Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (tổng hợp) - Phương pháp giải và Bài tập đầy đủ các dạng có đáp án



Chuyên đề 6: Tìm max min số phức thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (tổng hợp)

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn |z| ≤ 1. Đặt A = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. |A| < 1     B. |A| ≤ 1     C. |A| ≥ 1     D. |A| > 1

Hướng dẫn:

Ta có:

2A + Aiz = 2z - i ⇔ (2 - Ai)z = 2A + i

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đặt A = a + bi.

Suy ra

|z| ≤ 1 ⇒ |2A + i| ≤ |2 - Ai| ⇔ 4a2 + (2b + 1)2 ≤ a2 + (b + 2)2 ⇔ 3a2 + 3b2 ≤ 3

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án là B.

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án C.

Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn |z - 1| 2i| = 3. Mô đun lớn nhất của số phức z là:

A. 3 + √5     B. 2√5     C. 3    D. Tất cả sai

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = 3. Khi đó |z| = OM với O là gốc tọa độ. Do đó

max |z| = OI + r = 3 + √5

Chọn đáp án là A.

Câu 4: Cho số phức z, w thỏa mãn |z - 1 + 2i| = |z + 5i|, w = iz + 20. Giá trị nhỏ nhất m của |w| là

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi A (1; −2), B (0; −5), tập hợp các điểm z thỏa mãn giả thiêt đề bài là đường trung trực d của AB có phương trình x + 3y + 10 = 0. Ta có |w| = |iz + 20| = |z - 20i| = OM với M là điểm biểu diễn số phức z và C(0; 20). Do đó min |w| = d(C.∆) = 7√10

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Biết biểu thức Q = |z - 2 - 4i| + |z - 4 - 6i| đạt giá trị nhỏ nhất tại z = a + bi (a, b ∈ R). Tính P = a − 4b

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

tập hợp các điểm z thỏa mãn giả thiêt đề bài là đường trung trực d của AB có phương trình x − 4y + 2 = 0.

Xét hai điểm M(2; 4), N(4; 6) thì Q = IM + IN với I ∈ d.

Do đó Q nhỏ nhất khi và chỉ khi I là giao điểm của M0N với Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án là điểm đối xứng của M qua d

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án là A.

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi M và m lần lượt là Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của |z|. Tính M.m

A. Mnm = 2    B. Mm = 1    C. Mm = 2√2    D. Mm = 2√3

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Theo giả thiết thì số phức z thỏa mãn

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi A(−1; 1), B(1; −1) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công thức trung tuyến thì

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy Mm = 2√2.

Chọn đáp án là C.

Câu 7: Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn |z - 2| + |z + 2| = 4√2. Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M, N là điểm biểu diễn z và z. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN

A. 1    B. √2    C. 4√2    D. 2√2

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi điểm M biểu diễn số phức z = x + iy và N biểu diễn số phức Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án thì M, N đối xứng nhau qua Ox. Diện tích tam giác OMN là SOMN = |xy|

Do |z - 2| + |z + 2| = 4√2 nên tập hợp M biểu diễn x là Elip

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án là D.

Câu 8: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện (z - 1)(Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án + 2i) là số thực. Tính giá trị nhỏ nhất của mô – đun của số phức z.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Giả sử z = x + yi,

Khi đó (z - 1)(Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án + 2i) = x(x - 1) + y(y - 2) + [xy - (x - 1)(y - 2)]i

theo bài do số phức trên là số thực nên xy - (x - 1)(y - 2) = 0 ⇔ y = 2 - 2x

Từ đó ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án B.

Câu 9: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1|z1 = 9|z2|z2 và nếu gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì tam giác OMN có diện tích bằng 6. Tính giá trị nhỏ nhất của P = |z1 + z2

A. min P = 8    B. min P = 6

C. min P = 4√2    D. min P = 3√2

Hướng dẫn:

+ Từ |z1|z1 = 9|z2|z2 suy ra |z1| = 3|z2| = 3t (t > 0) và điểm biểu diễn cho số phức z1, z2 và điểm thẳng hàng (các véc tơ còn cùng hướng). Trong đó điểm N' đối xứng của điểm N qua trục Ox là điểm biểu diễn cho số phức z2. Thế vào hệ thức trên ta được:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ Giả sử z1 = x + yi; z2 = a + bi, (a, b, x, y ∈ R) suy ra M(x; y); N(a; -b); N'(a; b). Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ đó ta có: |bx + ay| = 12 hay |ab| = 2 (1)

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án A.

Câu 10: Xét tập A gồm các số phức z thỏa

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án là số thuần ảo và các giá trị m, n thỏa chỉ có duy nhất số phức z ∈ A thỏa |z - m - mi| = √2. Đặt M = max(m + n), N = min(m + n) thì giá trị của tổng M + N là?

A. -2     B. - 4    C. 2     D. 4

Hướng dẫn:

Vận dụng tính chất ta có a thuần ảo thì

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ giả thiết suy ra:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy tập hợp A là đường tròn (C) có tâm I(1;1) bán kính R = √2.

Ta có: |z - m - mi| = √2 ⇔ (x - m)2 + (y - n)2 = 2 do phương trình này có nghiệm duy nhất nên x = m, y = n

Vậy ta có: M = max(x + y); m = min(x + y).

Gọi M là một giá trị của x+ y hay x + y = T ⇔ x + y - T = 0

+ Xét đường thẳng d: x + y - T = 0

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hệ trên có nghiệm khi và chỉ khi:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy M = 4; m = 0 nên M + m = 4.

Chọn đáp án D.

Câu 11: Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa |z + 2i - 1| = |z + i|. Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A(1 ;3) .

A.3 + i    B. 1 + 3i.    C. 2 - 3i.    D. -2 + 3i.

Hướng dẫn:

Gọi M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x, y ∈ R)

Gọi E(1 ; -2) là điểm biểu diễn số phức 1 - 2i

Gọi F(0 ; -1) là điểm biểu diễn số phức -i

Ta có: |z + 2i - 1| = |z + i| ⇔ ME = MF => Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực EF : x - y - 2 = 0.

Để MA ngắn nhất khi MA ⊥ EF tại M ⇔ M(3; 1) => z = 3 + i

Chọn A.

Câu 12: Cho số phức z thoả |z - 3 + 4i| = 2 và w = 2z + 1 - i. Khi đó |w| có giá trị lớn nhất là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

=> Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(7;-9) bán kính R = 4.

Khi đó |w| có giá trị lớn nhất là OI + R = √130 + 4

Câu 13: Cho số phức z1 thỏa mãn |(1 + i)z + 1 - 5i| = 5√2 và số phức z2 thỏa mãn |z + 1 + 2i| = |z+ i|. Tính tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z1 - z2|

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1; z2 trên mặt phẳng.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn B.

Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn |z| ≥ 2. Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Áp dụng BĐT ||z2| - |z1|| ≤ |z1 + z2| ≤ |z1| + |2|

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Do đó maxP = 3/2; minP = 1/2

MaxP.minP = 3/4

Chọn D.

Câu 15: Cho hai số phức z; w thỏa mãn |z - 1| = |z + 3 - 2i|; w = z + m + i với m ∈ R là tham số. Giá trị của m để ta luôn có |w| ≥ 2√5 là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Ta có: z = w - m - i => |w - m - 1 - i| = |w + 3 - m - 3i|

Tập hợp điểm M biểu diễn w là trung trực của A(m + 1; 1); B(m - 3; 3) nên là đường thẳng d qua trung điểm I(m - 1; 2) và có Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án => d: 2x - y - 2m + 4 = 0

Đặt z = a + bi do |w| ≥ 2√5 nên M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R = 2√5

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn B.

Quảng cáo

Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


so-phuc.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác