Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 2)
Bài viết Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 2) với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 2).
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 2)
Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Cho |z + a| = |z + b| Tìm Max, min P với P = |z + z1| + |z + z2|
1. Phương pháp
Cách 1:
+) Bước 1: Khai triển |z + a| = |z + b| đưa về dạng đường thẳng
+) Bước 2 : Từ P ta tìm tọa độ điểm A ; B và xét vị trí tương đối của A ;B với d
+) Khi đó z là M thỏa mãn P min :
Cách 2:
Áp dụng
BĐT Bunhia Copski: (Ax + By)2 ≤ (A2 + B2)(x2 + y2) nếu tìm max
BĐT Mincopxki:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 1| = √2. Tìm giá trị lớn nhất của T = |z + i|+ |z - 2 - i|
A. maxT = 8√2 B. maxT = 4 C. maxT = 4√2 D. maxT = 8
Lời giải:
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến ta có:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì
T2 ≤ (|z + 1|2 + |z - 1|2)(12+ 12) = 16 => T ≤ 4
Chọn đáp án là B.
Ví dụ 2: Cho |z - i| + |z - 3 + 3i| = 6. Tính max min của P = |z - 6 + 7i|
Lời giải:
Cách 1: PP hình học
Nhắc lại: Gọi A và B là điểm biểu diễn z1; z2 và M là điểm biểu diễn z; C là điểm biểu diễn z3 trong P
Khi đó MA + MB = k
Nếu MA+ = AB thì điểm biểu diễn là đường thẳng
Nếu MA + MB > AB thì điểm biểu diễn là elip
Khi đó ta vẽ hình biểu diễn các điểm A, B, C trên mặt Oxy và xác định M trong các trường hợp là đường thẳng hoặc elip sao cho MC ngắn nhất hoặc lớn nhất.
Lời giải
Gọi A(0; 1);B(3; -3);C(6; -7);M(x; y)
Khi đó MA + MB = 6; Tìm max min của MC
Ta thấy MA + MB > AB => Elip Trong đó I là trung điểm AB
Khi đó
MC min khi MC = B’C = BC - BB’ = BC - (a - c) = 5 - (1/2) = 4,5
MC max khi MC = A’C = AC + AA’ = AC + (a - c) = 10 + (1/2) = 10,5
Cách 2: Dùng máy tính CASIO
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn |z - 2 - 3i| = 1. Giá trị nhỏ nhất của |z + 1 + i| là:
A. √13 - 1 B. 4 C. -4 D. √13 + 1
Lời giải:
Ta có:
|z + 1 + i| = |z + 1 -i| = |(z - 2 - 3i) + (3 + 2i)| ≥ ||z - 2 - 3i| - |3 + 2i|| = √13 - 1
Chọn đáp án là A.
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = |z + 1| + 2|z - 1|
A. max T = 2√5 B. max T = 2√10 C. max T = 3√5 D. max T = 3√2
Lời giải:
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến ta có:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì:
T2 ≤ (|z + 1|2 |z - 1|2)(12 + 22) = 20 => T ≤ 2√5
Chọn đáp án là A.
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = |z + 1| + 3|z - 1|
A. max T = 3√10 B. max T = 2√10 C. max T = 6 D. max T = 4√2
Lời giải:
Áp dụng công thức trung tuyến ta có :
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì
T2 ≤ (|z + 1|2 + |z - 1|2)(12 + 32) = 40 => T ≤ 2√10
Chọn đáp án là B.
Ví dụ 6: Cho số phức z thay đổi và thỏa mãn |z - 1 - i| = 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2|z - 8i| - |z - 7 - 9i| bằng:
Lời giải:
Gọi M(x; y) biểu diễn số phức z, từ |z - 1 - i| = 5 thì M nằm trên đường tròn (x - 1)2 + (y - 1)2 = 25 có tâm và bán kính : I(1; 1), R = 5.
Gọi A(0; 8); B(7; 9) thì:
Phân tích : mục tiêu tìm tọa độ điểm sao cho MB = 2MC, nhận thấy IB = 2IM = 2R nên ta có hai cách tìm tọa độ điểm C như sau :
Cách 1 : (x - 1)2 + (y - 1)2 = 25 ⇔ T = x2 + y2 - 23 = 0
Nên chọn điểm thì MB = 2MC
Cách 2 : Lấy điểm C thỏa mãn thì tam giác IMC đồng dạng với tam giác IMB nên ta có MB = 2MC từ đó
Ta có: P = 2MA - MB = 2(MA - MC) ≤ 2Ac = 5√5
Dấu "=" đạt được khi điểm C nằm trên đoạn AM.
Chọn B.
Ví dụ 7: Cho số phức z thoả mãn:
Giá trị lớn nhất của biểu thức: P = |z - 5 - 2i| bằng
A. √2 + 5√3 B. √2 + 3√5
C. √5 + 2√3 D. √5 + 3√2
Lời giải:
Cách 1: Đại số
Đặt z = a + bi
Từ giả thiết:
⇔ 2|a| + 2|b| = a2 + b2
⇔ (|a| - 1)2 + (|b| - 1)2 = 2 (1)
Ta có:
Dễ thấy P lớn nhất khi a, b ≤ 0. Khi đó:
Do a, b ≤ 0 nên từ (1) ta có: (a + 1)2 + (b + 1)2 = 2
Chọn B.
Cách 2: Hình học
Đặt z = a + bi.
Từ giả thiết
⇔ 2|a| + 2|b| = a2 + b2
⇔ (|a| - 1)2 + (|b| - 1)2 = 2 (1)
Tập hợp M biểu diễn z thuộc các phần đường tròn cùng bán kính là R = √2 có tâm là A(-1; 1), B(1; 1), C(1; -1), D(-1; -1) nằm chọn vẹn trong 1 góc phần tư (bỏ đi các cung nhỏ).
P = ME với E(5; 2). Từ hình vẽ ta thấy max P = HE = ED + √2 = 3√5 + √2
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A. 10 B. 20 C. 2√5 D. 4√5
Lời giải:
Ta có:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có phương trình:
(x - 2)2 + (y - 3)2 = 20 (C)
= |z + i| + 2|z - 4 - 7i|, A(0; -1); B(4; 7) lần lượt biểu diễn 2 số phức z1 = -i, z2 = 4 + 7i. Ta có A, B ∈ (C), AB = 4√5 = 2R nên nên AB là bán kính đường tròn (C)=> MA2 + MB2 = AB2 = 80
Mặt khác:
dấu “=” xảy ra khi MB = 2MA
Vậy maxP = 20
Chọn B.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức
- Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 1)
- Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (tổng hợp)
- Các dạng bài tập hay về số phức
- 18 Bài tập số phức hay và khó
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12