Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức (cực hay)

Bài viết Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức.

Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức (cực hay)

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

1. Phương pháp giải

Để giải được các bài toán này . cần nắm được các kiên thức sau:

+ Bất đẳng thức tam giác

• |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, dấu "=" khi z₁ = kz₂ với k ≥ 0. Dùng cho BĐT Mincopxki:

• |z₁ - z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, dấu "=" khi z₁ = kz₂ với k ≤ 0. Dùng cho BĐT vecto

• |z₁ + z₂| ≤ ||z₁| - |z₂||, dấu "=" khi z₁ = kz₂ với k ≤ 0.

• |z₁ - z₂| ≤ ||z₁| - |z₂||, dấu "=" khi z₁ = kz₂ với k ≥ 0.

+ Bất đẳng thức khác

BĐT Cauchy: A² + B² ≥ tìm min

BĐT Bunhia Copski:
(Ax + By)² ≤ (A² + B²)(x² + y²) tìm max

BĐT Mincopxki:
tìm min. Dấu = xảy ra khi

BĐT vecto
tìm min. Dấu = xảy ra khi

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện | z + 1- 5i| = | z− + 3 - i|, tìm số phức có môđun nhỏ nhất?

A. z = + i    B. z = - i

C. z = - + i    D. z = - i

Lời giải:

Gọi số phức z = x + yi , (x,y ∈ R) ⇒ z− = x - yi

Ta có:

|z + 1 - 5i| = |z− + 3 - i| ⇔ |x + yi + 1 - 5i| = |x - yi + 3 - i|

⇔ |(x + 1) + (y - 5)i| = |(x + 3) + (-y - 1)i|

⇔

⇔ (x + 1)² +( y -5)² = ( x + 3)² + ( y + 1)²

⇔ x² + 2x + 1 + y² – 10y + 25
= x² + 6x+ 9 + y² + 2y + 1

⇔ - 4x – 12y + 16 = 0 ⇔ x + 3y – 4 = 0

⇔ x = 4 - 3y

Ta có modun của số phức z là:

|z| =

=

Đẳng thức xảy ra khi y = ⇒ x = .

Vậy min|z| = khi z = + i.

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong các số phức z có phần thực , phần ảo không âm và thỏa mãn: = 1 . Tìm số phức z sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất
P = |z² - z− ²| - (z² - z− ²).i.[z(1 - i) + z−(1 + i)]

A. z = + i    B. z = + i

C. z = + i    D. z = 1 + i

Lời giải:

Điều kiện: z ≠ 1 - 2i .

Gọi số phức cần tìm là z = x + yi,(x, y ∈ R; x,y > 0)

Theo giả thiết ta có:

= 1 ⇔ |z - 3| = |z - 1 + 2i|.

⇔ |x + yi - 3| = |x + yi - 1 + 2i|
⇔ |(x - 3) + yi| = |(x - 1) + (y + 2)i|

⇔

⇔ (x – 3)² + y² = (x - 1)² + ( y + 2)²

⇔ x² – 6x + 9 + y²
= x² – 2x + 1 + y² + 4y + 4

⇔ - 4x – 4y + 4 = 0 ⇔ x + y – 1 = 0

Số phức liên hợp với số phức z là:

z− = x - yi ⇒ z² - z− ² = 4xy.i
⇒ |z² - z− ²| = 4xy (vì x, y không âm)

z(1 - i) + z−(1 + i) = 2x + 2y

Do đó,
P = 16x²y² + 4xy.(2x+ 2y) = 16x²y² + 8xy.

Đặt t = xy ⇒ 0 ≤ t ≤ = , ta có
P = 16t² + 8t; t ∈ [0; ] .

+ Xét hàm số f(t) = 16t² + 8t liên tục trên [0; ] .

f'(t) = 32t + 8t; f'(t) = 0
⇔ t = 0 ∪ t = - (loại)

f(0) = 0; f( ) = ⇒
⇔ t = ; = 0 ⇔ t = 0

Khi t = ⇒ xy =

Lại có; x+ y – 1= 0 nên x = y = .

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng khi
z = + i .

Chọn C.

Ví dụ 3: Biết rằng số phức z thỏa mãn:
w = (z + 3 - i).(z− + 1 + 3i) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|?

A. √3    B. 2    C. 2√3    D. 2√2

Lời giải:

Đặt z = x + yi (x, y ), số phức liên hợp với số phức z là z− = x - yi

Ta có: w = (z + 3 - i).(z− + 1 + 3i)

⇔ w = ( x + yi + 3 - i) . ( x - yi + 1 + 3i)

⇔ w = [ (x+ 3) + (y – 1).i ].[ (x+ 1)+ ( 3- y).i ]

⇔ w = ( x+ 3).(x+ 1) + ( x + 3). (3- y).i + ( y -1). ( x+ 1)i + ( y – 1). (3- y).i²

⇔ w = x² +4x + 3 + ( 3x - xy + 9 - 3y).i + (xy + y – x – 1).i - ( - y² + 4y – 3)

⇔ w = ( x² + 4x +3 + y² – 4y + 3) + ( 3x – xy + 9 – 3y + xy + y – x – 1).i

⇔ w = (x² + y² + 4x - 4y + 6) + ( 2x – 2y + 8).i

Để w là một số thực khi và chỉ khi
2x - 2y + 8 = 0 hay x - y + 4 = 0

⇒ Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x – y + 4 = 0.

M(x;y) là điểm biểu diễn của z , z có môđun nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất

Khi và chỉ khi M là hình chiếu của O trên đường thẳng d.

⇒ OM ⊥ d

* Cách 1: Đường thẳng OM có dạng:
x + y + c = 0 .

Mà điểm O(0;0) thuộc đường thẳng OM nên ta có: 0 + 0 + c = 0 ⇒ c = 0

Do đó phương trình đường thẳng OM:
x + y = 0

Khi đó, tọa độ M là nghiệm hệ phương trình :

⇒ M(-2; 2) suy ra số phức cần tìm là
z = -2 + 2i.

⇒ |z| = = 2√2

* Cách 2. Khi đó: |z| = d(O; d)
= = 2√2

Chọn D.

Ví dụ 4: Tìm số phức z có mô đun lớn nhất thỏa mãn điều kiện |z−(1 + i) - 3 + 2i| =

A. z = + i    B. z = - i

C. z = + i    D. z = + i

Lời giải:

Gọi số phức thỏa mãn là z = x+ yi;
(x,y ∈ R)

⇒ z− = x - yi

Theo giả thiết ta có:

|z−(1 + i) - 3 + 2i| =
⇔ |(x - yi)(1 + i) - 3 + 2i| =

⇔ ||x + xi - yi + y - 3 + 2i|| =
⇔ |(x + y - 3) + (x - y + 2).i| =

⇔ (x + y - 3)² + (x - y + 2)² =

⇔ x² + y² + 9 + 2xy – 6x – 6y + x² + y² + 4 + 4x – 2xy – 4y =

⇔2x² + 2y² - 2x – 10y + = 0

⇔ x² + y² – x – 5y + = 0 (*)

Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

Tọa độ M (x; y) thỏa mãn (*) nên tập hợp điểm M là đường tròn có tâm I( ; ) và bán kính

R =

* Gọi d là đường thẳng đi qua O và I. Đường thẳng d có dạng: y = kx.

Thay tọa độ điểm I ta được k = 5.

Vậy phương trình d là y = 5x.

Gọi M₁, M₂ là hai giao điểm của d và đường tròn (C), ta tìm được tọa độ 2 điểm đó là:

⇒ M₁( ; ) và M₂( ; ) .

Ta thấy

⇒ Số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M₁ hay z = + i .

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong các số phức z có mô đun là 2√2 . Tìm số phức z sao cho biểu thức
P= |z + 1| + |z + i| đạt giá trị lớn nhất?

A. z = 2 + 2i    B. z = 1 + √7i

C. z = 2 - 2i    D. Đáp án khác

Lời giải:

Gọi số phức thỏa mãn là z = x + yi,
(x,y ∈ R)

* Theo giả thiết:

|z| = 2√2 ⇔ = 2√2 ⇔ x² + y² = 8

*Ta có: P = |z + 1| + |z + i|
= |x + yi + 1| + |x + yi + i|

= +

*Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki cho hai bộ số (1;1) và , ta có:

P² ≤ 2[(x + 1)² + y² + x² + (y + 1)²]
= 2[2x² + 2y² + 2x + 2y + 2]
= 2(16 + 2x + 2y + 2) = 4(9 + x + y)

* Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho hai bộ số (1;1) và (x; y), ta có:

x + y ≤ = 4

⇒ P² ≤ 4(9 + 4) = 52 ⇒ P ≤ 2√13 .

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 2√13 , khi đó z = 2+ 2i.

Chọn A.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho số phức z thỏa mãn $\left|z+2-i\right|+\left|z-4-7i\right|=6\sqrt{2}$. Tìm GTLN và GTNN của $\left|z-1+i\right|$.

Bài 2. Cho số phức z thỏa mãn $\left|z^2-2z+5\right|=\left|\left(z-1+2i\right)\left(z+3i-1\right)\right|$. Tính GTNN của $\left|w\right|$ với số phức w = z – 2 + 2i.

Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn $\left|z-2-4i\right|=\sqrt{5}$. Tìm GTLN và GTNN của $\left|z\right|$.

Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn $\left|z-3-4i\right|=\sqrt{5}$. Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của biểu thức P = ${\left|z+2\right|}^2-{\left|z-i\right|}^2$. Tìm môđun của số phức w = M + mi.

Bài 5. Cho số phức z thỏa mãn $\left|z-4\right|+\left|z+4\right|=10$. Tìm GTLN, GTNN của $\left|z\right|$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• 6 dạng bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải
• 6 dạng bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức trong đề thi Đại học có lời giải
• 4 dạng bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải
• 5 dạng bài tập Tập hợp điểm biểu diễn số phức trong đề thi Đại học có lời giải

---