20 bài tập Số phức chọn lọc, có lời giải

---

---

Với 20 bài tập Số phức có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Số phức.

20 bài tập Số phức chọn lọc, có lời giải

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 3 + 4i| ≤ 2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z + 1 - i là hình tròn có diện tích:

A. S = 9π    B. S = 12π.    C. S = 16π.    D.S = 25π.

Lời giải:

Ta có:

<=> |w - 1 + i - 6 + 8i| ≤ 4 <=> |w - 7 + 9i| ≤ 4 (1)

Giả sử w = x + yi, khi đó (1) <=> (x - 7)² + (y + 9)² ≤ 16

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I(7; -9), bán kính r = 4

Vậy diện tích cần tìm là S = π.4² = 16π

Chọn C.

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A.5    B.4    C.6    D.8

Lời giải:

Ta có:

Khi z = i thì A = 6

Chọn C.

Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất max M và giá trị nhỏ nhất min M của biểu thức M = |z² + z + 1| + |z³ + 1|

A. max M = 5; min M = 1   B. max M = 5; min M = 2

C. max M = 4; min M = 1   D.max M = 4; min M = 2

Lời giải:

Ta có: M ≤ |z|² + |z| + 1 + |z|³ + 1 = 5 ,

khi z = 1 thì M = 5 nên max M = 5

Mặt khác:

khi z = -1 thì M = 1 nên min M = 1

Chọn A.

Câu 4. Cho số phức z thỏa |z| ≥ 2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải:

Ta có:

Mặt khác:

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là , xảy ra khi z = -2i

giá trị lớn nhất của P bằng xảy ra khi z = 2i

Chọn A.

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |1 + z| + 3|1 - z|

Lời giải:

Gọi z = x + yi.

Ta có:

=> y² = 1 - x² => x ∈ [-1; 1]

Ta có:

P = |1 + z| + 3|1 - z|

Xét hàm số:

Hàm số liên tục trên [-1; 1] và với x ∈ (-1; 1) ta có:

Ta có:

f(1) = 2; f(-1) = 6;

Chọn D.

Câu 6 . Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z² + 4| = 2|z|. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức |u| + |v| ≥ | u + v|, ta được:

2|z| + |-4| = |z² + 4| + |-4| ≥ |z|² => |z|² - 2|z| - 4 ≤ 0 => |z| ≤ √5 + 1.

2|z| + |z|² = |z² + 4| + |-z²| ≥ 4 => |z|² + 2|z| - 4 ≥ 0 => |z| ≥ √5 - 1

Vậy |z| nhỏ nhất là √5 - 1 khi z = -1 + i√5 và |z| lớn nhất là √5 + 1 khi z = 1 + i√5

Chọn B.

Câu 7. Cho z₁; z₂ là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn ∈ R và |z₁ - z₂| = 2√3. Tính môđun của số phức z₁.

A. |z₁| = √5

B. |z₁| = 3

C. |z₁| = 2

D. |z₁| =

Lời giải:

Gọi z₁ = a + bi; z₂ = a - bi.

Không mất tính tổng quát ta coi b ≥ 0

Do |z₁ - z₂| = 2√3 => |2bi| = 2√3 => b = √3

Do z₁; z₂ là hai số phức liên hợp của nhau nên z₁; z₂ ∈ R, mà:

Ta có:

(z₁)³ = (a + bi)³ = (a³ - 3ab²) + (3a²b - b³)i ∈ R

Chọn C.

Câu 8. Gọi z = x + yi là số phức thỏa mãn hai điều kiện: |z - 2|² + |z + 2|² = 26 và

đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy.

Lời giải:

Đặt z = x + yi Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x² + y² = 36

Đặt x = 3.cost; y = 3sint. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có:

Dấu bằng xảy ra khi:

Chọn D.

Câu 9. Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện |z - 3 - 4i| = √5 và biểu thức M = |z + 2|² - |z - i|² đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z + i.

A. |z + i| = 2√41

B. |z + i| = 3√5

C. |z + i| = 5√2

D. |z + i| = √41

Lời giải:

Gọi z = x + yi.

Ta có: |z - 3 - 4i| = √5 <=> (C): (x - 3)² + (y - 4)² = 5, tâm I(3; 4) và R = √5

Mặt khác:

M = |z + 2|² - |z - i|² = (x + 2)² + y² - [(x²) + (y - 1)²] = 4x + 2y + 3

<=> d: 4x + 4y + 3 - M = 0

Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và (C) có điểm chung

Chọn D.

Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z - 1 + 2i| = √5 và w = z + 1 + i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng:

A. 2√5    B. 3√2

C. √6   D. 5√2

Lời giải:

Gọi z = x + y; khi đó: z - 1 + 2i = (x - 1) + (y + 2)i

Ta có:

Suy ra tập hợp điểm M(x; y) biểu diễn số phức z thuộc đường tròn (C) tâm I(1; -2) bán kính R = √5 như hình vẽ:

Dễ thấy O ∈ (C), N(-; -1) ∈ (C),

Theo đề ta có: M(x; y) ∈ (C) là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: w = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = (x + 1) + (y + 1)i

Suy ra |z + 1 + i|đạt giá trị lớn nhất khi MN lớn nhất

Mà M, N ∈ (C) nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn (C)

Khi và chỉ khi I là trung điểm MN => M(3; 3) => z = 3 - 3i

Chọn B

Câu 11: Cho hai số phức z₁; z₂ có điểm biểu diễn lần lượt là M₁; M₂ cùng thuộc đường tròn có phương trình x² + y² = 1 và |z₁ - z₂| = 1. Tính giá trị biểu thức P = |z₁ + z₂|

Lời giải:

M₁; M₂ đường tròn (T) có tâm O(0; 0) và bán kính R = 1

Ta có |z₁ - z₂| = 1 hay M₁M₂ = 1.tam giác OM₁M₂ là tam giác đều cạnh bằng 1

Suy ra:

Chọn D.

Câu 12. Cho các số phức a; b;c thỏa mãn a + b + c = 0 và |a| = |b| = |c| = 1. Gọi A; B: C lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức a; b; c . Tính diện tích của tam giác ABC

Lời giải:

Cách 1: (Tự luận)

+ Trước hết ta chứng minh tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn bán kính bằng 1. Thực vậy: từ giả thiết |a| = |b| = |c| = 1. Nên A; B; C đều thuộc đường tròn (O;R = 1) .

+ Ta chứng minh tam giác ABC đều. Chú ý: |a - b| = AB

+ Từ a + b + c = 0 nên a = -b -c => |b + c| = 1 và |c + a| = |a + b| = 1 .

Mặt khác theo hằng đẳng thức hình bình hành ta có |a + b|² + |a - b|² = 2(|a|² + |b|²) nên ta có được |a - b|² = 2.2 - 1 = 3 => |a - b| = √3 => AB = √3 .

Tương tự ta tính được BC = CA = √3 . Do đó tam giác ABC đều với cạnh bằng √3 nên có diện tích bằng

Cách 2: Chuẩn hóa bằng các số phức:

Khi đó ta dễ thấy các số phức trên thỏa mãn các điều kiện của bài toán.

từ đó ta tìm được diện tích của tam giác ABC.

Chọn C.

Câu 13. Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức

Khi đó, mệnh đề nào dưới đây là đúng.

A. A; B; Cthẳng hàng.    B. Tam giác ABC là tam giác tù.

C. ΔABC là tam giác đều.    D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân.

Lời giải:

Ta có z₁ = 2 - i; z₂ = 3 + i; z₃ = 2i.

Từ trên ta được A( 2; -1); B(3; 1); C(0; 2).

Ta được:

- Do nên ba điểm A; B; C không thẳng hàng từ đó ta được tam giác ABC.

- Dễ thấy tam giác ABC không phải là tam giác đều và cũng không phải tam giác vuông.

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.

Chọn B.

Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn |z - 1 + 2i| + |z + 2 - i| = 3√2. Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = |z - 3 + i|. Giá trị của tổng S = M + m là:

Lời giải:

+ Trước hết ta có mệnh đề quen thuộc: Nếu z; z’ lần lượt có điểm biểu diễn là A; A’ thì |z' - z| = A'A .

+ Xét các số phức z₁ = 1 - 2i; z₂ = -2 + i; z₃ = 3 - i và z = x + yi lần lượt có điểm biểu diễn là A; B; C và N.

Khi đó ta có giả thiết là NA + NB = 3√2 (1) với AB = 3√2 (2).

Từ (1) và (2) ta được N thuộc đoạn thẳng AB.

Yêu cầu bài toán là tìm min hoặc max của biểu thức S = NC với ABC là 3 đỉnh của tam giác.

Khi đó minP = NC; maxP = max{CA,CB} .

+ Ta có đường thẳng AB: x + y + 1 = 0 nên

+ CA = √5;CB = √29 suy ra max P = √29.

Chọn A.

Câu 15. Cho 3 số phức z₁; z₂; z₃ phân biệt thỏa mãn |z₁| = |z₂| = |z₃| = 3 và Biết rằng các điểm biểu diễn cho các số phức z₁; z₂; z₃ lần lượt là A; B; C. Tính số đo góc ∠ACB

A. 60^o

B. 90^o

C. 150^o

D. 120^o

Lời giải:

Giả sử z_k = x_k + y_k, khi đó điểm A(x₁; y₁); B( x₂; y₂); C(x₃; y₃) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z₁; z₂; z₃ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Từ giả thiết |z₁| = |z₂| = |z₃| = 3 => OA = OB = OC = 3nên A; B; C đều thuộc đường tròn tâm O, bán kính R = 3.

(vì |z₁| = |z₂| = |z₃| = 3 ) hay x₁ - y₁.i + x₂ - y₂.i = x₃ - y₃i.

+ Vì OA = OB = 3 và nên OACB là hình thoi với một đường chéo OC = 3.

+ Từ trên suy ra tam giác OAC; OBC đều cạnh bằng 3 nên ∠ACB = 120^o

Chọn D.

Câu 16. Cho các số phức a; b; c; z thỏa mãn az² + bz + c = 0 và |a| = |b| = |c| > 0 . Kí hiệu M = max|z|, m = min|z|. Tính mô đun của số phức w = M - mi.

A. |w| = √3    B. |w| = 1    C. |w| = 2√3    D. |w| = 2

Lời giải:

Ta thấy phương trình az² + bz + c = 0 trên tập số phức luôn có hai nghiệm phân biệt hoặc trùng nhau z₁; z₂.

Theo định lý vi – ét ta có:

Đặt |z₁| = x > 0; x ∈ R , khi đó ta có:

Từ bất đẳng thức |z₁| + |z₂| ≥ |z₁ + z₂| nên ba số |z₁|, |z₂|, |z₁ + z₂| là 3 cạnh của một tam giác (có thể suy biến thành đoạn thẳng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ngược ta được:

Chọn A.

Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn . Tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của |z| là:

A. 3    B. √5    C. √13    D. 5

Lời giải:

Với giả thiết ta có:

Từ đó ta được:

Từ đó bằng cách thay a cụ thể ta được đáp án C.

Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1 Tìm tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P với P = |1 + z²2| - |1 + z| ?

A. 2 + √2   B. 1 + 2√2   C. -1 + 2√2   D. 2 - √2

Lời giải:

Ta có:

nên ta có maxP = P(1) = 0; minP = P(0) = -√2.

Hàm số nghịch biến trên .

Từ đó ta được max P = P(-1) = 2; minP = P(0) = -√2.

+ Từ trên ta được:

Chọn A.

Câu 19. Cho hai số phức z₁; z₂ thỏa mãn |z₁|z₁ = 4|z₂|z₂ và nếu gọi M, N là điểm biểu diễn z₁; trong mặt phẳng tọa độ thì tam giác giác MON có diện tích là 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z₁ + z₂|

A. 3√3    B.8   C. 6√2   D.5

Lời giải:

Giải theo tự luận

+ Từ giả thiết |z₁|z₁ = 4|z₂|z₂, suy ra |z₁| = 2|z₂| và ta được z₁ = 2z₂.

+ Giả sử z₁ = x + yi; z₂ = a + bi. Ta được và M(x; y); N(a; -b); N’(a; b) lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1, và z₂.

Ta có:

Từ diện tích của tam giác OMN bằng 8 nên |bx + ay| = 16 hay |ab| = 4 (1).

Ta có:

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi :

Chọn C.

Câu 20. Cho hai số phức z₁; z₂ thỏa mãn |z₁ + 5| = 5, |z₂ + 1 - 3i| = |z₂ - 3 - 6i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z₁ - z₂|

Lời giải:

Giả sử M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z₁ = a + bi, N(c; d) là điểm biểu diễn của số phức z₂ = c + di

Ta có: |z₁ + 5| = 5 <=> (z₁ + 5)² + b² = 25

Vậy M thuộc đường tròn (C): (x + 5)² + y² = 25

|z₂ + 1 - 3i| = |z₂ - 3 - 6i| <=> 8c + 6d = 35

Vậy N thuộc đường thẳng Δ 8x + 6y = 35

Dễ thấy đường thẳng Δ không cắt (C) và |z₁ - z₂| = M .

Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) và đường thẳng 8x + 6y = 35. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên (C) , N chạy trên đường thẳng Δ .

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với Δ .

PT đường thẳng d là 6x - 8y = -30.

Gọi H là giao điểm của d và Δ . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

Gọi K, L là giao điểm của d với đường tròn (C). Tọa độ K, L là nghiệm của hệ

Vậy K(-1; 3), L(-9; -3)

Tính trực tiếp HK, HL. Suy ra

Câu 21. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2 + 3i| = . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

Lời giải:

Giả sử z = x + yi, khi đó:

=> Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện đã cho là đường tròn tâm I(2; -3) và bán kính

Môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M thuộc đường tròn và gần O nhất

=> M trùng với M₁ là giao của đường thẳng OI với đường tròn.

Ta có:

Kẻ M₁H ⊥ Ox. Theo định lý Talet ta có:

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức
• Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 1)
• Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 2)
• Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (tổng hợp)
• 18 Bài tập số phức hay và khó

---

---

---