Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)
Bài viết số phức cơ bản trong đề thi Đại học (6 dạng) với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học (6 dạng).
Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)
Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Dạng 1: Cộng, trừ số phức
1. Phương pháp giải
Cho hai số phức z1 = a + bi và z2 = c + di thì:
• Phép cộng số phức:
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
• Phép trừ số phức: z1 – z2 = ( a- c) + ( b – d) i
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai số phức z1 = 1 + 10i và
z2 = 9 – 2i. Số phức z = z1 + z2 có z1 có phần thực là:
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
Lời giải:
Ta có:
z = z1 + z2 = (1 + 10i) + ( 9 – 2i) = 10 + 8i.
Do đó, phần thực của số phức z là 10.
Đáp án: B
Ví dụ 2:Hãy tính số phức z. Biết rằng:
z = 10i – ( 2 + 2i).i
A. z = 2 + 8i B. z = 8 - 2i
C. z = 8 + 2i D. z = 2 - 8i
Lời giải:
Ta có
z = 10i - (2 + 2i).i = 10i – 2i + 2 = 2 + 8i
Đáp án: A
Ví dụ 3: Cho hai số phức z = -2 + 3yi;
z’ = ( x + 1)- 4i với x,y ∈ R .
Tìm x; y để z + i= z’ + 2
A. x = -5; y = B. x = 5; y = 2
C. x = 2; y = D. x = ; y = -2
Lời giải:
Để z + i = z’ + 2
⇔ - 2 + 3yi + i = ( x + 1) – 4i + 2
⇔ - 2 + (3y + 1).i = ( x + 3)- 4i
Do đó ta có hệ phương trình :
⇔
Đáp án: A
Ví dụ 4: Cho z1 = a + 8i ,z2 = 6 – 3i và
z3 = 10 + bi ( a,b ∈ R ). Tìm a, b để z1 + z2 = z3
A. a = 2; b = 5 B. a = 1; b = -5
C. a = 4; b = 5 D. a = 3; b = 1
Lời giải:
Ta có: z1 + z2 = z3
nên (a + 8i) + ( 6 – 3i) =10 + bi
⇔ ( a + 6) + 5i = 10 + bi
⇔ ⇔
Vậy a = 4; b= 5.
Đáp án: C
Ví dụ 5: Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo?
A. (√2 + i) - (1 + √2i) B. ( 8 + 2i) + (- 8 + 2i)
C. ( - 3 + i) – ( 3 - i) D. (10 + 3i) – ( -10 – 3i)
Lời giải:
Ta xét các phương án:
* (√2 + i) - (1 + √2i)= (√2 - 1) - (1 - √2) không là số thuần ảo.
* (8 + 2i) + (- 8 + 2i) = 4i là số thuần ảo.
* (-3 + i) – (3- i) = - 3 + i – 3 + i= - 6 + 2i không là số thuần ảo.
* (10 + 3i) – ( -10 – 3i) = 10 + 3i + 10 + 3i
= 20 + 6i không là số thuần ảo.
Đáp án: B
Dạng 2: Nhân, chia hai số phức
1. Phương pháp giải
Phép nhân số phức:
z1.z2 = ( ac – bd) + ( ad + bc). i
Phép chia số phức:
• Số phức nghịch đảo của z = a + bi ≠ 0
là
=
=
• Thực hiện phép chia là nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi
=
=
+
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính giá trị của P= i105 + i23 + i20 – i34
A. 1 B. -2 C. 2 D. 5
Lời giải:
Ta có : i2 = -1 ⇒ i4 = 1.
Do đó, P = i105 + i23 + i20 – i34
= i104 + 1 + i20 + 3 + i4.5 – i4.8 + 2
= i. i4.26 + i2.i.i4.5 + 1- i2. i4.8
= i. 1 + (-1).i.1 + 1 - (-1).1 = 2
Đáp án: C
Ví dụ 2: Tìm số phức z = [(1 + 5i) - (1 + 3i)]2007.
A. z= - 82007.i B. z= -82007.i
C. z= -22007 D. z= -22007.i
Lời giải:
z = [(1 + 5i) - (1 + 3i)]2007 ⇔ z = [2i]2007
⇔ z = 22007i2007
⇔ z = 2 2007 i4.501.i2.i=2 2007 (-i)
( Vì i2 = -1 nên i4 =1)
Đáp án: D
Ví dụ 3: Gía trị của biểu thức
A =
+
bằng
A. 1 + i B. 2 C. 0 D. -2
Lời giải:
Ta có:
= = = = i
= = = = - i ;
Suy ra:
A =
+
= i2016 + (-i)2018
= (i2)1008 + (i2)1009 = (-1)1008 + (-1)1009
= 1-1 = 0
Đáp án: C
Ví dụ 4: Cho P= 1 + i + i2 + i3 + ... + i2017. Tính P?
A. P= i + 1 B. P= 1 C. P= i D. P= 2i
Lời giải:
Ta có;
P= 1 + i + i2 + i3 + ... + i2017
iP= i + i2 + i3 + ... + i2018
⇒ P - iP = 1 - i2018
⇒ P =
=
=
=
=
= 1 + i
Đáp án: A
Ví dụ 5: Cho A = 1 + i2 + i4 + .. + i4k-2 + i4k với k là số nguyên dương. Tính A?
A. A = 2ki B. A = 2k C. A = 0 D. A = 1
Lời giải:
Do A là tổng của một cấp số nhân (gồm 2k + 1 số hạng) với số hạng đầu u1 = 1, công bội q= i2.
Suy ra
A = 1 + i2 + i4 + .. + i4k-2 + i4k
=
=
=
= 1
Đáp án: D
Dạng 3: Tìm số phức liên hợp
1. Phương pháp giải
Cho số phức z= a + bi,( a,b ∈ R). Khi đó, số phức liên hợp với số phức z là: z− = a - bi
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức
z = ( 3- 2i). (2 + 3i)
A. z− = -5i B. z− = 12 -5i
C. z− = 12 + 5i D. z− = 3 + 2i
Lời giải:
Ta có: z = (3 - 2i).(2 + 3i) = 6 + 9i – 4i + 6
⇔ z = 12 + 5i Do đó, số phức liên hợp với số phức z là z− = 12 -5i
Đáp án: B
Ví dụ 2: Cho số phức z = 5 – 3i. Tính 1 + z− + (z− )2 ta được kết quả:
A. – 22 + 33i. B. 22 + 33i.
C. 22 - 33i. D. -22 - 33i.
Lời giải:
Ta có z = 5 - 3i ⇒ z− = 5 + 3i
Suy ra : 1 + z− + (z− )2 = 1 + (5 + 3i) + (5 + 3i)2
= (6 + 3i) + (25 + 30i - 9) = 22 + 33i
Đáp án: B
Ví dụ 3: Cho số phức z = 4 - 3i. Tìm số phức liên hợp của số phức ω = 2z− + z2.
A. ω− = 15 - 18i B. ω− = 16 + 18i
C. ω− = 15 + 16i D. ω− = 15 + 18i
Lời giải:
Ta có z = 4 - 3i nên số phức liên hợp với số phức z là : z− = 4 + 3i
Theo đầu bài :
ω = 2z− + z2 = 2. (4 + 3i) + ( 4-3i)2
⇔ ω = 8 + 6i + ( 16 – 24i + 9i2) = 15 – 18i
Vậy ω = 15 – 18i
Vậy số phức liên hợp của ω là
ω− = 15 + 18i
Đáp án: D
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa
(1 + 3i) z - (2 + 5i) = (2 + i) z. Tìm số phức liên hợp của số phức z.
A. z− = + B. z− = - +
C. z− = - D. z− = - -
Lời giải:
Theo giả thiết ta có:
(1 + 3i)z-(2 + 5i) = (2 + i)z
⇔(1 + 3i-2-i)z = 2 + 5i⇔(-1 + 2i)z = 2 + 5i
⇔z = = +
Đáp án: A
Ví dụ 5: Tìm số phức z, biết z + 2iz− + 4 = i
A. z = 2- 3i B. z = - 3 + 2i
C. z = - 2 + 3i D. z = 3 - 2i
Lời giải:
Gọi số phức z cần tìm là
z = a + bi ( a,b ∈ R)
Số phức liên hợp với số phức z là :
z− = a - bi
Theo giả thiết: z + 2iz− + 4 = i
⇒ a + bi + 2i(a - bi) + 4 = i
⇔ a + bi + 2ai + 2b + 4-i = 0
⇔(a + 2b + 4) + (b + 2a-1)i = 0
⇔ ⇔
Suy ra z = 2- 3i
Đáp án: A
Dạng 4: Môđun của số phức
1. Phương pháp giải
* Cho số phức z = a + bi, ( a,b ∈ R). Khi đó mô đun của số phức z kí hiệu là : | z| và :
| z| =
* Nhận xét : |z| ≥ 0 và |z| = 0 ⇔ z = 0 .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính môđun của số phức z = 6 – 8i
A. 10 B. 2 C. -2 D. 80
Lời giải:
Môđun của số phức z = 6 – 8i là:
| z| =
= 10
Đáp án: A
Ví dụ 2: Tìm số phức z, biết | z| = √5 , phần thực bằng 2 lần phần ảo và phần thực dương
A. z = 2 + i B. z = 1 + 2i
C. z = + D. z = +
Lời giải:
Cho số phức z = a + bi, ( a,b ∈ R) và a > 0
Do phần thực bằng 2 lần phần ảo nên :
a = 2b (1).
mà | z| = √5 ⇔
= √5
⇔ a2 + b2 = 5 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
⇔
Vậy số phức cần tìm là z = 2 + i.
Đáp án: A
Ví dụ 3: Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn: | z| - 2z− = -7 + 3i + z . Tính môđun của số phức: ω = 1 - z + z2
A. |ω| = √37 B. |ω| = √457
C. |ω| = √425 D. |ω| = 457
Lời giải:
Gọi số phức cần tìm là z = a + bi, ( a,b ∈ R)
Số phức liên hợp của số phức z là : z− = a - bi và | z| =
Theo giả thiết ta có: | z| - 2z− = -7 + 3i + z
⇔ - 2(a - bi) = -7 + 3i + a + bi
⇔
⇔
⇔
vậy z = 4 + 3i
⇒ ω = 1-(4 + 3i) + (4 + 3i)2 = 4 + 21i
⇒ |ω| = = √457
Đáp án: B
Ví dụ 4: Cho hai số phức z1 và z2 thỏa Cho hai số phức z1 và z2 thỏa |z1 | = |z2 | = 1;
|z1 + z2 |=√3.
Tính |z1 - z2 |
A. √3-1 B. 0 C. 1 D. -1
Lời giải:
Ta có :
3 =|z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )( z− 1 + z− 2 )
⇒z1 z− 2 + z2 z− 1 + z1 z− 1 + z2 z− 2 = 3
⇒z1 z− 2 + z2 z− 1 = 1
Vì |z1| = |z2| = 1 nên z1. z1− = 1 ; z2. z2− = 1
Khi đó:
|z1 - z2|2 = (z1 - z2)(z1− -
z2− )
= |z1|2 + |z2|2 - (z1
z2− + z2
z1−
) = 1
Đáp án: C
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn | z + 3| = 5 và | z- 2i|= |z – 2 - 2i|. Tính |z|.
A. |z| = 5 B. |z| = √5
C. |z| = 2 D. |z| = √10
Lời giải:
Gọi số phức z cần tìm là
z = a + bi ( a,b ∈ R)
Ta có:
|z + 3| = 5⇔|a + bi + 3| = 5
⇔(a + 3)2 + b2 = 25 (*)
|z-2i| = |z-2-2i|
⇔|a + bi-2i| = |a + bi-2-2i|
⇔a2 + (b-2)2 = (a - 2)2 + (b - 2)2
⇔a2 = (a-2)2
⇔
Thế a = 1 vào (*) ta được 16 + b2 = 25
⇒ b2 = 9
Do đó, môdun của z là:
|z| =
= √10
Đáp án: D
Dạng 5: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện T
1. Phương pháp giải
Để tìm được số phức thỏa mãn điều kiện T, ta cần linh hoạt các phép toán của số phức, tính môdun số phức, số phức liên hợp...
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z = 2m + ( m + 2)i, (m∈ R) . Tìm z biết rằng z2 là một số phức có phần thực bằng - 5.
A. Không có số phức cần tìm
B. z = 2 + 3i , z = +
C. z = 4 + 2√3 + (4 + √3)i; z = 4 - 2√3 + (4 - √3)i
D. z = 2i, z = -18 – 7i
Lời giải:
Ta có :
z2 = 4m2 + 2m(m + 2)i + [(m + 2)i]2
= 3m2 + 2m(m + 2)i-4m-4
Do z2 là số phức có phần thực bằng -5 nên ta có:
⇒ 3m2 - 4m - 4 = -5 ⇔ 3m2 - 4m + 1 = 0 ⇔ m = 1 ; m = 1/3
Vậy có hai số phức thỏa mãn là z1 = 2 + 3i và z2 = +
Đáp án: B
Ví dụ 2: Cho số phức z = m + (m-1)i; (m∈ R) và số phức z' = 2n + (2-3n)i (n∈R) .Tìm m và n biết rằng z - z’= 1 + 7i
A. m = ; n = B. m = ; n =
C. m = -9, n = -5 D. m = -13, n = - 7
Lời giải:
Ta có:
z - z’
= [ m + ( m - 1).i] – [2n + (2- 3n).i]
= (m- 2n) + ( m + 3n – 3). I
Theo giả thiết z- z’ = 1 + 7i nên ta có:
( m- 2n) + (m + 3n – 3).i = 1 + 7i .
Từ đó ta có hệ phương trình sau:
⇔
⇔
Đáp án: B
Ví dụ 3: Tìm số phức z = x + yi, ( x, y ∈ R) thỏa mãn z + 3x = 2z− - 3i . Tìm |z|
A. |z| = 1 B. |z| = 2
C. |z| = √2 D. |z| = √3
Lời giải:
Vì z + 3x = 2z− - 3i
⇔ x + yi + 3x = 2(x - yi) - 3i
⇔ 4x + yi = 2x - (2y + 3)i
⇔ ⇔
Do đó, số phức thỏa mãn đầu bài là
z = - i và |z| = 1
Đáp án: A
Ví dụ 4: Có bao nhiêu số phức z có phần ảo gấp ba lần phần thực, đồng thời
|z− | =
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Lời giải:
Gọi số phức cần tìm là z = a + bi, ( a,b ∈ R)
Do số phức z có phần ảo gấp ba lần phần thực nên b = 3a
⇒ Số phức cần tìm có dạng: z = a + 3ai
Số phức liên hợp của số phức z là:
z−
= a - 3ai
Theo giả thiết ta có:
|z−| =
⇔
=
⇔
=
⇔
10a2 = 20a
⇔
Với a = 0 thì z = 0.
Với a = 2 thì z = 2 + 6i
Vậy có hai số phức thỏa mãn là z = 0 hoặc z = 2 + 6i
Đáp án: C
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A là điểm biểu diễn của số phức z= 1 + 2i, B là điểm thuộc đường thẳng y=2 sao cho tam giác OAB cân tại O. Tìm số z biểu diễn B.
A. z = 1 + 2i. B. z = -1 + 2i.
C. z = 3 + 2i, z = -3 + 2i. D. z = - 1 + 2i, z = 1 + 2i.
Lời giải:
Ta có, điểm A biểu diễn số phức z = 1 + 2i nên tọa độ A( 1; 2) .
Do điểm B nằm trên đường thẳng y = 2 nên tọa độ B(x, 2); ( x ≠ 1 )
Để tam giác OAB cân tại O khi và chỉ khi OA = OB.
⇔
=
⇔ x2 + 4 = 5
⇔ x2 = 1 ⇔
Suy ra, tọa độ B (-1; 2). Do đó,số phức biểu diễn B là z = -1 + 2i
Đáp án: B
Dạng 6: Giải phương trình bậc nhất trên tập số phức
1. Phương pháp giải
Cho phương trình az + b= 0 (a ≠ 0 ) a, b là hai số phức ⇔ az = -b ⇔ z =
Sau đó, thực hiện phép chia số phức để tìm ra z.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn:
(2 + i)z + 2 – i= 0. Tìm phần thực của số phức.
A. - B. -3 C. 5 D.
Lời giải:
Ta có: (2 + i ).z + 2- i = 0 ⇔ ( 2 + i)z = - 2 + i
⇔ z = =
⇔ z = =
Do đó, phần thực của số phức cần tìm là -
Đáp án: A
Ví dụ 2: Giải phương trình iz + 3- 2i = 1 + i
A. z = 2 + 3i B. z = 1- 3i
C. z = 3 + 2i D. z = 2 + 2i
Lời giải:
Ta có: iz + 3 – 2i = 1 + i
⇔ iz = 1 + i- 3 + 2i
⇔ iz = -2 + 3i
⇔ z = = = 3 + 2i
Đáp án: C
Ví dụ 3: Giải phương trình:
( 2 + 4i)z + ( 4 - 2i)z + 2- 2i = 0
A. z = B. z =
C. z = D. z =
Lời giải:
Ta có: ( 2 + 4i).z + (4 –2 i). z + 2- 2i = 0
⇔( 2 + 4i + 4 – 2i)z = - 2 + 2i
⇔ (6 + 2i). z = - 2 + 2i
⇔ z =
=
⇔z =
⇔z = = =
Đáp án: C
Ví dụ 4: Giải phương trình (1 + 2i)z + = 0
A. z = B. z =
C. z = D. z =
Lời giải:
Ta có:
(1 + 2i)z + = 0 ⇔ (1 + 2i)z =
⇔ (1 + 2i)z =
⇔ (1 + 2i)z =
⇔ (1 + 2i)z = ⇔ (1 + 2i)z = -2 + 4i
⇔ z = =
⇔ z =
⇔ z =
Đáp án: D
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- 6 dạng bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức trong đề thi Đại học có lời giải
- 4 dạng bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải
- 5 dạng bài tập Tập hợp điểm biểu diễn số phức trong đề thi Đại học có lời giải
- Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức (cực hay)
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12