Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (tổng hợp)

---

---

Bài viết Tìm max min số phức thỏa mãn điều kiện với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm max min số phức thỏa mãn điều kiện.

Chuyên đề 6: Tìm max min số phức thỏa mãn điều kiện

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (tổng hợp)

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn |z| ≤ 1. Đặt A = . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. |A| < 1     B. |A| ≤ 1     C. |A| ≥ 1     D. |A| > 1

Lời giải:

Ta có:

2A + Aiz = 2z - i ⇔ (2 - Ai)z = 2A + i

Đặt A = a + bi.

Suy ra

|z| ≤ 1 ⇒ |2A + i| ≤ |2 - Ai| ⇔ 4a² + (2b + 1)² ≤ a² + (b + 2)² ⇔ 3a² + 3b² ≤ 3

Chọn đáp án là B.

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Lời giải:

Ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

Chọn đáp án C.

Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn |z - 1| 2i| = 3. Mô đun lớn nhất của số phức z là:

A. 3 + √5     B. 2√5     C. 3    D. Tất cả sai

Lời giải:

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = 3. Khi đó |z| = OM với O là gốc tọa độ. Do đó

max |z| = OI + r = 3 + √5

Chọn đáp án là A.

Câu 4: Cho số phức z, w thỏa mãn |z - 1 + 2i| = |z + 5i|, w = iz + 20. Giá trị nhỏ nhất m của |w| là

Lời giải:

Gọi A (1; −2), B (0; −5), tập hợp các điểm z thỏa mãn giả thiêt đề bài là đường trung trực d của AB có phương trình x + 3y + 10 = 0. Ta có |w| = |iz + 20| = |z - 20i| = OM với M là điểm biểu diễn số phức z và C(0; 20). Do đó min |w| = d(C.∆) = 7√10

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn:

Biết biểu thức Q = |z - 2 - 4i| + |z - 4 - 6i| đạt giá trị nhỏ nhất tại z = a + bi (a, b ∈ R). Tính P = a − 4b

Lời giải:

tập hợp các điểm z thỏa mãn giả thiêt đề bài là đường trung trực d của AB có phương trình x − 4y + 2 = 0.

Xét hai điểm M(2; 4), N(4; 6) thì Q = IM + IN với I ∈ d.

Do đó Q nhỏ nhất khi và chỉ khi I là giao điểm của M0N với là điểm đối xứng của M qua d

Chọn đáp án là A.

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn:

Gọi M và m lần lượt là Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của |z|. Tính M.m

A. Mnm = 2    B. Mm = 1    C. Mm = 2√2    D. Mm = 2√3

Lời giải:

Ta có:

Theo giả thiết thì số phức z thỏa mãn

Gọi A(−1; 1), B(1; −1) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công thức trung tuyến thì

Vậy Mm = 2√2.

Chọn đáp án là C.

Câu 7: Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn |z - 2| + |z + 2| = 4√2. Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M, N là điểm biểu diễn z và z. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN

A. 1    B. √2    C. 4√2    D. 2√2

Lời giải:

Gọi điểm M biểu diễn số phức z = x + iy và N biểu diễn số phức thì M, N đối xứng nhau qua Ox. Diện tích tam giác OMN là S_OMN = |xy|

Do |z - 2| + |z + 2| = 4√2 nên tập hợp M biểu diễn x là Elip

Chọn đáp án là D.

Câu 8: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện (z - 1)( + 2i) là số thực. Tính giá trị nhỏ nhất của mô – đun của số phức z.

Lời giải:

Giả sử z = x + yi,

Khi đó (z - 1)( + 2i) = x(x - 1) + y(y - 2) + [xy - (x - 1)(y - 2)]i

theo bài do số phức trên là số thực nên xy - (x - 1)(y - 2) = 0 ⇔ y = 2 - 2x

Từ đó ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 9: Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn |z₁|z₁ = 9|z₂|z₂ và nếu gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì tam giác OMN có diện tích bằng 6. Tính giá trị nhỏ nhất của P = |z₁ + z₂

A. min P = 8    B. min P = 6

C. min P = 4√2    D. min P = 3√2

Lời giải:

+ Từ |z₁|z₁ = 9|z₂|z₂ suy ra |z₁| = 3|z₂| = 3t (t > 0) và điểm biểu diễn cho số phức z₁, z₂ và điểm thẳng hàng (các véc tơ còn cùng hướng). Trong đó điểm N' đối xứng của điểm N qua trục Ox là điểm biểu diễn cho số phức z₂. Thế vào hệ thức trên ta được:

+ Giả sử z₁ = x + yi; z₂ = a + bi, (a, b, x, y ∈ R) suy ra M(x; y); N(a; -b); N'(a; b). Ta có:

Từ đó ta có: |bx + ay| = 12 hay |ab| = 2 (1)

Ta có:

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi

Chọn đáp án A.

Câu 10: Xét tập A gồm các số phức z thỏa

là số thuần ảo và các giá trị m, n thỏa chỉ có duy nhất số phức z ∈ A thỏa |z - m - mi| = √2. Đặt M = max(m + n), N = min(m + n) thì giá trị của tổng M + N là?

A. -2     B. - 4    C. 2     D. 4

Lời giải:

Vận dụng tính chất ta có a thuần ảo thì

Từ giả thiết suy ra:

Vậy tập hợp A là đường tròn (C) có tâm I(1;1) bán kính R = √2.

Ta có: |z - m - mi| = √2 ⇔ (x - m)² + (y - n)² = 2 do phương trình này có nghiệm duy nhất nên x = m, y = n

Vậy ta có: M = max(x + y); m = min(x + y).

Gọi M là một giá trị của x+ y hay x + y = T ⇔ x + y - T = 0

+ Xét đường thẳng d: x + y - T = 0

Hệ trên có nghiệm khi và chỉ khi:

Vậy M = 4; m = 0 nên M + m = 4.

Chọn đáp án D.

Câu 11: Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa |z + 2i - 1| = |z + i|. Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A(1 ;3) .

A.3 + i    B. 1 + 3i.    C. 2 - 3i.    D. -2 + 3i.

Lời giải:

Gọi M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x, y ∈ R)

Gọi E(1 ; -2) là điểm biểu diễn số phức 1 - 2i

Gọi F(0 ; -1) là điểm biểu diễn số phức -i

Ta có: |z + 2i - 1| = |z + i| ⇔ ME = MF => Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực EF : x - y - 2 = 0.

Để MA ngắn nhất khi MA ⊥ EF tại M ⇔ M(3; 1) => z = 3 + i

Chọn A.

Câu 12: Cho số phức z thoả |z - 3 + 4i| = 2 và w = 2z + 1 - i. Khi đó |w| có giá trị lớn nhất là:

Lời giải:

=> Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(7;-9) bán kính R = 4.

Khi đó |w| có giá trị lớn nhất là OI + R = √130 + 4

Câu 13: Cho số phức z₁ thỏa mãn |(1 + i)z + 1 - 5i| = 5√2 và số phức z₂ thỏa mãn |z + 1 + 2i| = |z+ i|. Tính tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z₁ - z₂|

Lời giải:

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z₁; z₂ trên mặt phẳng.

Chọn B.

Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn |z| ≥ 2. Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải:

Áp dụng BĐT ||z₂| - |z₁|| ≤ |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |₂|

Ta có:

Do đó maxP = 3/2; minP = 1/2

MaxP.minP = 3/4

Chọn D.

Câu 15: Cho hai số phức z; w thỏa mãn |z - 1| = |z + 3 - 2i|; w = z + m + i với m ∈ R là tham số. Giá trị của m để ta luôn có |w| ≥ 2√5 là:

Lời giải:

Ta có: z = w - m - i => |w - m - 1 - i| = |w + 3 - m - 3i|

Tập hợp điểm M biểu diễn w là trung trực của A(m + 1; 1); B(m - 3; 3) nên là đường thẳng d qua trung điểm I(m - 1; 2) và có => d: 2x - y - 2m + 4 = 0

Đặt z = a + bi do |w| ≥ 2√5 nên M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R = 2√5

Chọn B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức
• Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 1)
• Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 2)
• Các dạng bài tập về số phức (Phần 1)
• Bài tập số phức hay và khó (Phần 1)

---

---

---