(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Bài viết Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp môn Toán với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức.

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức

1. Phương pháp giải

Quảng cáo

Cho số phức z= a + bi, ( a,b ∈ R). Tìm căn bậc hai của số phức z.

Gọi ω = c + di, ( c,d ∈ R ) là căn bậc hai của z.

Suy ra: z=ω 2 ⇒ a + bi = ( c + di)2

⇒ a + bi= c2 + 2cdi – d2

⇒ ( a – c2 + d2) + ( b – 2cd)i = 0

+ Từ đó , ta có hệ phương trình:

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Giải hệ phương trình trên ta được c và d. Từ đó, suy ra căn bậc hai của z.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm các căn bậc 2 của z = – 5 + 12i

A. 2 + 3i và – 2 - 3i     B. 1 + 4i và – 1- 4i

C. 2- 3i và – 2 + 3i     D. 3 – 4i và -3 + 4i

Lời giải:

Gọi = a + bi, là căn bậc hai của số phức z

Suy ra: (a + bi)2 = - 5 + 12i

⇒ a2 + 2abi- b2 = - 5 + 12i

⇒ (a2- b2 + 5) + (2ab – 12) i =0

Từ phương trình trên ta có hệ phương trình :

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Rút b từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất, ta có:

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Hệ này có 2 nghiệm: (2; 3) và ( -2; -3).

Vậy số phức z có 2 căn bậc hai là 2 + 3i và – 2- 3i.

Chọn A

Quảng cáo

Ví dụ 2: Gọi z là căn bậc hai của số phức ω = 4 + 6√5i . Tìm mô đun của z?

A. 3     B. 4     C. √14     D.√10

Lời giải:

Gọi z = x + yi, (x,y∈ R) là một căn bậc hai của ω

Khi đó ta có:

(x + yi)2 = 4 + 6√5i
⇒ x2 + 2xyi - y2 = 4 + 6√5i

⇒(x2 - y2-4) + (2xy - 6√5)i =0

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Giải hệ phương trình tìm được nghiệm:

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: z1 = 3 + i√5; z2 = -3 -i√5

|z1 | = |z2| = √14

Chọn C

Ví dụ 3: Cho số phức z = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp .
Gọi ω = a + bi ( a,b ∈ R) là căn bậc hai của số phức z. Tính P= a2 + b2 ?

A. ±3     B. ±√10     C. ±√5     D. ±√13

Lời giải:

Ta có: z = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp
= (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp = -1 + 3i

Do ω = a + bi ( a,b ∈ R) là căn bậc hai của số phức z.

⇒ ( a + bi)2 = -1 + 3i

⇔ a2 + 2abi – b2 + 1 – 3i = 0

⇔( a2 – b2 + 1) + ( 2ab – 3) =0

Từ đó ta có hệ phương trình sau:

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Chọn B

Ví dụ 4: Gọi ω = 2 + ai ( a ∈ R) là một căn bậc hai của số phức z= b + 12i; (b ∈ R) . Tính a + b?

A.-1     B. 1     C. – 2     D. 3

Lời giải:

Do ω = 2 + ai là một căn bậc hai của số phức z = b + 12i nên ta có:

( 2 + ai)2 = b + 12i

⇔ 4 + 4ai- a2 = b + 12i

⇔ (4 – a2 – b) + ( 4a – 12)i =0

Từ đó ta có hệ phương trình sau:

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Do đó, a + b = 3 + (-5) = - 2.

Chọn C.

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai trên tập số phức

1. Phương pháp giải

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0; (a,b,c ∈ R a≠0 ) . Xét Δ = b2 - 4ac , ta có

• ∆ =0 phương trình có nghiệm thực : x = -b/2a

• ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi : x1,2 = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

• ∆ < 0 phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi : x1,2 = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Chú ý:

* Có thể dùng biệt thức ∆’= b’2 – ac (với b= 2b’)

Khi đó nghiệm của phương trình bậc hai đã cho được xác định bởi công thức:
x1,2 = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Quảng cáo

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Nghiệm của phương trình z2 - 2z + 7 =0 trên tập số phức là:

A. z = 1±√6i     B. z = 1±2√2i

C. z = 1±√7i     D.z = 1±√2i

Lời giải:

Ta có: ∆’= b’2 – ac = (-1)2 – 7.1 = - 6 < 0

Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm phức: z = 1 + √6i và z = 1-√6i

Chọn A.

Ví dụ 2: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2z2 – 6z + 5 =0. Tìm i.z0?

A. iz0 = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp         B. iz0 = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp    

C. iz0 = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp         D. iz0 = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Lời giải:

Xét phương trình: 2z2 – 6z + 5= 0

Có ∆’= (-3)2 – 2. 5 = -1

Phương trình đã cho có hai nghiệm phức là : (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Do đó, nghiệm z0 có phần ảo âm là
z0 = z2 = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Do đó : i.z0 = ((6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp ).i = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Chọn B.

Ví dụ 3: : Gọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình z2 – 4z + 9= 0. Gọi M, N là các điểm biểu diễn của z1 và z2 trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của MN là:

A. MN = 4    B. MN = 5

C. MN = 2√5     D. MN = √5

Lời giải:

Xét phương trình z2 – 4z + 9=0

⇔ z2 – 4z + 4 =- 5 ⇔ ( z-2)2 = 5i2

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Khi đó, tọa độ hai điểm M và N biểu diễn hai số phức z1, z2 là M(2;√5);N(2;-√5) .

⇒ MN = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp = 2√5

Chọn C.

Ví dụ 4:. Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4z2 – 16z + 17 = 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w= i.z0 ?

A. M((6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp ;2).    B. M(- (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp ;2)

C. M((6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp ;2).    D. M(- (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp ;2).

Lời giải:

Xét phương trình: 4z2 – 16z + 17 = 0 có ∆’= 82 – 4. 17= - 4= (2i)2.

Phương trình có hai nghiệm
z1 = 2- (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp ; z2 = 2 + (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp .

Do z0 là nghiệm phức có phần ảo dương nên z0 = z2 = 2 + (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp .

Ta có w= i.z0 = (2 + (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp).i = -1⁄2 + 2i

Điểm biểu diễn số phức w là M(- (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp ;2)

.

Chọn B.

Quảng cáo

Dạng 3: Giải phương trình bậc cao trên tập số phức

1. Phương pháp giải

+ Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích, trong đó mỗi nhân tử là phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Chú ý sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

+ Dùng phương pháp đặt ẩn phụ.

+ Với phương trình trùng phương bậc bốn:
az4 + bz2 + c=0(a ≠ 0) Đặt t = z2 .

+ Nhẩm nghiệm, phép chia đa thức cho đa thức....

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho phương trình sau:
z3 - 3( 1 + 2i).z2 + ( -3 + 8i)z + 5 – 2i =0. Tính tổng các nghiệm của phương trình trên ?

A. 2 + 5i     B. -3 + 6i     C. 3 + 6i     D. – 2 + 5i

Lời giải:

* Nhẩm nghiệm: Ta thấy tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên phương trình có nghiệm z=1.

* Khi đó:
z3 - 3( 1 + 2i).z2 + ( -3 + 8i)z + 5 – 2i =0

z3 - 3(1 + 2i)z2 + (-3 + 8i)z + 5-2i = 0

⇔(z-1)[z2-2(1 + 3i)z + 2i-5]

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : z= 1; z= i và z= 2 + 5i.

Tổng các nghiệm là: 1 + i + 2 + 5i = 3 + 6i

Chọn C

Ví dụ 2: Cho phương trình:
z3 + ( 2- 2i).z2 + ( 5 – 4i)z – 10i =0 biết phương trình có nghiệm thuần ảo. Tìm các nghiệm của phương trình đã cho

A. z= -2i, z = 1 - 2i và z = 1 + 2i.

B. z= 2i, z = - 1 + 2i và z = - 1- 2i.

C. z= -1 + i, z = 1 + i và z = - 1- i.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Đặt z = yi với y ∈ R

Phương trình đã cho có dạng:
(iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i = 0.

⇔ -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = 0 = 0 + 0i

Đồng nhất hoá hai vế ta được:

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Giải hệ này ta được nghiệm duy nhất
y = 2.

Suy ra phương trình có nghiệm thuần ảo z = 2i.

* Vì phương trình nhận nghiệm 2i.

⇒ vế trái của phương trình đã cho có thể phân tích dưới dạng:

z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i
= (z – 2i)(z2 + az + b) (a, b ∈ R)

đồng nhất hoá hai vế ta giải được a = 2 và b = 5.

⇒ (1)⇔ (z – 2i)(z2 + 2z + 5) = 0 ⇔ (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là z= 2i, z= - 1 + 2i và z= - 1- 2i.

Chọn B.

Ví dụ 3:Cho phương trình:
z4 + 2z3 – z2 – 2z + 10 = 0. Biết phương trình có 1 nghiệm phức là z= - 2 + i. Tìm tổng các phần thực của các nghiệm của phương trình đã cho?

A. – 2     B. 2     C. 4     D. – 4

Lời giải:

Phương trình trên có 1 nghiệm là
z1 = - 2 + i thì phương trình cũng có nghiệm z2 = - 2- i.

Suy ra, z4 + 2z3 – z2 – 2z + 10 = 0

⇔ ( z + 2- i). (z + 2 + i). (z2 + 4z + 5) =0

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Vậy phương trình trên có 4 nghiệm là :
- 2 + i,- 2 –i, 1 + i và 1- i.

Tổng phần thực của bốn nghiệm của phương trình:

- 2 + (-2) + 1 + 1 = - 2 .

Chọn A.

Ví dụ 4: Cho phương trình sau:
(z2 + 3z + 6)2 + 2z.(z2 + 3z + 6) – 3z2 = 0

A. (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp     B. (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp    

C. (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp     D.(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Lời giải:

Đặt t = z2 + 3z + 6 phương trình đã cho có dạng:

t2 + 2zt – 3z = 0 ⇔ (t – z)(t + 3z) = 0
(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

+ Với t = z ⇔ z2 + 3z + 6 – z = 0
⇔ z2 + 2z + 6 = 0

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

+ Với t = -3z ⇔ z2 + 3z + 6 + 3z = 0
⇔ z2 + 6z + 6 = 0

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Chọn A.

Ví dụ 5: Giải phương trình sau
z4 - z3 + (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp + z + 1 = 0

A. z = 2 + i; z = 2 -i ; z = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp ; z = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp .

B. z = 1 + i; z = 1-i ; z = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp ; z = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp.

C. z = 1 + 2i; z = 1- 2i ; z = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp ; z = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp.

D. z = 1 + i; z = 1-i ; z = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp; z = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Lời giải:

Nhận xét: z = 0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z ≠ 0 .

Chia hai vế phương trình cho z2 ta được: (z2 + (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp ) - (z- (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp ) + (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp
. Khi đó : t2 = z2 + (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp = 0

Đặt t = z - (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp . Khi đó :
t2 = z2 + (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp -2 ⇔ z2 + (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp = t2 + 2

Phương trình (2) có dạng: t2 – t + (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp (3)

Δ = 1 - 4.(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp = -9 = 9i2

PT (3) có 2 nghiệm t= (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp , t= (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp .

+ Với t= (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp ta có z - (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp
⇔ 2z2 - (1 + 3i)z -2 = 0 (4)

Có Δ = (1 + 3i)2 + 16
= 8 + 6i = 9 + 6i + i2
= (3 + i)2

PT (4) có 2 nghiệm:
z = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp = 1 + i ,
z = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp .

+ Với t = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp ta có : z -(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp ⇔2z2-(1-3i)z-2 = 0 (5)

Có Δ = (1 - 3i)2 + 16 = 8 - 6i = 9 - 6i + i2 = (3-i)2

PT(5) có 2 nghiệm:
z = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp ' ,
z =(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp=(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp .

Vậy PT đã cho có 4 nghiệm: z=1 + i; z=1-i ; z= (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp; z= (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp.

Chọn B.

Dạng 4: Tính giá trị biểu thức liên quan đến nghiệm của phương trình

1. Phương pháp giải

* Để tính giá trị của biểu thức liên quan đến nghiệm của phương trình ta cần: xác định các nghiệm của phương trình, sử dụng hệ thức Vi- et, linh hoạt sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ..

* Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực:

Cho phương trình bậc hai az2 + bz + c= 0 có hai nghiệm phân biệt z1; z2 (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp; z= (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gọi z1, z2 là các nghiệm của phương trình z2 + 4z + 5=0. Đặt (1 + z1)100 + (1 + z2)100 . Khi đó

A. ω= 240.i     B.ω=-251     C.ω=251     D.ω=-250i

Lời giải:

Ta có: z2 + 4z + 5=0
⇔ z= (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp .

Suy ra:
ω= (1 + z1)100 + (1 + z2)100
= ( - 1 + i)100 + ( -1- i)100

= [(-1 + i)2]50 + [(-1-i)2]2 = (2i)50 + (-2i)50

= 250.i48.i2 + (-2)50.i48.i2

= 250.1.(-1) + 250.i.(-1)=-252

Chọn B.

Ví dụ 2: Kí hiệu z1, z2, z3, z4 là 4 nghiệm phức của phương trình x4 + 2x2 + 4= 0. Tính tổng T bằng |z1| + |z2| + |z3| + |z4|:

A. 2     B.2√2     C. 4     D. 4√2

Lời giải:

Xét phương trình: x4 + 2x2 + 4 =0 (*)

Đặt t= x2, phương trình (*) trở thành:
t2 + 2t + 4 = 0

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp .

Giả sử z1,2 là hai nghiệm của phương trình (1) và z3,4 là hai nghiệm của phương trình (2) .

Khi đó |z1| 2 = |z2| 2 =|-1-√3.i| = 2

⇒ |z1| = |z2| = √2 .

Tương tự ta có :
|z3| 2 = |z4| 2 = |-1-√3.i| = 2

⇒ |z3| = |z4| = √2 .

Vậy T = |z1| + |z2| + |z3| + |z4| = 4√2

Chọn D .

Ví dụ 3: Cho các số phức a, b,c, z thỏa mãn
az2 + bz + c=0, . Gọi z1, z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của P = |z1 + z2|2 + |z1-z2|2 -2( |z1 + z2|)2.

A.P = 2 (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp .        B. P =4 (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp .    

C. P = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp .        D. P = 0.5 (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Lời giải:

Giả sử phương trình az2 + bz + c= 0 có hai nghiệm phức z1, z2. Theo hệ thức Vi-et ta có:

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Ta có
|z1 + z2|2 + |z1-z2|2
= 2(|z1|2 + |z2|2)

Do đó : |z1 + z2|2 + |z1-z2|2 -2( |z1 + z2|)2

= 2( |z1 + z2|)2-2( |z1-z2|)2

= 4|z1|.|z2| = 4|z1.z2| = 4.(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Chọn B

Ví dụ 4: Cho các số phức z1 ≠0 ; z2 ≠0 thỏa mãn điều kiện (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp . Tính giá trị của biểu thức P = (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

A. (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp .     B. √2    C. 2     D.(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Lời giải:

Theo giả thiết ta có:
(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

⇔(2z2 + z1).(z1 + z2)=z1.z2

⇔ 2z2.z1 + 2z22 + z12 + z2.z1-z2.z1 = 0

⇔ 2.z2.z1 + 2z22 + z12 = 0 (*)

Do z2 ≠ 0 nên ta chia cả hai vế của (*) cho z2 ta được :

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Trong cả hai trường hợp ta có

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp = √2

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

⇒P=√2 + (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp =(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Chọn D

Ví dụ 5:Cho hai số phức z1, z2 là các nghiệm của phương trình z2 + 4z + 13= 0.Tính môđun của số phức w = ( z1 + z2 ). i + z1.z2

A.|w| = 3    B. |w| = √185

C.|w| = √153     D. |w| = √17

Lời giải:

Xét phương trình z2 + 4z + 13 = 0 có
∆’= 22 – 13 = - 9 = 9i2

Do đó phương trình trên có hai nghiệm là : (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Khi đó:

w = ( z1 + z2 ). i + z1. z2
= ( -2- 3i – 2 + 3i). i + ( -2- 3i). ( -2 + 3i)
= -4i + 13

suy ra: |w| = √(-42 + 132) = √185

Chọn B.

Dạng 5: Lập phương trình bậc 2 nhận z1, z2 làm nghiệm

1. Phương pháp giải

* Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn: (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

.

Khi đó,z1, z2 là nghiệm phương trình:
z2 – S.z + P=0

* Nếu số phức z0 = a + bi; (a,b ∈ R) là nghiệm phương trình A.z2 + Bz + C=0 (*) thì:

Az02 + Bz0 + C = 0

* Nếu số phức z0 = a + bi; là nghiệm phương trình A.z2 + Bz + C=0 (*) thì

z1 = a – bi cũng là nghiệm của phương trình (*).

2. Ví dụ minh họa .

Ví dụ 1: Biết phương trình z2 + az + b=0 ,
(a,b ∈ R) có một nghiệm phức là z1= 1 + 2i. Tìm a và b?

A. (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp        B. (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp    

C. (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp        D. (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Lời giải:

Do z1 = 1 + 2i là nghiệm nên z2 = 1 -2i cũng là nghiệm của phương trình đã cho.

Ta có: (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp (1)

Do z1, z2 là nghiệm của phương trình
z2 + az + b= 0 nên theo hệ thức Vi- et ta có:

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp (2)

Từ (1) và (2) ta có: (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Chọn D.

Ví dụ 2: Biết z1 = 2- i là một nghiệm phức của phương trình z2 + bz + c = 0; (b,c ∈ R) , gọi nghiệm còn lại là z2. Tìm số phức w= bz1 + cz2

A.w= 18 – i    B.w= 18 + i.

C.w= 2- 9i    D.w= 2 + 9i .

Lời giải:

Do z1 = 2 – i là một nghiệm phức của phương trình z2 + bz + c = 0; (c,b ∈ R) nên

z2 =2 + i cũng là 1 nghiệm của phương trình đã cho.

Ta có: z1 = 2 – i là một nghiệm phức của phương trình z2 + bz + c = 0 nên ta có:

( 2- i)2 + b.(2- i) + c=0

⇔ 4 – 4i + i2 + 2b – bi + c = 0

⇔( 3 + 2b + c) – ( 4 + b) i= 0.

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

khi đó:
w= bz1 + c.z2 = -4( 2- i) + 5. (2 + i) = 2 + 9i

Chọn D .

Ví dụ 3: . Cho số thực a, b, c sao cho phương trình z3 + az2 + bz + c = 0 nhận z= 1 + i và z = 2 làm nghiệm. Khi đó tổng giá trị a + b + c là:

A. -2.     B. 2.    C. 4.    D. -4.

Lời giải:

Phương trình có nghiệm z = 2 nên thay z=2 vào phương trình ta được:

8 + 4a + 2b + c= 0 ( 1) .

Phương trình có nghiệm z= 1 + i nên thay vào phương trình ta được:

(1 + i)3 + a.(1 + i)2 + b( 1 + i) + c= 0

⇔ 1 + 3i + 3i2 + i3 + a. (1 + 2i + i2) + b(1 + i) + c=0

⇔ 1 + 3i – 3- i + 2ai + b + bi + c= 0

⇔( - 2 + b + c) + ( 2 + 2a + b).i = 0

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp . (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Suy ra a + b + c= - 2 .

Chọn A.

Ví dụ 4: Biết hai số phức có tổng bằng 4 và tích bằng 5. Tổng môđun của hai số phức đó bằng:

A. 4    B.√10    C. 2√5    D.2√3

Lời giải:

Hai số phức cần tìm có tổng bằng 4 và tích bằng 5 nên chúng là nghiệm phương trình: z2 – 4z + 5= 0

Phương trình trên có ∆’= 22 – 5 = -1= i2

Suy ra hai số phức đó là (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Vậy tổng môdun của số phức đó là:

|z1| + |z2| = 2√5

Chọn C.

Ví dụ 5: Biết phương trình z2 + mz + n = 0 (với m, n là các tham số thực) có một nghiệm là
z = 1 + i. Tính môđun của số phức w= m + ni .

A. 4√2    B. 4    C. 2√2    D. 16.

Lời giải:

Thay z = 1 + i vào phương trình, ta được :

(1 + i)2 + m. (1 + i) + n= 0

⇔ 1 + 2i + i2 + m + mi + n= 0

⇔ (m + n) + ( m + 2).i = 0

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp .

Suy ra w= - 2 + 2i nên mô dun của w là |w| = √8 = 2√2 .

Chọn C.

Dạng 6: Vận dụng cao

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: . Cho phương trình z2 – mz + 2m – 1=0 trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để phương trình có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn
z12 + z22 là:

A. m=-2-2√2i.     B. m=2 + 2√2i .

C. 2-2√2i     D. 2 ± 2√2i

Lời giải:

Theo Viet, ta có:
(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Theo giả thiết ta có:

z12 + z22= -10 ⇔(z1 + z2)2 - 2z1z2 = -10

⇔ m2 - 2( 2m- 1) = - 10

⇔ m2 – 4m + 12= 0

Có ∆’= (-2)2 – 12 = - 8 = 8i2

Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là : (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Chọn D

Ví dụ 2: Cho phương trình z2 + mz -6i = 0. Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì m có dạng ±(a + bi) (a,b ≠R) . Giá trị a + 2b là:

A. 0    B. 1    C. - 2    D. - 1

Lời giải:

Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình đã cho

Theo Vi -et, ta có: (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Theo bài cho, tổng bình phương hai nghiệm bằng 5. Ta có:

z12 + z22 = 5 ⇔ (z1 + z22)-2z1.z2 = 5

⇔ m2 + 12i = 5 ⇔ m2 = (3- 2i)2

⇔ m = ± (3-2i)

Do đó,
a= 3; b = - 2 và a + 2b= 3 + 2.(-2) = -1

Chọn D.

Ví dụ 3: Cho z1, z2 là hai số phức thỏa mãn
z2 – 4z + 5= 0 . Tính giá trị biểu thức
P= ( z1 – 1)2017 + ( z2 – 1)2017 .

A. P=0    B. P= 21008.     C. P=21009 .    D. P= 2.

Lời giải:

Xét phương trình z2 – 4z + 5= 0 có
∆ = 16 – 4.5.1= - 4 = (2i)2.

Do đó phương trình có hai nghiệm phức:

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Suy ra P=( z1 – 1)2017 + ( z2 – 1)2017

=( 1 – i)2017 + ( 1 + i)2017

= (1-i)[(1-i)2]1008 + (1 + i)[(1 + i)2]1008

= (1-i).(-2i)1008 + (1 + i).(2i)1008

= (1-i).(-2i)1008.(i4)252 + (1 + i).(2i)1008(i4)252

= (1-i).21008 + (1 + i).22018
= 21008 + 21008 = 2 1019

Chọn C.

Ví dụ 4:Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng w + i và 2w – 1 là hai nghiệm của phương trình z2 + az + b =0 . Tính tổng S= a + b?

A. (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp    B. (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp    C. (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp    D. (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Lời giải:

Giả sử w= x + yi, (x,y ∈ R) .

Do w + i và 2w – 1 là hai nghiệm của phương trình z2 + az + b = 0 nên suy ra
(w + i) và (2w – 1) là hai số phức liên hợp. Nên ta có:

2w - 1= (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp = w -i

2(x + yi)-1 = x-yi-i

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp (1)

Theo hệ thức Viet, ta lại có:

(6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp ⇒ a + b = -5/9

Chọn D.

Ví dụ 5: Cho hai số thực b và c, (c > 0). Kí hiệu A, B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2bz + c=0 trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).

A. b2 = 2c.     B. c = 2b2 .    C. b = c.    D. b2 = c

Lời giải:

Xét phương trình z2 + 2bz + c = 0
có ∆’= b2 – c.

+ Trường hợp 1.Nếu Δ ≥0 ⇔ b2 + c ≥ 0

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt.

Do đó,2 điểm A và B biểu diễn hai nghiệm của phương trình đã cho nằm trên trục hoành

=> Ba điểm O, A, B thẳng hàng nên loại trường hợp này.

+ Trường hợp 2. Nếu ∆’ < 0 thì b2 < c.

Khi đó, hai nghiệm là (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp

Tọa độ hai điểm A và B biểu diễn hai nghiệm của phương trình đã cho là

A(-b;- (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp );B(-b; (6 dạng) Bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức ôn thi Tốt nghiệp )

Nhận xét tam giác OAB luôn cân tại O.

Do đó, để tam giác OAB vuông thì phải vuông tại O
OA.OB = 0 ⇔ b2 - (c-b2) = 0 ⇔ c = 2b2

Chọn B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp có lời giải hay khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

so-phuc.jsp

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học