2)
Từ (1), (2)
⇒ r6(cos6φ + isin6φ)= 64(cosπ + isinπ)
⇒ r6 = 64 ⇒ r = 2( vì r > 0).
Và cos6φ + isin6φ = cosπ + isinπ
⇒ 6φ = π +2kπ (k ∈ Z)
⇒ φ =
+ 2k
Với k = 0 ⇒ z1 = 2(cos
+ isin
) = √3 + i
Với k = -1
⇒ z2 = 2(cos(-
) + isin(-
)) = √3 - i
Với k = 1 ⇒ z3 = 2(cos
+ isin
) = 2i
Với k = -2
⇒ z4 = 2(cos(-
) + isin(-
)) = -2i
Với k = -3
⇒ z5 = 2(cos(- 
) + isin(-
)) = - √3 - i
Với k = 4
⇒ z6 = 2(cos
+ isin
) = - √3 + i
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm là: √3 ± i; ±2i; -√3 ± i
Chọn B ..
Ví dụ 3: Gọi S là tập hợp các số nguyên dương n và n ∈ [1; 10] sao cho số phức z = (1 + i√3)n là số thực. Số phần tử của tập S là?
A. 2 B.3 C. 4 D. 5
Lời giải:
Ta có: 1 + i√3 = 2(cos
+ isin
)
⇒ z = 2n(cos
+ isin
)
Để z ∈ R ⇒ 2n.sin
= 0 ⇒ sin
= 0
⇒ n chia hết cho 3, mà n nguyên dương
n ∈ [1;10]
⇒ n ∈ {3;6;9}.
Do đó, tập S có ba phần tử.
Chọn B.
Ví dụ 4: Tìm số phức z sao cho z5 và
là hai số phức liên hợp ?
A. z1 = 1; z2 =
+
i; z3 =
-
i
B. z1 = - 1; z2 =
+
i; z3 = -
-
i
C. z1 = 1; z2 = -
+
i; z3 = -
-
i
D. Đáp án khác.
Lời giải:
* Gọi dạng lượng giác của số phức z là:
z = r(cosφ + i.sinφ)
⇒ z5 = r5(cos5φ + i.sin5φ);
z2 = r2(cos2φ + i.sin2φ)
⇒ 
= r5(cos5φ - i.sin5φ)
= r5(cos(-5φ) + i.sin(-5φ))
*
= 
= 
[cos(-2φ) + i.sin(-2φ)]
* Do đó z5 và
là hai số phức liên hợp khi và chỉ khi
=
Hay là: r5(cos(-5φ) + i.sin(-5φ))
=
[cos(-2φ) + i.sin(-2φ)]
⇔ 
⇒ z = cos
+ i.sin
Vì φ ∈ [0; 2π] nên k ∈ {0; 1; 2}
Vậy số phức cần tìm là
z = cos
+ i.sin
với k ∈ {0; 1; 2}
Hay z1 = 1; z2 = -
+
i; z3 = -
-
i
Chọn C.
Ví dụ 5: Tính S1 = 
- 
+ 
- 
+ 
- ...
A. (√2)ncos
B. 2ncos
C. (√2)ncos
D. 2ncos
Lời giải:
Xét khai triển nhị thức Newton:
(1 + i)n =
+ i.
+ i2.
+ i3.
+ i4.
+ ...
+ in-1.
+ in.
Vì ik = 
m ∈ Z+ nên ta có:
(1 + i)n =
-
+
- ... + i(
-
+ 
- ...); (1)
Mặt khác, theo công thức Moivre thì:
(1 + i)n = (√2)n(cos
+ i.sin
)n
= (√2)n(cos
+ i.sin
) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
S1 =
-
+
-
+
- ...
= (√2)ncos
Chọn A
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp có lời giải hay khác:
- 6 dạng bài tập số phức cơ bản ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)
- 6 dạng bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)
- 5 dạng bài tập Tập hợp điểm biểu diễn số phức ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)
- Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức (cực hay)
TÀI LIỆU FILE WORD DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12
+ Bộ giáo án, đề thi tốt nghiệp THPT, DGNL các trường các trường có lời giải chi tiết 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/
+ Hỗ trợ zalo: VietJack Official
+ Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 12 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 12 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 12 Friends Global
- Lớp 12 Kết nối tri thức
- Soạn văn 12 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 12 (ngắn nhất) - KNTT
- Giải sgk Toán 12 - KNTT
- Giải sgk Vật Lí 12 - KNTT
- Giải sgk Hóa học 12 - KNTT
- Giải sgk Sinh học 12 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 12 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 12 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - KNTT
- Giải sgk Tin học 12 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 12 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 12 - KNTT
- Giải sgk Mĩ thuật 12 - KNTT
- Lớp 12 Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 12 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 12 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 12 - CTST
- Giải sgk Vật Lí 12 - CTST
- Giải sgk Hóa học 12 - CTST
- Giải sgk Sinh học 12 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 12 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 12 - CTST
- Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - CTST
- Giải sgk Tin học 12 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 12 - CTST
- Lớp 12 Cánh diều
- Soạn văn 12 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 12 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 12 Cánh diều
- Giải sgk Vật Lí 12 - Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 12 - Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 12 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 12 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 12 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 12 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 12 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 12 - Cánh diều
Giải bài tập SGK & SBT
Tài liệu giáo viên
Sách
Khóa học
Thi online
Hỏi đáp
