Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia. Xem ngay!

18 Bài tập số phức hay và khó - Toán lớp 12



18 Bài tập số phức hay và khó

Câu 1. Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án, và số phức z có phần ảo không âm. Tính diện tích hình H.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Gọi z = x + yi.

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền trong của Elip:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta có a = 3; b = 1 nên diện tích hình H cần tìm bằng Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án diện tích Elip

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 2. Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H).

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Giả sử z = a + bi khi đó Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án = a - bi

Giả thiết của bài toán là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là điểm M(a;b) thuộc miền trong của elip:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ Bán trục lớn của (E) là a’ = 3, bán trục bé của(E )là b’ = 1 nên diện tích cần tính của miền (H) là

S = πa'b' = 3π

Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn |z - 1 + 3i| + |z + 2 - i| = 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = |2z + 1 + 2i|.

A. maxP = 8; minP = √39.   B.maxP = 10; minP = √39.

C. maxP = 8; minP = 6.     D. max P = 10; minP = 6

Đáp án : A

Giải thích :

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN của

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta thấy z1 = 1 - 3i; z2 = -2 + i và z0 = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án -i

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Do đó max P = 8; min P = √39 .

Câu 4. Cho số phức z thỏa mãn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi M vàm n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z| . Tính M.n.

A. 2.   B. 1.    C. 2√2.    D. 2√3.

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là elíp có tiêu điểm và độ dài trục lớn là 2a = 4 và tiêu cự 2c = 2√2.

Khi đó:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 5. Cho số phức z = a + bi, (a ≥ 0; b ≥ 0; a, b ∈ R). Đặt f(x) = ax2 + bx - 2. Biết:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Tính giá trị lớn nhất của |z| .

A. max|z| = 2√5     B. max|z| = 3√2

C. max|z| = 5     D. max|z| = 2√6

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ giả thiết ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Xét trên hệ tọa độ Oxy các đường thẳng

d: x - y - 2 = 0; d’: x + 4y - 12 = 0 và các trục tọa độ

+ Đường thẳng d ∩ Ox = A(2; 0); d ∩ Oy = (0; -2) = B; d' ∩ Ox = C(12; 0) và hai đường thẳng d ∩ d' = I(4; 2)

+ Miền nghiệm của (I) được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ nằm trong tứ giác OAID kể cả các điểm thuộc trên các cạnh của đa giác.

+ Ta có: |z|2 = a2 + b2 = OM2, |z| lớn nhất khi và chỉ khi OM lớn nhất hay OM2 lớn nhất với M(a; b) là điểm thuộc miền đa giác lồi OAID.

+ Ta có: OA = 2; OI = 2√5; OD = 3. Từ đó suy ra max|z| = 2√5

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi z = 4 + 2i.

Câu 6. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

A. Một parabol.    B. Một điểm.    C. Một đường thẳng.    D. Một đường tròn.

Đáp án : A

Giải thích :

Giả sử z = x + yi, (x, y ∈ R), khi đó ta có: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án = x - yi

Từ đó ta được:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy quỹ tích cần tìm là đường parabol.

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi H là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn của các số phức z thỏa mãn Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp ánToán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án có phần thực và ảo đều thuộc [0; 1] . Tính diện tích của H

A. 1600.    B. 400π.    C. 50(3 - π).    D. 1200- 200π .

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ Giả sử z = x + yi, (x, y ∈ R), khi đó:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

theo bài ta có: 0 ≤ x ≤ 40; 0 ≤ y ≤ 40.

Từ đó ta thấy điểm biểu diễn M cho các số phức Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án là hình vuông có OABC như hình vẽ.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Theo bài ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ (1) ta được x ≥ 0 và x2 + y2 ≥ 40x <=> (x - 20)2 + y2 ≥ 400 (1').

Từ (2) ta được y ≥ 0 và x2 + y2 ≥ 40y <=> x2 + (y - 20)2 ≥ 400 (2')

Tập hợp các điểm biểu diễn cho miền (H) là nằm trong miền “màu đỏ” ta cần tính diện tích của miền này.

+ Diện tích của một phần bốn cung tròn có bán kính R = 20 là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Nên diện tích hình hoa văn tạo bởi cung AIO và cung OIC là S* = 100π + 202 + 100π = 400 + 200π và diện tích cần tính bằng: S = 402 - S* = 1200 - 200π.

Câu 8. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1| = 2, |z2| = √3 và nếu gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1; z2 thì:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

A. P = √5.    B. P = 4√7.    C. P = 3√3.    D. P = 5√2.

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ đó ta có: P = |z1 - 2iz2|.|z1 + 2iz2|.

Theo bài gọi điểm biểu diễn cho số phức 2iz là A khi đó N là trung điểm của đoạn OA.

Ta có:

|z1 - 2iz| = MA, theo định lý cô sin cho tam giác OMA ta có:

MA2 = OM2 + OA2 - 2OM.OA.cos30o = 4 + 4.4 - 2.2.2√3.Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án = 4

Từ đó ta được MA = 2.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Nếu đặt z1 = a + bi; z2 = x + yi, (a, b, x, y ∈ R), ta có:

Q = 16 + 2i[(x + yi)(a - bi) - (a + bi)(x - yi)] = 16 + 2i(-2bxi + 2ayi) = 16 + 4(bx - ay)

Ta có: iz2 = -y + xi nên ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ đó ta được Q = 16 + 4.3 = 28, từ đó suy ra |z1 + 2iz2| = 2√7. Từ đó ta được P = 4√7.

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn |z + 2 - i| + |z - 4 -7i| = 6√2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = |z - 1 + i|. Giá trị của tổng S = M + m là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Cách 1: Dùng hình học

+ Đặt z = a + bi, khi đó điểm biểu diễn cho số phức z là M(a; b).

Gọi A(-2; 1); B(4; 7) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 = -2 + i và z2 = 4 + 7i, khi đó giả thiết là MA + MB = 6√2 mà AB = 6√2 nên từ đây suy ra M ∈ AB (đoạn).

+ Phương trình đường thẳng AB: x - y + 3 = 0 từ đó đoạn AB có phương trình như trên tuy nhiên x ∈ [-2; 4] .

+ Gọi C(1; -1) khi đó ta có:P = MC, với M thuộc đoạn AB

+ min MC = MH = d(C, AB) = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án đạt được khi Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án thuộc đoạn AB.

+ max MC = max{MA, MB} = max{√13, √73} = √73

+ Vậy đáp số là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn D.

Cách 2: Dùng hình học và đại số

+ Đặt z = a + bi, khi đó điểm biểu diễn cho số phức z là M(a; b).

Gọi A(-2;1); B(4;7) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 = -2 + i và z2 = 4 + 7i, khi đó giả thiết là MA + MB = 6√2 mà AB = 6√2 nên từ đây suy ra M ∈ AB (đoạn).

Vì M ∈ [AB] nên M(a; a + 3); a ∈ [-2; 4] (vì AB: x - y + 3 = 0).

+ Khi đó ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Khảo sát hàm số trên ta được kết quả như trên.

Cách 3: Dùng bất đẳng thức mincopxki, như sau:

Giả sử z = a + bi, khi đó ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ đó ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Khảo sát hàm số từ đó tìm được kết quả của bài toán.

Câu 10. Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

là hai đường thẳng d1 ; d2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 ; d2 là bao nhiêu?

A. d(d1 ; d2) = 2.    B. d(d1 ; d2) = 4.    C. d(d1 ; d2) = 1.    D. d(d1 ; d2) = 6.

Đáp án : B

Giải thích :

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

⇔ |x2 + 2xyi - y2 + x2 - 2xyi - y2 + 2x2 + 2y2| = 16

⇔ | 4x2| = 16 ⇔ x = ± 2

=< d(d1 ; d2)=4.

Câu 11. Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy để Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H).

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Giả sử z = a + bi , khi đó Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án, giả thiết của bài toán là

|2a + 2bi - (a - bi)| ≤ 3 ⇔ |a + 3bi| ≤ 3 ⇔ a2 + 9b2

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là điểm M(a;b) thuộc miền trong của elip:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

(kể cả các điểm trên biên).

+ Bán trục lớn của (E) là a = 3, bán trục bé của (E) là b = 1 nên diện tích cần tính của miền (H) là S = πab = 3π .

Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 1| = √2. Tìm giá trị lớn nhất của T = | z + i| + |z - 2 - i|

A. max T = 8√2.    B. max T = 4 .    C. max T = 4√2.    D. maxT = 8 .

Đáp án : B

Giải thích :

T = | z + i| + |z - 2 - i| = |(z - 1) + (1 + i)| + |(z - 1) - (1 + i)|

Đặt w = z - 1. Ta có |w| = 1 và T = |w + (1 + i)| + |w - (1 + i)|

Đặt w = x + yi . Khi đó |w|2 = 1 = x2 + y2

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy maxT = 4 .

Câu 13. Cho số phức z thoả mãn |z| = 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z + 1| + |z2 - z + 1|. Tính giá trị của M.n

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Cách 1:

Re(z) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, |z| = 1 nên z.Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án = 1

Đặt t = |z + 1|, ta có: 0 = |z| - 1 ≥ |z + 1| ≥ |z| + 1 = 2 => t ∈ [0; 2]

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Xét hàm số: f(t) = t + |t2 - 3|; t ∈ [0; 2].

Xét 2 TH:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Cách 2:

z = r(cosx + isinx) = a + bi

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 14. Cho số phức z thoả mãn |z - 3 - 4i| = √5. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỉ nhất của biểu thức P = |z + 2|2 - |z - i|2. Tính module số phức w = M + mi

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Cách 1:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

f'(x) = 8(x - 3) - 8(P - 4x - 11) = 0

⇔ x = 0,2P - 1,6

=> y = 0,1P + 1,7

Thay vào f(x) ta được:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Cách 2:

|z - 3 - 4i| = √5. Nên (x - 3)2 + (y - 4)2 = 5 (C)

Δ 4x + 2y + 3 - P = 0. Tìm P sao cho đường thẳng ∆ và đường tròn (C) có điểm chung

⇔ d(I; Δ) ≤ R ⇔ |23 - P| ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33

Vậy Max P = 33; MinP = 12

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 15. Cho số phức z thoả mãn|z| = 1. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Tính M + m

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy minP = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án; maxP = 3 khi t = 2

M + n = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 16 . Cho ba số phức z1; z2; z3 thoả mãn hệ:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Tính giá trị của biểu thức: T = |az1 + zb2 + cz3|

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta có 0 = sinx + siny + sin(-x - y)

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra hoặc x = k2π hoặc y = k2π hoặc x + y= k2π do đó hai trong ba số z1; z2; z3 bằng nhau.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy T nhận một trong ba giá trị sau:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 17. Cho số phức z thay đổi và thỏa mãn |z - 1 - i| = 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2|z - 8i| - |z - 7- 9i|

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi M(x ; y) biểu diễn số phức z, từ |z - 1 - i| = 5 thì M nằm trên đường tròn

(x - 1)2 + (y - 1)2 = 25 có tâm và bán kính :I(1 ;1) và R = 5.

Gọi A(0 ;8) ; B(7 ; 9) thì

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Phân tích : mục tiêu tìm tọa độ điểm sao cho MB = 2MC, nhận thấy IB = 2IM = 2R nên ta có hai cách tìm tọa độ điểm C như sau :

Cách 1 :

(x - 1)2 + (y - 1)2 = 25 ⇔ T = x2 + y2 - 23 = 0

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Nên chọn điểm Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án thì MB = 2MC

Cách 2 : Lấy điểm C thỏa mãn Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án thì tam giác đồng dạng với tam giác IBM nên ta có MB = 2MC, từ đó Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta có : P = 2MA - MB = 2(MA - MC) ≤ 2AC = 5√5

Dấu "=" đạt được khi điểm C nằm trên đoạn AM.

Câu 18. Cho số phức z thoả mãn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Giá trị lớn nhất của biểu thức P = |z - 5 - 2i| bằng

A. √2 + 5√3     B. √2 + 3√5

C. √5 + 2√3     D. √5 + 3√2

Đáp án : B

Giải thích :

Cách 1: Đại số

Đặt z = a + bi.

Từ giả thiết

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Dễ thấy P lớn nhất khi ab ≤ 0.

Khi đó :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Do a;b ≤ 0 nên từ (1) ta có (a + 1)2 + (b + 1)2 = 2.

Suy ra

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Dấu "=" xảy ra khi

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn B.

Cách 2: Hình học

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đặt z = a + bi.

Từ giả thiết

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Tập hợp M biểu diễn z thuộc các phần đường tròn cùng bán kính là R = √2 có tâm là A(-1;1); B(1;1); C(1;-1); D(-1; -1) nằm chọn vẹn trong 1 góc phần tư (bỏ đi các cung nhỏ).

P = ME với E(5;2). Từ hình vẽ ta thấy max P = HE = ED + radic;2 = 3√5 + √2 .

Quảng cáo

Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 99K tại khoahoc.vietjack.com


so-phuc.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác