Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức
Bài viết Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức
Bài giảng: Các dạng toán liên quan đến lũy thừa và module số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
1. Phương pháp
|z - (a + bi)| = c, (c > 0) => Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R = c
Biểu diễn P là 1 điểm M nào đó, dựa vào hình vẽ xác định max min cho thích hợp.
Ví dụ P = |z| tức là đường tròn tâm O:
Ví dụ P = |z + i| tức là đường tròn tâm H (0;-1)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho |z - 4 + 3i| = 3. Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức: |z - a - bi| = c ⇔ |z - (a + bi)| = c => -c + |a + bi| ≤ |z| ≤ c + |a + bi|
Ta có: |z - 4 + 3i| = 3 ⇔ |z - (4 - 3i)| = 3 ⇔ - 3 + |4 - 3i| ≤ |z| ≤ 3 + |4 - 3i| ⇔ 2 ≤ |z| ≤ 8
Cách tìm số phức:
+ Tìm Số phức z có module nhỏ nhất là:
+ Tương tự: Số phức z có module lớn nhất là:
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa |z - 5i| ≤ 3. Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu?
A. 0. B. 3. C. 2. D. 4.
Lời giải:
Gọi M(x ;y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi.
Gọi E(0 ;5) là điểm biểu diễn số phức 5i
Ta có: |z - 5i| ≤ 3 => MA ≤ 3. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm A(0 ;5) ; R = 3 như hình vẽ
Số phức z có môđun nhỏ nhất nhỏ nhất.Dựa vào hình vẽ, ta thấy z = 2i. Suy ra phần ảo bằng 2
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của |z| biết:
A. √2 B. 2 C. 1 D. 3
Lời giải:
Ta có:
Chọn đáp án B.
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn |z2 - i| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của |z|.
A. 2 B. √2 C. 2√2 D. √2
Lời giải:
Ta có:
1 ≥ |z2| - |i| = |z|2 - 1 => |z|2 ≤ 2 => |z| ≤ 2
Chọn đáp án là D
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.
Lời giải:
Ta có:
|x + yi + i + 1| = |x - yi - 2i|
⇔ (x + 1)2 + (y + 1)2 = x2 + (y + 2)2
⇔ 2x - 2y - 2 = 0 => x = 1 + y
Chọn đáp án A.
Ví dụ 6: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 2 - 4i| = |z - 2i|. Số phức z có môđun nhỏ nhất là?
A. z = -2 + 2i B. z = 2 - 2i
C. z = 2 + 2i D. z = -2 - 2i
Lời giải:
Gọi z = x + yi (x, y ∈ R).
Ta có: |x - 2 - 4(y - 4)i| = |x + (y - 2)x| ⇔ y = -x + 4
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình x + y - 4 = 0
Mặt khác:
Chọn đáp án C.
Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn |z − 1 − 2i| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|
A. √2 B. 1 C. 2 D. √5 - 1
Lời giải:
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = 1.
Do đó min |z| = OI − r = √5 − 1.
Chọn đáp án là D.
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 1 + 2i| = √5 và w = z + 1 + i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng:
A. 2√5 B. 3√2 C. √6 D. 5√2
Lời giải:
Gọi z = x + yi khi đó z - 1 + 2i = (x - 1) + (y + 2)i
Ta có:
Suy ra tập hợp điểm M(x; y) biểu diễn số phức z thuộc đường tròn (C) tâm I(1; -2) bán kính R = √5 như hình vẽ:
Dễ thấy O ∈ (C), N(-1; -1) ∈ (C)
Theo đề ta có: M(x; y) ∈ (c) là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
W = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = (x + 1) + (y + 1)i
Suy ra |z + 1 + i| đạt giá trị lớn nhất khi MN lớn nhất
Mà M, N ∈ (C) nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn (c)
⇔ I là trung điểm MN => M(3; -3) => z = 3 - 3i
Cách 2: (giải thuần đại số)
Đặt z = x + yi(x, y ∈ R) thì |z - 1 + 2i| = √5 ⇔ (x - 1)2 + (y + 2)2 = 5 (1)
|w|2 = |z + 1 + i|2 = (x + 1)2 + (y + 1)2 = (x - 1)2 + (y + 2)2 + 4x - 2y - 3 = 4x - 2y + 2 (do (1))
Dấu “=” của (2) xảy ra
Như vậy do |w| đạt giá trị lớn nhất nên x = -3, y = -3. Từ đó |z| = 3√2.
Chọn B.
Ví dụ 9: Xét số phức z thỏa mãn 4|z + i| + 3|z − i| = 10. Gọi M, m tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của |z|. Tính M + m
Lời giải:
Gọi A(0; −1), B(0; 1) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công thức trung tuyến thì:
Theo giả thiết: 4MA + 3MB = 2√2. Đặt a = MA
Chọn đáp án là C.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Biết rằng số phức z thỏa mãn: w = (z + 3 - i).( + 1 + 3i) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|?
Bài 2. Cho |z - 4 + 3i| = 3. Tìm số phức có môđun nhỏ nhất, lớn nhất?
Bài 3. Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa |z - 5i| ≤ 3. Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu?
Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|?
Bài 5. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z + 1- 5i| = | + 3 - i|, tìm số phức có môđun nhỏ nhất?
Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 1)
- Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 2)
- Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (tổng hợp)
- Các dạng bài tập hay về số phức
- 18 Bài tập số phức hay và khó
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12