Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức (cực hay)
Bài viết Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức.
Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức (cực hay)
Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
1. Phương pháp giải
Để giải được các bài toán này . cần nắm được các kiên thức sau:
+ Bất đẳng thức tam giác
• |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≥ 0. Dùng cho BĐT Mincopxki:
• |z1 - z2| ≤ |z1| + |z2|, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≤ 0. Dùng cho BĐT vecto
• |z1 + z2| ≤ ||z1| - |z2||, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≤ 0.
• |z1 - z2| ≤ ||z1| - |z2||, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≥ 0.
+ Bất đẳng thức khác
BĐT Cauchy: A2 + B2 ≥ tìm min
BĐT Bunhia Copski:
(Ax + By)2 ≤ (A2 + B2)(x2 + y2) tìm max
BĐT Mincopxki:
tìm min. Dấu = xảy ra khi
BĐT vecto
tìm min. Dấu = xảy ra khi
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện | z + 1- 5i| = | z− + 3 - i|, tìm số phức có môđun nhỏ nhất?
A. z = + i B. z = - i
C. z = - + i D. z = - i
Lời giải:
Gọi số phức z = x + yi , (x,y ∈ R) ⇒ z− = x - yi
Ta có:
|z + 1 - 5i| = |z− + 3 - i| ⇔ |x + yi + 1 - 5i| = |x - yi + 3 - i|
⇔ |(x + 1) + (y - 5)i| = |(x + 3) + (-y - 1)i|
⇔
⇔ (x + 1)2 +( y -5)2 = ( x + 3)2 + ( y + 1)2
⇔ x2 + 2x + 1 + y2 – 10y + 25
= x2 + 6x+ 9 + y2 + 2y + 1
⇔ - 4x – 12y + 16 = 0 ⇔ x + 3y – 4 = 0
⇔ x = 4 - 3y
Ta có modun của số phức z là:
|z| =
=
Đẳng thức xảy ra khi y = ⇒ x = .
Vậy min|z| = khi z = + i.
Chọn A.
Ví dụ 2: Trong các số phức z có phần thực , phần ảo không âm và thỏa mãn:
= 1 . Tìm số phức z sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất
P = |z2 - z− 2| - (z2 - z− 2).i.[z(1 - i) + z−(1 + i)]
A. z = + i B. z = + i
C. z = + i D. z = 1 + i
Lời giải:
Điều kiện: z ≠ 1 - 2i .
Gọi số phức cần tìm là z = x + yi,(x, y ∈ R; x,y > 0)
Theo giả thiết ta có:
= 1 ⇔ |z - 3| = |z - 1 + 2i|.
⇔ |x + yi - 3| = |x + yi - 1 + 2i|
⇔ |(x - 3) + yi| = |(x - 1) + (y + 2)i|
⇔
⇔ (x – 3)2 + y2 = (x - 1)2 + ( y + 2)2
⇔ x2 – 6x + 9 + y2
= x2 – 2x + 1 + y2 + 4y + 4
⇔ - 4x – 4y + 4 = 0 ⇔ x + y – 1 = 0
Số phức liên hợp với số phức z là:
z− = x - yi ⇒ z2 - z− 2 = 4xy.i
⇒ |z2 -
z− 2| = 4xy (vì x, y không âm)
z(1 - i) + z−(1 + i) = 2x + 2y
Do đó,
P = 16x2y2 + 4xy.(2x+ 2y) = 16x2y2 + 8xy.
Đặt t = xy ⇒ 0 ≤ t ≤
=
, ta có
P = 16t2 + 8t; t ∈ [0;
] .
+ Xét hàm số f(t) = 16t2 + 8t liên tục trên [0; ] .
f'(t) = 32t + 8t; f'(t) = 0
⇔ t = 0 ∪ t = -
(loại)
f(0) = 0; f(
) =
⇒
⇔ t =
;
= 0 ⇔ t = 0
Khi t = ⇒ xy =
Lại có; x+ y – 1= 0 nên x = y = .
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng
khi
z =
+
i .
Chọn C.
Ví dụ 3: Biết rằng số phức z thỏa mãn:
w = (z + 3 - i).(z− + 1 + 3i) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|?
A. √3 B. 2 C. 2√3 D. 2√2
Lời giải:
Đặt z = x + yi (x, y ), số phức liên hợp với số phức z là z− = x - yi
Ta có: w = (z + 3 - i).(z− + 1 + 3i)
⇔ w = ( x + yi + 3 - i) . ( x - yi + 1 + 3i)
⇔ w = [ (x+ 3) + (y – 1).i ].[ (x+ 1)+ ( 3- y).i ]
⇔ w = ( x+ 3).(x+ 1) + ( x + 3). (3- y).i + ( y -1). ( x+ 1)i + ( y – 1). (3- y).i2
⇔ w = x2 +4x + 3 + ( 3x - xy + 9 - 3y).i + (xy + y – x – 1).i - ( - y2 + 4y – 3)
⇔ w = ( x2 + 4x +3 + y2 – 4y + 3) + ( 3x – xy + 9 – 3y + xy + y – x – 1).i
⇔ w = (x2 + y2 + 4x - 4y + 6) + ( 2x – 2y + 8).i
Để w là một số thực khi và chỉ khi
2x - 2y + 8 = 0 hay x - y + 4 = 0
⇒ Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x – y + 4 = 0.
M(x;y) là điểm biểu diễn của z , z có môđun nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất
Khi và chỉ khi M là hình chiếu của O trên đường thẳng d.
⇒ OM ⊥ d
* Cách 1: Đường thẳng OM có dạng:
x + y + c = 0 .
Mà điểm O(0;0) thuộc đường thẳng OM nên ta có: 0 + 0 + c = 0 ⇒ c = 0
Do đó phương trình đường thẳng OM:
x + y = 0
Khi đó, tọa độ M là nghiệm hệ phương trình :
⇒ M(-2; 2) suy ra số phức cần tìm là
z = -2 + 2i.
⇒ |z| = = 2√2
* Cách 2. Khi đó: |z| = d(O; d)
=
= 2√2
Chọn D.
Ví dụ 4: Tìm số phức z có mô đun lớn nhất thỏa mãn điều kiện |z−(1 + i) - 3 + 2i| =
A. z = + i B. z = - i
C. z = + i D. z = + i
Lời giải:
Gọi số phức thỏa mãn là z = x+ yi;
(x,y ∈ R)
⇒ z− = x - yi
Theo giả thiết ta có:
|z−(1 + i) - 3 + 2i| =
⇔ |(x - yi)(1 + i) - 3 + 2i| =
⇔ ||x + xi - yi + y - 3 + 2i|| =
⇔ |(x + y - 3) + (x - y + 2).i| =
⇔ (x + y - 3)2 + (x - y + 2)2 =
⇔ x2 + y2 + 9 + 2xy – 6x – 6y + x2 + y2 + 4 + 4x – 2xy – 4y =
⇔2x2 + 2y2 - 2x – 10y + = 0
⇔ x2 + y2 – x – 5y + = 0 (*)
Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Tọa độ M (x; y) thỏa mãn (*) nên tập hợp điểm M là đường tròn có tâm I( ; ) và bán kính
R =
* Gọi d là đường thẳng đi qua O và I. Đường thẳng d có dạng: y = kx.
Thay tọa độ điểm I ta được k = 5.
Vậy phương trình d là y = 5x.
Gọi M1, M2 là hai giao điểm của d và đường tròn (C), ta tìm được tọa độ 2 điểm đó là:
⇒ M1( ; ) và M2( ; ) .
Ta thấy
⇒ Số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay z = + i .
Chọn C.
Ví dụ 5: Trong các số phức z có mô đun là 2√2 . Tìm số phức z sao cho biểu thức
P= |z + 1| + |z + i| đạt giá trị lớn nhất?
A. z = 2 + 2i B. z = 1 + √7i
C. z = 2 - 2i D. Đáp án khác
Lời giải:
Gọi số phức thỏa mãn là z = x + yi,
(x,y ∈ R)
* Theo giả thiết:
|z| = 2√2 ⇔ = 2√2 ⇔ x2 + y2 = 8
*Ta có: P = |z + 1| + |z + i|
= |x + yi + 1| + |x + yi + i|
= +
*Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki cho hai bộ số (1;1) và , ta có:
P2 ≤ 2[(x + 1)2 + y2 + x2 + (y + 1)2]
= 2[2x2 + 2y2 + 2x + 2y + 2]
= 2(16 + 2x + 2y + 2)
= 4(9 + x + y)
* Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho hai bộ số (1;1) và (x; y), ta có:
x + y ≤ = 4
⇒ P2 ≤ 4(9 + 4) = 52 ⇒ P ≤ 2√13 .
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 2√13 , khi đó z = 2+ 2i.
Chọn A.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm GTLN và GTNN của .
Bài 2. Cho số phức z thỏa mãn . Tính GTNN của với số phức w = z – 2 + 2i.
Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm GTLN và GTNN của .
Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của biểu thức P = . Tìm môđun của số phức w = M + mi.
Bài 5. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của .
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- 6 dạng bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải
- 6 dạng bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức trong đề thi Đại học có lời giải
- 4 dạng bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải
- 5 dạng bài tập Tập hợp điểm biểu diễn số phức trong đề thi Đại học có lời giải
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12