Các dạng bài tập hay về số phức - Toán lớp 12



Các dạng bài tập về số phức

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 3 + 4i| ≤ 2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z + 1 - i là hình tròn có diện tích:

A. S = 9π    B. S = 12π.    C. S = 16π.    D.S = 25π.

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

<=> |w - 1 + i - 6 + 8i| ≤ 4 <=> |w - 7 + 9i| ≤ 4 (1)

Giả sử w = x + yi, khi đó (1) <=> (x - 7)2 + (y + 9)2 ≤ 16

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I(7; -9), bán kính r = 4

Vậy diện tích cần tìm là S = π.42 = 16π

Chọn C.

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

A.5    B.4    C.6    D.8

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Khi z = i thì A = 6

Chọn C.

Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất max M và giá trị nhỏ nhất min M của biểu thức M = |z2 + z + 1| + |z3 + 1|

A. max M = 5; min M = 1   B. max M = 5; min M = 2

C. max M = 4; min M = 1   D.max M = 4; min M = 2

Hướng dẫn:

Ta có: M ≤ |z|2 + |z| + 1 + |z|3 + 1 = 5 ,

khi z = 1 thì M = 5 nên max M = 5

Mặt khác:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

khi z = -1 thì M = 1 nên min M = 1

Chọn A.

Câu 4. Cho số phức z thỏa |z| ≥ 2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Mặt khác:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án , xảy ra khi z = -2i

giá trị lớn nhất của P bằng Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án xảy ra khi z = 2i

Chọn A.

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |1 + z| + 3|1 - z|

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi.

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

=> y2 = 1 - x2 => x ∈ [-1; 1]

Ta có:

P = |1 + z| + 3|1 - z|

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Xét hàm số:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hàm số liên tục trên [-1; 1] và với x ∈ (-1; 1) ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta có:

f(1) = 2; f(-1) = 6;

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn D.

Câu 6 . Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z2 + 4| = 2|z|. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức |u| + |v| ≥ | u + v|, ta được:

2|z| + |-4| = |z2 + 4| + |-4| ≥ |z|2 => |z|2 - 2|z| - 4 ≤ 0 => |z| ≤ √5 + 1.

2|z| + |z|2 = |z2 + 4| + |-z2| ≥ 4 => |z|2 + 2|z| - 4 ≥ 0 => |z| ≥ √5 - 1

Vậy |z| nhỏ nhất là √5 - 1 khi z = -1 + i√5 và |z| lớn nhất là √5 + 1 khi z = 1 + i√5

Chọn B.

Câu 7. Cho z1; z2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án ∈ R và |z1 - z2| = 2√3. Tính môđun của số phức z1.

A. |z1| = √5

B. |z1| = 3

C. |z1| = 2

D. |z1| = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Gọi z1 = a + bi; z2 = a - bi.

Không mất tính tổng quát ta coi b ≥ 0

Do |z1 - z2| = 2√3 => |2bi| = 2√3 => b = √3

Do z1; z2 là hai số phức liên hợp của nhau nên z1; z2 ∈ R, mà:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

(z1)3 = (a + bi)3 = (a3 - 3ab2) + (3a2b - b3)i ∈ R

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn C.

Câu 8. Gọi z = x + yi là số phức thỏa mãn hai điều kiện: |z - 2|2 + |z + 2|2 = 26 và

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Đặt z = x + yi Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x2 + y2 = 36

Đặt x = 3.cost; y = 3sint. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Dấu bằng xảy ra khi:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn D.

Câu 9. Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện |z - 3 - 4i| = √5 và biểu thức M = |z + 2|2 - |z - i|2 đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z + i.

A. |z + i| = 2√41

B. |z + i| = 3√5

C. |z + i| = 5√2

D. |z + i| = √41

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi.

Ta có: |z - 3 - 4i| = √5 <=> (C): (x - 3)2 + (y - 4)2 = 5, tâm I(3; 4) và R = √5

Mặt khác:

M = |z + 2|2 - |z - i|2 = (x + 2)2 + y2 - [(x2) + (y - 1)2] = 4x + 2y + 3

<=> d: 4x + 4y + 3 - M = 0

Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và (C) có điểm chung

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn D.

Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z - 1 + 2i| = √5 và w = z + 1 + i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng:

A. 2√5    B. 3√2

C. √6   D. 5√2

Hướng dẫn:

Gọi z = x + y; khi đó: z - 1 + 2i = (x - 1) + (y + 2)i

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra tập hợp điểm M(x; y) biểu diễn số phức z thuộc đường tròn (C) tâm I(1; -2) bán kính R = √5 như hình vẽ:

Dễ thấy O ∈ (C), N(-; -1) ∈ (C),

Theo đề ta có: M(x; y) ∈ (C) là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: w = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = (x + 1) + (y + 1)i

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra |z + 1 + i|đạt giá trị lớn nhất khi MN lớn nhất

Mà M, N ∈ (C) nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn (C)

Khi và chỉ khi I là trung điểm MN => M(3; 3) => z = 3 - 3i

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn B

Câu 11: Cho hai số phức z1; z2 có điểm biểu diễn lần lượt là M1; M2 cùng thuộc đường tròn có phương trình x2 + y2 = 1 và |z1 - z2| = 1. Tính giá trị biểu thức P = |z1 + z2|

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

M1; M2 đường tròn (T) có tâm O(0; 0) và bán kính R = 1

Ta có |z1 - z2| = 1 hay M1M2 = 1.tam giác OM1M2 là tam giác đều cạnh bằng 1

Suy ra:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn D.

Câu 12. Cho các số phức a; b;c thỏa mãn a + b + c = 0 và |a| = |b| = |c| = 1. Gọi A; B: C lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức a; b; c . Tính diện tích của tam giác ABC

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Cách 1: (Tự luận)

+ Trước hết ta chứng minh tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn bán kính bằng 1. Thực vậy: từ giả thiết |a| = |b| = |c| = 1. Nên A; B; C đều thuộc đường tròn (O;R = 1) .

+ Ta chứng minh tam giác ABC đều. Chú ý: |a - b| = AB

+ Từ a + b + c = 0 nên a = -b -c => |b + c| = 1 và |c + a| = |a + b| = 1 .

Mặt khác theo hằng đẳng thức hình bình hành ta có |a + b|2 + |a - b|2 = 2(|a|2 + |b|2) nên ta có được |a - b|2 = 2.2 - 1 = 3 => |a - b| = √3 => AB = √3 .

Tương tự ta tính được BC = CA = √3 . Do đó tam giác ABC đều với cạnh bằng √3 nên có diện tích bằng

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Cách 2: Chuẩn hóa bằng các số phức:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Khi đó ta dễ thấy các số phức trên thỏa mãn các điều kiện của bài toán.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

từ đó ta tìm được diện tích của tam giác ABC.

Chọn C.

Câu 13. Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Khi đó, mệnh đề nào dưới đây là đúng.

A. A; B; Cthẳng hàng.    B. Tam giác ABC là tam giác tù.

C. ΔABC là tam giác đều.    D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân.

Hướng dẫn:

Ta có z1 = 2 - i; z2 = 3 + i; z3 = 2i.

Từ trên ta được A( 2; -1); B(3; 1); C(0; 2).

Ta được:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

- Do Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án nên ba điểm A; B; C không thẳng hàng từ đó ta được tam giác ABC.

- Dễ thấy tam giác ABC không phải là tam giác đều và cũng không phải tam giác vuông.

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.

Chọn B.

Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn |z - 1 + 2i| + |z + 2 - i| = 3√2. Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = |z - 3 + i|. Giá trị của tổng S = M + m là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ Trước hết ta có mệnh đề quen thuộc: Nếu z; z’ lần lượt có điểm biểu diễn là A; A’ thì |z' - z| = A'A .

+ Xét các số phức z1 = 1 - 2i; z2 = -2 + i; z3 = 3 - i và z = x + yi lần lượt có điểm biểu diễn là A; B; C và N.

Khi đó ta có giả thiết là NA + NB = 3√2 (1) với AB = 3√2 (2).

Từ (1) và (2) ta được N thuộc đoạn thẳng AB.

Yêu cầu bài toán là tìm min hoặc max của biểu thức S = NC với ABC là 3 đỉnh của tam giác.

Khi đó minP = NC; maxP = max{CA,CB} .

+ Ta có đường thẳng AB: x + y + 1 = 0 nên

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ CA = √5;CB = √29 suy ra max P = √29.

Chọn A.

Câu 15. Cho 3 số phức z1; z2; z3 phân biệt thỏa mãn |z1| = |z2| = |z3| = 3 và Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Biết rằng các điểm biểu diễn cho các số phức z1; z2; z3 lần lượt là A; B; C. Tính số đo góc ∠ACB

A. 60o

B. 90o

C. 150o

D. 120o

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Giả sử zk = xk + yk, khi đó điểm A(x1; y1); B( x2; y2); C(x3; y3) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1; z2; z3 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Từ giả thiết |z1| = |z2| = |z3| = 3 => OA = OB = OC = 3nên A; B; C đều thuộc đường tròn tâm O, bán kính R = 3.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

(vì |z1| = |z2| = |z3| = 3 ) hay x1 - y1.i + x2 - y2.i = x3 - y3i.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ Vì OA = OB = 3 và Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án nên OACB là hình thoi với một đường chéo OC = 3.

+ Từ trên suy ra tam giác OAC; OBC đều cạnh bằng 3 nên ∠ACB = 120o

Chọn D.

Câu 16. Cho các số phức a; b; c; z thỏa mãn az2 + bz + c = 0 và |a| = |b| = |c| > 0 . Kí hiệu M = max|z|, m = min|z|. Tính mô đun của số phức w = M - mi.

A. |w| = √3    B. |w| = 1    C. |w| = 2√3    D. |w| = 2

Hướng dẫn:

Ta thấy phương trình az2 + bz + c = 0 trên tập số phức luôn có hai nghiệm phân biệt hoặc trùng nhau z1; z2.

Theo định lý vi – ét ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đặt |z1| = x > 0; x ∈ R , khi đó ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ bất đẳng thức |z1| + |z2| ≥ |z1 + z2| nên ba số |z1|, |z2|, |z1 + z2| là 3 cạnh của một tam giác (có thể suy biến thành đoạn thẳng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ngược ta được:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn A.

Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án. Tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của |z| là:

A. 3    B. √5    C. √13    D. 5

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Với giả thiết ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ đó ta được:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ đó bằng cách thay a cụ thể ta được đáp án C.

Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1 Tìm tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P với P = |1 + z22| - |1 + z| ?

A. 2 + √2   B. 1 + 2√2   C. -1 + 2√2   D. 2 - √2

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

nên ta có maxP = P(1) = 0; minP = P(0) = -√2.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hàm số nghịch biến trên .

Từ đó ta được max P = P(-1) = 2; minP = P(0) = -√2.

+ Từ trên ta được:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn A.

Câu 19. Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn |z1|z1 = 4|z2|z2 và nếu gọi M, N là điểm biểu diễn z1; Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án trong mặt phẳng tọa độ thì tam giác giác MON có diện tích là 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z1 + z2|

A. 3√3    B.8   C. 6√2   D.5

Hướng dẫn:

Giải theo tự luận

+ Từ giả thiết |z1|z1 = 4|z2|z2, suy ra |z1| = 2|z2| và ta được z1 = 2z2.

+ Giả sử z1 = x + yi; z2 = a + bi. Ta được Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án và M(x; y); N(a; -b); N’(a; b) lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1, Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án và z2.

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ diện tích của tam giác OMN bằng 8 nên |bx + ay| = 16 hay |ab| = 4 (1).

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn C.

Câu 20. Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn |z1 + 5| = 5, |z2 + 1 - 3i| = |z2 - 3 - 6i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z1 - z2|

Hướng dẫn:

Giả sử M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z1 = a + bi, N(c; d) là điểm biểu diễn của số phức z2 = c + di

Ta có: |z1 + 5| = 5 <=> (z1 + 5)2 + b2 = 25

Vậy M thuộc đường tròn (C): (x + 5)2 + y2 = 25

|z2 + 1 - 3i| = |z2 - 3 - 6i| <=> 8c + 6d = 35

Vậy N thuộc đường thẳng Δ 8x + 6y = 35

Dễ thấy đường thẳng Δ không cắt (C) và |z1 - z2| = M .

Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) và đường thẳng 8x + 6y = 35. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên (C) , N chạy trên đường thẳng Δ .

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với Δ .

PT đường thẳng d là 6x - 8y = -30.

Gọi H là giao điểm của d và Δ . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi K, L là giao điểm của d với đường tròn (C). Tọa độ K, L là nghiệm của hệ

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy K(-1; 3), L(-9; -3)

Tính trực tiếp HK, HL. Suy ra

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 21. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2 + 3i| = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Giả sử z = x + yi, khi đó:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

=> Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện đã cho là đường tròn tâm I(2; -3) và bán kính Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M thuộc đường tròn và gần O nhất

=> M trùng với M1 là giao của đường thẳng OI với đường tròn.

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Kẻ M1H ⊥ Ox. Theo định lý Talet ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Quảng cáo

Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


so-phuc.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác