Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)
Bài viết Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học (4 dạng) với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học (4 dạng).
Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)
Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác
1. Phương pháp giải
*Định nghĩa: Cho số phức z ≠ 0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.
* Cho số phức z = a+ bi, (a,b ∈ R) Để viết số phức z dưới dạng lượng giác ta làm như sau:
+ Tìm một acgumen của số phức z là φ
+ Tính môđun của số phức z: |z| = r =
.
+ Khi đó, ta có z = r.(cosφ + i.sinφ)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết số phức z = 6 + 6i dưới dạng lượng giác?
A. z = 6√2(cos
+ i.sin
)
B. z = 6(cos
+ i.sin
)
C. z = 3√2(cos
+ i.sin
)
D. z = 3√2(cos
+ i.sin
)
Lời giải:
Ta có: |z| = r = 
= 6√2
Chọn φ là số thực thoả mãn
⇒ φ =
.
Do đó, dạng lượng giác của số phức z là:
z = 6√2(cos
+ i.sin
)
Chọn A.
Ví dụ 2: Viết số 10 dưới dạng lượng giác?
A. 10.(cosπ + isinπ)
B. 10.(cos 0 + i.sin0)
C. 10√2(cos
+ i.sin
)
D. 10√2(cos
+ i.sin
)
Lời giải:
Ta có: Số 10 có mô dun là 10 và có một acgumen bằng 0 nên nó có dạng lượng giác là:
10.(cos0 + i.sin0).
Chọn B.
Ví dụ 3: Viết số -
dưới dạng lượng giác.
A. -
(cos0 + i.sin0)
B.
(cos-2π + i.sin-2π)
C.
(cosπ + i.sinπ)
D. -
(cos3π + i.sin3π)
Lời giải:
Số -
có mô đun là
, có một acgumen là π nên số đó có dạng lượng giác là:
-
=
(cosπ + i.sinπ)
Chọn C.
Ví dụ 4: Viết số phức z =
dưới dạng lượng giác?
A. 
[cos(-
) + isin(-
)]
B.
[cos(-
) + isin(-
)]
C. 
[cos(
) + isin(
)]
D.
[cos(
) + isin(
)]
Lời giải:
Ta có: z =
= 
= 
Ta có |z| = 
=
Một acgumen là φ thỏa mãn:
cosφ = 
; sinφ = -
⇒ φ = -
Do đó ,dạng lượng giác của số phức z là:
z =
=
[cos(-
) + isin(-
)] .
Chọn B.
Ví dụ 5: Viết số phức z = 100i dưới dạng lượng giác?
A. z = 100.√2(cos
+ i.sin
)
B. z = 100.
(cos
+ i.sin
)
C. z = 100.√2(cos
+ i.sin
)
D. z = 100(cos
+ i.sin
)
Lời giải:
Ta có: |z| = 
= 100
Gọi φ là một acgumen của z thì φ thỏa mãn: cosφ = 0; sinφ = 1 ⇒ φ =
Do đó, dạng lượng giác của số phức z là :
z = 100(cos
+ i.sin
)
Chọn D.
Dạng 2: Nhân, chia số phức dạng lượng giác
1. Phương pháp giải
Nếu z = r.(cosφ + i.sinφ) và
z' = r'.(cosφ' + i.sinφ'); (r ≥ 0; r' ≤ 0)
Thì
z.z' = r.r'[cos(φ + φ') + i.sin(φ + φ')]
= 
.[cos(φ' - φ) + i.sin(φ' - φ)]; (r > 0)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = (1 - i√3).(1 + i)
A. z = 2√2[cos(- 
) + i.sin(-
)]
B. z = 2[cos(-
) + i.sin(-
)]
C. z = 
[cos(-
) + i.sin(-
)]
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có:
1 - i√3 = 2.[cos(- 
) + isin(-
)]
1 + i = √2[cos
+ i.sin
]
Áp dụng công thức nhân, chia số phức ta đuợc:
z = (1 - i√3)(1 + i)
= 2√2[cos(-
) + i.sin(-
)]
Chọn A.
Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =
A. 2[cos-
+ i.sin-
]
B. 2√2[cos
+ i.sin
]
C. √2[cos-
+ i.sin-
]
D. 
[cos
+ i.sin
]
Lời giải:
Ta có: 2 + 2i = 2√2[cos
+ i.sin
]
Và 1 + √3i = 2.[cos
+ i.sin
]
Do đó: z =
= 
= √2[cos-
+ i.sin-
]
Chọn C.
Ví dụ 3: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =
A. 
(cos
+ i.sin
)
B.
(cos-
+ i.sin-
)
C. 
(cos-
+ i.sin-
)
D.
(cos
+ i.sin
)
Lời giải:
Ta có: 3 = 3.(cos0 + i.sin0)
10√3 + 10i = 20.(cos
+ i.sin
)
Do đó, z =
= 
=
(cos-
+ i.sin-
)
Chọn B.
Ví dụ 4: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =
A. 
[cos(
) + i.sin(
)]
B. 
[cos(
) + i.sin(
)]
C.
[cos(-
) + i.sin(-
)]
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có: √3 + i = 2(cos
+ i.sin
)
2 + 2i = 2√2.(cos
+ i.sin
)
⇒ (√3 + 1)(2 + 2i) = 4√2(cos
+ i.sin
)
Lại có; 1 - i = √2.(cos(-
) + i.sin(-
))
Suy ra:
z =
= 
.[cos(-
-
) + i.sin(-
-
)]
=
[cos(-
) + i.sin(-
)]
Chọn C.
Dạng 3: Công thức Moa-vro
1. Phương pháp giải
* Công thức Moa- vro
Cho số nguyên dương n ta có;
[r(cosφ + i.sinφ)]n = rn(cos(nφ) + i.sin(nφ))
Khi r = 1 ta có:
(cosφ + i.sinφ)n = cos(nφ) + i.sin(nφ)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: z = (√2 + √2i)10
A. 25(cos
+ i.sin
)
B. 210(cos
+ i.sin
) .
C. 25(cos(-
) + i.sin(-
) )
D. 210(cos
+ i.sin
)
Lời giải:
Ta có: √2 + √2i = 2.(cos
+ i.sin
)
Do đó,
z = (√2 + √2i)10 = [2.(cos
+ i.sin
)]10
= 210(cos
+ i.sin
)
= 210.(cos
+ i.sin
)
Chọn D.
Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =
A. 
(cos(-4π) + i.sin(-4π))
B.
(cos(-3π) + i.sin(-3π))
C.
(cos(2π) + i.sin(2π))
D.
(cos(-4π) - i.sin(-4π))
Lời giải:
* Ta có:
1 - i = √2(cos(-
) + i.sin(-
))
⇒ (1 - i)10
= √210.[cos(-10.
) + i.sin(-10.
)]
= 25[cos(-
) + i.sin(-
)]
* Lại có:
√3 + i = 2(cos
+ i.sin
)
⇒ (√3 + i)9 = 29.(cos9.
+ i.sin9.
)
= 29.(cos
+ i.sin
)
* Do đó,
z =
= 
=
(cos(-4π) + i.sin(-4π))
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho số phức sau
(cos
- i.sin
)i5(1 + √3i)7
Tìm phần ảo của số phức.
A. 64 B. 128 C. 256 D. 32
Lời giải:
Ta có: 1 + √3i = 2.(cos
+ i.sin
) và i4 = 1 nên ta có:
(cos
- i.sin
)i5(1 + √3i)7
= (cos
- i.sin
).i.[2(cos
+ i.sin
)]7
= 27(cos(-
) + i.sin(-
)).i.[(cos
+ i.sin
)]
= 27[cos2π + isin2π]i = 27i
Vậy phần ảo bằng 27 = 128.
Chọn B.
Ví dụ 4: Tính số phức sau:
A. 1+ i B. 2 + 2i C. – 1 D. 2i
Lời giải:
* Ta có: 1 - i = √2.(cos(-
) + i.sin(-
))
√3 + i = 2(cos
+ i.sin
)
-1 - i√3 = 2(cos
+ i.sin
)
* Do đó:
z = 
= 
= 
= cos(-15π) + i.sin(-15π) = -1
Chọn C.
Ví dụ 5: Cho số phức z = 1 - cos
+ i.sin
.Tính z1012
A. (2sin
)2012(
+
i)
B. (2sin
)2012(
+
i)
C. (2sin
)2012(
+
i)
D. (2sin
)2012(
+
i)
Lời giải:
Ta có:
z = 2sin2
+ 2isin
cos
= 2sin
(sin
+ icos
)
= 2sin
(cos
+ isin
)
⇒ z2012
= (2sin
)2012(cos
+ isin
)2012
= (2sin
)2012(cos
+ isin
)
= (2sin
)2012(cos
+ isin
)
= (2sin
)2012(
+
i)
Chọn A.
Dạng 4: Ứng dụng công thức Moa- vro
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình:
z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0?
A. z = -1; z =
+
i ; z = -
-
i ;
z =
-
i ; z = -
+
i .
B. z = -1; z = 1 +
i ; z = - 1 -
i ; z =
-
i ; z = -
+
i .
C. z = -1; z =
+
i ; z = -
-
i ;
z =
- √3i ; z = -
+ √3i.
D. z = -1; z = 1 + √3i ; z = -
-
i ; z = 1 - √3i ;
z = -
+
i .
Lời giải:
Ta có: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0
⇔ z4.(z + 1) + z2.(z + 1) + (z+ 1) = 0
⇔ ( z+1).(z4 + z2 + 1) = 0
⇔ 
Xét phương trình: z4 + z2 + 1 = 0 (*)
Đặt t = z2, khi đó phương trình (*) trở thành: t2 + t + 1 = 0 (**)
Có ∆ = 12 – 4.1.1 = - 3.
Khi đó, (**) có hai nghiệm phức là:
t =
⇒ z2 =
⇔ 
Từ z2 = cos
+ isin
⇒ 
Từ z2 = cos(-
) + isin(-
)
⇒ 
Vậy phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm:
z = -1; z =
+
i ; z = -
-
i ;
z =
-
i ; z = -
+
i .
Chọn A.
Ví dụ 2: Giải phương trình z6 + 64= 0 ?
A. √3 ± 2i; ±2i; -√3 ± i
B. √3 ± i; ±2i; -√3 ± i
C. √3 ± i; ±2i; -√3 ± 2i
D. 1 ± √3; ±2i; 1 ± √3
Lời giải:
Ta có: : z6 + 64 = 0 ⇔ z6 = - 64.
+ Giả sử z = x + yi = r(cosφ + isinφ);
(x,y ∈ R)
⇒ z6 = r6.(cos6φ + isin6φ) (1)
+ Ta có: -64 = 64(cosπ + isinπ) và z6 = -64 (2)
Từ (1), (2)
⇒ r6(cos6φ + isin6φ)= 64(cosπ + isinπ)
⇒ r6 = 64 ⇒ r = 2( vì r > 0).
Và cos6φ + isin6φ = cosπ + isinπ
⇒ 6φ = π +2kπ (k ∈ Z)
⇒ φ =
+ 2k
Với k = 0 ⇒ z1 = 2(cos
+ isin
) = √3 + i
Với k = -1
⇒ z2 = 2(cos(-
) + isin(-
)) = √3 - i
Với k = 1 ⇒ z3 = 2(cos
+ isin
) = 2i
Với k = -2
⇒ z4 = 2(cos(-
) + isin(-
)) = -2i
Với k = -3
⇒ z5 = 2(cos(- 
) + isin(-
)) = - √3 - i
Với k = 4
⇒ z6 = 2(cos
+ isin
) = - √3 + i
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm là: √3 ± i; ±2i; -√3 ± i
Chọn B ..
Ví dụ 3: Gọi S là tập hợp các số nguyên dương n và n ∈ [1; 10] sao cho số phức z = (1 + i√3)n là số thực. Số phần tử của tập S là?
A. 2 B.3 C. 4 D. 5
Lời giải:
Ta có: 1 + i√3 = 2(cos
+ isin
)
⇒ z = 2n(cos
+ isin
)
Để z ∈ R ⇒ 2n.sin
= 0 ⇒ sin
= 0
⇒ n chia hết cho 3, mà n nguyên dương
n ∈ [1;10]
⇒ n ∈ {3;6;9}.
Do đó, tập S có ba phần tử.
Chọn B.
Ví dụ 4: Tìm số phức z sao cho z5 và
là hai số phức liên hợp ?
A. z1 = 1; z2 =
+
i; z3 =
-
i
B. z1 = - 1; z2 =
+
i; z3 = -
-
i
C. z1 = 1; z2 = -
+
i; z3 = -
-
i
D. Đáp án khác.
Lời giải:
* Gọi dạng lượng giác của số phức z là:
z = r(cosφ + i.sinφ)
⇒ z5 = r5(cos5φ + i.sin5φ);
z2 = r2(cos2φ + i.sin2φ)
⇒ 
= r5(cos5φ - i.sin5φ)
= r5(cos(-5φ) + i.sin(-5φ))
*
= 
= 
[cos(-2φ) + i.sin(-2φ)]
* Do đó z5 và
là hai số phức liên hợp khi và chỉ khi
=
Hay là: r5(cos(-5φ) + i.sin(-5φ))
=
[cos(-2φ) + i.sin(-2φ)]
⇔ 
⇒ z = cos
+ i.sin
Vì φ ∈ [0; 2π] nên k ∈ {0; 1; 2}
Vậy số phức cần tìm là
z = cos
+ i.sin
với k ∈ {0; 1; 2}
Hay z1 = 1; z2 = -
+
i; z3 = -
-
i
Chọn C.
Ví dụ 5: Tính S1 = 
- 
+ 
- 
+ 
- ...
A. (√2)ncos
B. 2ncos
C. (√2)ncos
D. 2ncos
Lời giải:
Xét khai triển nhị thức Newton:
(1 + i)n =
+ i.
+ i2.
+ i3.
+ i4.
+ ...
+ in-1.
+ in.
Vì ik = 
m ∈ Z+ nên ta có:
(1 + i)n =
-
+
- ... + i(
-
+ 
- ...); (1)
Mặt khác, theo công thức Moivre thì:
(1 + i)n = (√2)n(cos
+ i.sin
)n
= (√2)n(cos
+ i.sin
) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
S1 =
-
+
-
+
- ...
= (√2)ncos
Chọn A
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- 6 dạng bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải
- 6 dạng bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức trong đề thi Đại học có lời giải
- 5 dạng bài tập Tập hợp điểm biểu diễn số phức trong đề thi Đại học có lời giải
- Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức (cực hay)
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12
Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12
