Bài tập số phức hay và khó (Phần 1) - Lý thuyết và bài tập đầy đủ các dạng có đáp án



Bài tập số phức hay và khó (Phần 1)

Câu 1. Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án, và số phức z có phần ảo không âm. Tính diện tích hình H.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi.

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền trong của Elip:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta có a = 3; b = 1 nên diện tích hình H cần tìm bằng Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án diện tích Elip

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn C.

Câu 2. Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H).

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Giả sử z = a + bi khi đó Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án = a - bi

Giả thiết của bài toán là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là điểm M(a;b) thuộc miền trong của elip:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ Bán trục lớn của (E) là a’ = 3, bán trục bé của(E )là b’ = 1 nên diện tích cần tính của miền (H) là

S = πa'b' = 3π

Chọn A.

Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn |z - 1 + 3i| + |z + 2 - i| = 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = |2z + 1 + 2i|.

A. maxP = 8; minP = √39.   B.maxP = 10; minP = √39.

C. maxP = 8; minP = 6.     D. max P = 10; minP = 6

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN của

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta thấy z1 = 1 - 3i; z2 = -2 + i và z0 = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án -i

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Do đó max P = 8; min P = √39 .

Chọn A.

Câu 4. Cho số phức z thỏa mãn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi M vàm n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z| . Tính M.n.

A. 2.   B. 1.    C. 2√2.    D. 2√3.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là elíp có tiêu điểm và độ dài trục lớn là 2a = 4 và tiêu cự 2c = 2√2.

Khi đó:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn C.

Câu 5. Cho số phức z = a + bi, (a ≥ 0; b ≥ 0; a, b ∈ R). Đặt f(x) = ax2 + bx - 2. Biết:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Tính giá trị lớn nhất của |z| .

A. max|z| = 2√5     B. max|z| = 3√2

C. max|z| = 5     D. max|z| = 2√6

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ giả thiết ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Xét trên hệ tọa độ Oxy các đường thẳng

d: x - y - 2 = 0; d’: x + 4y - 12 = 0 và các trục tọa độ

+ Đường thẳng d ∩ Ox = A(2; 0); d ∩ Oy = (0; -2) = B; d' ∩ Ox = C(12; 0) và hai đường thẳng d ∩ d' = I(4; 2)

+ Miền nghiệm của (I) được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ nằm trong tứ giác OAID kể cả các điểm thuộc trên các cạnh của đa giác.

+ Ta có: |z|2 = a2 + b2 = OM2, |z| lớn nhất khi và chỉ khi OM lớn nhất hay OM2 lớn nhất với M(a; b) là điểm thuộc miền đa giác lồi OAID.

+ Ta có: OA = 2; OI = 2√5; OD = 3. Từ đó suy ra max|z| = 2√5

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi z = 4 + 2i.

Chọn A.

Câu 6. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

A. Một parabol.    B. Một điểm.    C. Một đường thẳng.    D. Một đường tròn.

Hướng dẫn:

Giả sử z = x + yi, (x, y ∈ R), khi đó ta có: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án = x - yi

Từ đó ta được:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy quỹ tích cần tìm là đường parabol.

Chọn .A.

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi H là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn của các số phức z thỏa mãn Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp ánToán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án có phần thực và ảo đều thuộc [0; 1] . Tính diện tích của H

A. 1600.    B. 400π.    C. 50(3 - π).    D. 1200- 200π .

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ Giả sử z = x + yi, (x, y ∈ R), khi đó:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

theo bài ta có: 0 ≤ x ≤ 40; 0 ≤ y ≤ 40.

Từ đó ta thấy điểm biểu diễn M cho các số phức Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án là hình vuông có OABC như hình vẽ.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Theo bài ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ (1) ta được x ≥ 0 và x2 + y2 ≥ 40x <=> (x - 20)2 + y2 ≥ 400 (1').

Từ (2) ta được y ≥ 0 và x2 + y2 ≥ 40y <=> x2 + (y - 20)2 ≥ 400 (2')

Tập hợp các điểm biểu diễn cho miền (H) là nằm trong miền “màu đỏ” ta cần tính diện tích của miền này.

+ Diện tích của một phần bốn cung tròn có bán kính R = 20 là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Nên diện tích hình hoa văn tạo bởi cung AIO và cung OIC là S* = 100π + 202 + 100π = 400 + 200π và diện tích cần tính bằng: S = 402 - S* = 1200 - 200π.

Chọn D.

Câu 8. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1| = 2, |z2| = √3 và nếu gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1; z2 thì:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

A. P = √5.    B. P = 4√7.    C. P = 3√3.    D. P = 5√2.

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ đó ta có: P = |z1 - 2iz2|.|z1 + 2iz2|.

Theo bài gọi điểm biểu diễn cho số phức 2iz là A khi đó N là trung điểm của đoạn OA.

Ta có:

|z1 - 2iz| = MA, theo định lý cô sin cho tam giác OMA ta có:

MA2 = OM2 + OA2 - 2OM.OA.cos30o = 4 + 4.4 - 2.2.2√3.Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án = 4

Từ đó ta được MA = 2.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Nếu đặt z1 = a + bi; z2 = x + yi, (a, b, x, y ∈ R), ta có:

Q = 16 + 2i[(x + yi)(a - bi) - (a + bi)(x - yi)] = 16 + 2i(-2bxi + 2ayi) = 16 + 4(bx - ay)

Ta có: iz2 = -y + xi nên ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ đó ta được Q = 16 + 4.3 = 28, từ đó suy ra |z1 + 2iz2| = 2√7. Từ đó ta được P = 4√7.

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn |z + 2 - i| + |z - 4 -7i| = 6√2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = |z - 1 + i|. Giá trị của tổng S = M + m là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Cách 1: Dùng hình học

+ Đặt z = a + bi, khi đó điểm biểu diễn cho số phức z là M(a; b).

Gọi A(-2; 1); B(4; 7) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 = -2 + i và z2 = 4 + 7i, khi đó giả thiết là MA + MB = 6√2 mà AB = 6√2 nên từ đây suy ra M ∈ AB (đoạn).

+ Phương trình đường thẳng AB: x - y + 3 = 0 từ đó đoạn AB có phương trình như trên tuy nhiên x ∈ [-2; 4] .

+ Gọi C(1; -1) khi đó ta có:P = MC, với M thuộc đoạn AB

+ min MC = MH = d(C, AB) = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án đạt được khi Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án thuộc đoạn AB.

+ max MC = max{MA, MB} = max{√13, √73} = √73

+ Vậy đáp số là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn D.

Cách 2: Dùng hình học và đại số

+ Đặt z = a + bi, khi đó điểm biểu diễn cho số phức z là M(a; b).

Gọi A(-2;1); B(4;7) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 = -2 + i và z2 = 4 + 7i, khi đó giả thiết là MA + MB = 6√2 mà AB = 6√2 nên từ đây suy ra M ∈ AB (đoạn).

Vì M ∈ [AB] nên M(a; a + 3); a ∈ [-2; 4] (vì AB: x - y + 3 = 0).

+ Khi đó ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Khảo sát hàm số trên ta được kết quả như trên.

Cách 3: Dùng bất đẳng thức mincopxki, như sau:

Giả sử z = a + bi, khi đó ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ đó ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Khảo sát hàm số từ đó tìm được kết quả của bài toán.

Quảng cáo

Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


so-phuc.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác