Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

1. Phương pháp giải

Để giải được các bài toán này . cần nắm được các kiên thức sau:

+ Bất đẳng thức tam giác

• |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≥ 0. Dùng cho BĐT Mincopxki:

• |z1 - z2| ≤ |z1| + |z2|, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≤ 0. Dùng cho BĐT vecto

• |z1 + z2| ≤ ||z1| - |z2||, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≤ 0.

• |z1 - z2| ≤ ||z1| - |z2||, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≥ 0.

+ Bất đẳng thức khác

BĐT Cauchy: A2 + B2Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay tìm min

BĐT Bunhia Copski:
(Ax + By)2 ≤ (A2 + B2)(x2 + y2) tìm max

BĐT Mincopxki:
Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay tìm min. Dấu = xảy ra khi Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

BĐT vecto
Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay tìm min. Dấu = xảy ra khi Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện | z + 1- 5i| = | z + 3 - i|, tìm số phức có môđun nhỏ nhất?

A. z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i    B. z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay - Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i

C. z = - Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i    D. z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay - Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i

Gọi số phức z = x + yi , (x,y ∈ R) ⇒ z = x - yi

Ta có:

|z + 1 - 5i| = |z + 3 - i| ⇔ |x + yi + 1 - 5i| = |x - yi + 3 - i|

⇔ |(x + 1) + (y - 5)i| = |(x + 3) + (-y - 1)i|

Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

⇔ (x + 1)2 +( y -5)2 = ( x + 3)2 + ( y + 1)2

⇔ x2 + 2x + 1 + y2 – 10y + 25
= x2 + 6x+ 9 + y2 + 2y + 1

⇔ - 4x – 12y + 16 = 0 ⇔ x + 3y – 4 = 0

⇔ x = 4 - 3y

Ta có modun của số phức z là:

|z| =
Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

= Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

Đẳng thức xảy ra khi y = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ⇒ x = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay .

Vậy min|z| = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay khi z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i.

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong các số phức z có phần thực , phần ảo không âm và thỏa mãn: Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay = 1 . Tìm số phức z sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất
P = |z2 - z 2| - (z2 - z 2).i.[z(1 - i) + z(1 + i)]

A. z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + i    B. z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i

C. z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i    D. z = 1 + i

Điều kiện: z ≠ 1 - 2i .

Gọi số phức cần tìm là z = x + yi,(x, y ∈ R; x,y > 0)

Theo giả thiết ta có:

Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay = 1 ⇔ |z - 3| = |z - 1 + 2i|.

⇔ |x + yi - 3| = |x + yi - 1 + 2i|
⇔ |(x - 3) + yi| = |(x - 1) + (y + 2)i|

Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

⇔ (x – 3)2 + y2 = (x - 1)2 + ( y + 2)2

⇔ x2 – 6x + 9 + y2
= x2 – 2x + 1 + y2 + 4y + 4

⇔ - 4x – 4y + 4 = 0 ⇔ x + y – 1 = 0

Số phức liên hợp với số phức z là:

z = x - yi ⇒ z2 - z 2 = 4xy.i
⇒ |z2 - z 2| = 4xy (vì x, y không âm)

z(1 - i) + z(1 + i) = 2x + 2y

Do đó,
P = 16x2y2 + 4xy.(2x+ 2y) = 16x2y2 + 8xy.

Đặt t = xy ⇒ 0 ≤ t ≤ Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay , ta có
P = 16t2 + 8t; t ∈ [0; Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ] .

+ Xét hàm số f(t) = 16t2 + 8t liên tục trên [0; Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ] .

f'(t) = 32t + 8t; f'(t) = 0
⇔ t = 0 ∪ t = - Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay (loại)

f(0) = 0; f(Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ) = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hayPhương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay
⇔ t = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ; Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay = 0 ⇔ t = 0

Khi t = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ⇒ xy = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

Lại có; x+ y – 1= 0 nên x = y = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay .

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay khi
z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i .

Chọn C.

Ví dụ 3: Biết rằng số phức z thỏa mãn:
w = (z + 3 - i).(z + 1 + 3i) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|?

A. √3    B. 2    C. 2√3    D. 2√2

Đặt z = x + yi (x, y ), số phức liên hợp với số phức z là z = x - yi

Ta có: w = (z + 3 - i).(z + 1 + 3i)

⇔ w = ( x + yi + 3 - i) . ( x - yi + 1 + 3i)

⇔ w = [ (x+ 3) + (y – 1).i ].[ (x+ 1)+ ( 3- y).i ]

⇔ w = ( x+ 3).(x+ 1) + ( x + 3). (3- y).i + ( y -1). ( x+ 1)i + ( y – 1). (3- y).i2

⇔ w = x2 +4x + 3 + ( 3x - xy + 9 - 3y).i + (xy + y – x – 1).i - ( - y2 + 4y – 3)

⇔ w = ( x2 + 4x +3 + y2 – 4y + 3) + ( 3x – xy + 9 – 3y + xy + y – x – 1).i

⇔ w = (x2 + y2 + 4x - 4y + 6) + ( 2x – 2y + 8).i

Để w là một số thực khi và chỉ khi
2x - 2y + 8 = 0 hay x - y + 4 = 0

⇒ Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x – y + 4 = 0.

M(x;y) là điểm biểu diễn của z , z có môđun nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất

Khi và chỉ khi M là hình chiếu của O trên đường thẳng d.

⇒ OM ⊥ d

* Cách 1: Đường thẳng OM có dạng:
x + y + c = 0 .

Mà điểm O(0;0) thuộc đường thẳng OM nên ta có: 0 + 0 + c = 0 ⇒ c = 0

Do đó phương trình đường thẳng OM:
x + y = 0

Khi đó, tọa độ M là nghiệm hệ phương trình :

Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

⇒ M(-2; 2) suy ra số phức cần tìm là
z = -2 + 2i.

⇒ |z| = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay = 2√2

* Cách 2. Khi đó: |z| = d(O; d)
= Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay = 2√2

Chọn D.

Ví dụ 4: Tìm số phức z có mô đun lớn nhất thỏa mãn điều kiện |z(1 + i) - 3 + 2i| = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

A. z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i    B. z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay - Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i

C. z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i    D. z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i

Gọi số phức thỏa mãn là z = x+ yi;
(x,y ∈ R)

z = x - yi

Theo giả thiết ta có:

|z(1 + i) - 3 + 2i| = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay
⇔ |(x - yi)(1 + i) - 3 + 2i| = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

⇔ ||x + xi - yi + y - 3 + 2i|| = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay
⇔ |(x + y - 3) + (x - y + 2).i| = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

⇔ (x + y - 3)2 + (x - y + 2)2 = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

⇔ x2 + y2 + 9 + 2xy – 6x – 6y + x2 + y2 + 4 + 4x – 2xy – 4y = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

⇔2x2 + 2y2 - 2x – 10y + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay = 0

⇔ x2 + y2 – x – 5y + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay = 0 (*)

Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

Tọa độ M (x; y) thỏa mãn (*) nên tập hợp điểm M là đường tròn có tâm I( Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ; Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ) và bán kính

R = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

* Gọi d là đường thẳng đi qua O và I. Đường thẳng d có dạng: y = kx.

Thay tọa độ điểm I ta được k = 5.

Vậy phương trình d là y = 5x.

Gọi M1, M2 là hai giao điểm của d và đường tròn (C), ta tìm được tọa độ 2 điểm đó là:

⇒ M1(Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ; Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ) và M2(Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ; Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ) .

Ta thấy Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

⇒ Số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i .

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong các số phức z có mô đun là 2√2 . Tìm số phức z sao cho biểu thức
P= |z + 1| + |z + i| đạt giá trị lớn nhất?

A. z = 2 + 2i    B. z = 1 + √7i

C. z = 2 - 2i    D. Đáp án khác

Gọi số phức thỏa mãn là z = x + yi,
(x,y ∈ R)

* Theo giả thiết:

|z| = 2√2 ⇔ Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay = 2√2 ⇔ x2 + y2 = 8

*Ta có: P = |z + 1| + |z + i|
= |x + yi + 1| + |x + yi + i|

= Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

*Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki cho hai bộ số (1;1) và Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay , Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ta có:

P2 ≤ 2[(x + 1)2 + y2 + x2 + (y + 1)2]
= 2[2x2 + 2y2 + 2x + 2y + 2]
= 2(16 + 2x + 2y + 2) = 4(9 + x + y)

* Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho hai bộ số (1;1) và (x; y), ta có:

x + y ≤ Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay = 4

⇒ P2 ≤ 4(9 + 4) = 52 ⇒ P ≤ 2√13 .

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 2√13 , khi đó z = 2+ 2i.

Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

so-phuc.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12