Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia chỉ 199k, tại khoahoc.vietjack.com. Xem ngay Xem ngay!

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức - Toán lớp 12



Chuyên đề 6: Tìm max min số phức thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức

Dạng 1: Cho số phức z thỏa mãn |z - (a + bi)| = c, (c > 0), tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P với P = |z|

1. Phương pháp

|z - (a + bi)| = c, (c > 0) => Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R = c

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Biểu diễn P là 1 điểm M nào đó, dựa vào hình vẽ xác định max min cho thích hợp.

Ví dụ P = |z| tức là đường tròn tâm O:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ P = |z + i| tức là đường tròn tâm H (0;-1)

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho |z - 4 + 3i| = 3. Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: |z - a - bi| = c ⇔ |z - (a + bi)| = c => -c + |a + bi| ≤ |z| ≤ c + |a + bi|

Ta có: |z - 4 + 3i| = 3 ⇔ |z - (4 - 3i)| = 3 ⇔ - 3 + |4 - 3i| ≤ |z| ≤ 3 + |4 - 3i| ⇔ 2 ≤ |z| ≤ 8

Cách tìm số phức:

+ Tìm Số phức z có module nhỏ nhất là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ Tương tự: Số phức z có module lớn nhất là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa |z - 5i| ≤ 3. Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu?

A. 0.    B. 3.    C. 2.    D. 4.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi M(x ;y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi.

Gọi E(0 ;5) là điểm biểu diễn số phức 5i

Ta có: |z - 5i| ≤ 3 => MA ≤ 3. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm A(0 ;5) ; R = 3 như hình vẽ

Số phức z có môđun nhỏ nhất nhỏ nhất.Dựa vào hình vẽ, ta thấy z = 2i. Suy ra phần ảo bằng 2

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của |z| biết:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

A. √2     B. 2    C. 1    D. 3

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn |z2 - i| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của |z|.

A. 2    B. √2    C. 2√2    D. √2

Hướng dẫn:

Ta có:

1 ≥ |z2| - |i| = |z|2 - 1 => |z|2 ≤ 2 => |z| ≤ 2

Chọn đáp án là D

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Ta có:

|x + yi + i + 1| = |x - yi - 2i|

⇔ (x + 1)2 + (y + 1)2 = x2 + (y + 2)2

⇔ 2x - 2y - 2 = 0 => x = 1 + y

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án A.

Ví dụ 6: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 2 - 4i| = |z - 2i|. Số phức z có môđun nhỏ nhất là?

A. z = -2 + 2i     B. z = 2 - 2i

C. z = 2 + 2i     D. z = -2 - 2i

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi (x, y ∈ R).

Ta có: |x - 2 - 4(y - 4)i| = |x + (y - 2)x| ⇔ y = -x + 4

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình x + y - 4 = 0

Mặt khác:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án C.

Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn |z − 1 − 2i| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|

A. √2    B. 1    C. 2    D. √5 - 1

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = 1.

Do đó min |z| = OI − r = √5 − 1.

Chọn đáp án là D.

Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 1 + 2i| = √5 và w = z + 1 + i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng:

A. 2√5    B. 3√2    C. √6    D. 5√2

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi z = x + yi khi đó z - 1 + 2i = (x - 1) + (y + 2)i

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra tập hợp điểm M(x; y) biểu diễn số phức z thuộc đường tròn (C) tâm I(1; -2) bán kính R = √5 như hình vẽ:

Dễ thấy O ∈ (C), N(-1; -1) ∈ (C)

Theo đề ta có: M(x; y) ∈ (c) là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:

W = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = (x + 1) + (y + 1)i

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra |z + 1 + i| đạt giá trị lớn nhất khi MN lớn nhất

Mà M, N ∈ (C) nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn (c)

⇔ I là trung điểm MN => M(3; -3) => z = 3 - 3i

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Cách 2: (giải thuần đại số)

Đặt z = x + yi(x, y ∈ R) thì |z - 1 + 2i| = √5 ⇔ (x - 1)2 + (y + 2)2 = 5 (1)

|w|2 = |z + 1 + i|2 = (x + 1)2 + (y + 1)2 = (x - 1)2 + (y + 2)2 + 4x - 2y - 3 = 4x - 2y + 2 (do (1))

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Dấu “=” của (2) xảy ra

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Như vậy do |w| đạt giá trị lớn nhất nên x = -3, y = -3. Từ đó |z| = 3√2.

Chọn B.

Ví dụ 9: Xét số phức z thỏa mãn 4|z + i| + 3|z − i| = 10. Gọi M, m tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của |z|. Tính M + m

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Gọi A(0; −1), B(0; 1) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công thức trung tuyến thì:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Theo giả thiết: 4MA + 3MB = 2√2. Đặt a = MA

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án là C.

Quảng cáo

Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 199K tại khoahoc.vietjack.com


so-phuc.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác