Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức - Toán lớp 12



Chuyên đề 6: Tìm max min số phức thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức

Dạng 1: Cho số phức z thỏa mãn |z - (a + bi)| = c, (c > 0), tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P với P = |z|

1. Phương pháp

|z - (a + bi)| = c, (c > 0) => Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R = c

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Biểu diễn P là 1 điểm M nào đó, dựa vào hình vẽ xác định max min cho thích hợp.

Ví dụ P = |z| tức là đường tròn tâm O:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ P = |z + i| tức là đường tròn tâm H (0;-1)

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho |z - 4 + 3i| = 3. Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: |z - a - bi| = c ⇔ |z - (a + bi)| = c => -c + |a + bi| ≤ |z| ≤ c + |a + bi|

Ta có: |z - 4 + 3i| = 3 ⇔ |z - (4 - 3i)| = 3 ⇔ - 3 + |4 - 3i| ≤ |z| ≤ 3 + |4 - 3i| ⇔ 2 ≤ |z| ≤ 8

Cách tìm số phức:

+ Tìm Số phức z có module nhỏ nhất là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ Tương tự: Số phức z có module lớn nhất là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa |z - 5i| ≤ 3. Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu?

A. 0.    B. 3.    C. 2.    D. 4.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi M(x ;y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi.

Gọi E(0 ;5) là điểm biểu diễn số phức 5i

Ta có: |z - 5i| ≤ 3 => MA ≤ 3. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm A(0 ;5) ; R = 3 như hình vẽ

Số phức z có môđun nhỏ nhất nhỏ nhất.Dựa vào hình vẽ, ta thấy z = 2i. Suy ra phần ảo bằng 2

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của |z| biết:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

A. √2     B. 2    C. 1    D. 3

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn |z2 - i| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của |z|.

A. 2    B. √2    C. 2√2    D. √2

Hướng dẫn:

Ta có:

1 ≥ |z2| - |i| = |z|2 - 1 => |z|2 ≤ 2 => |z| ≤ 2

Chọn đáp án là D

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Ta có:

|x + yi + i + 1| = |x - yi - 2i|

⇔ (x + 1)2 + (y + 1)2 = x2 + (y + 2)2

⇔ 2x - 2y - 2 = 0 => x = 1 + y

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án A.

Ví dụ 6: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 2 - 4i| = |z - 2i|. Số phức z có môđun nhỏ nhất là?

A. z = -2 + 2i     B. z = 2 - 2i

C. z = 2 + 2i     D. z = -2 - 2i

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi (x, y ∈ R).

Ta có: |x - 2 - 4(y - 4)i| = |x + (y - 2)x| ⇔ y = -x + 4

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình x + y - 4 = 0

Mặt khác:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án C.

Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn |z − 1 − 2i| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|

A. √2    B. 1    C. 2    D. √5 - 1

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = 1.

Do đó min |z| = OI − r = √5 − 1.

Chọn đáp án là D.

Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 1 + 2i| = √5 và w = z + 1 + i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng:

A. 2√5    B. 3√2    C. √6    D. 5√2

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi z = x + yi khi đó z - 1 + 2i = (x - 1) + (y + 2)i

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra tập hợp điểm M(x; y) biểu diễn số phức z thuộc đường tròn (C) tâm I(1; -2) bán kính R = √5 như hình vẽ:

Dễ thấy O ∈ (C), N(-1; -1) ∈ (C)

Theo đề ta có: M(x; y) ∈ (c) là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:

W = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = (x + 1) + (y + 1)i

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra |z + 1 + i| đạt giá trị lớn nhất khi MN lớn nhất

Mà M, N ∈ (C) nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn (c)

⇔ I là trung điểm MN => M(3; -3) => z = 3 - 3i

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Cách 2: (giải thuần đại số)

Đặt z = x + yi(x, y ∈ R) thì |z - 1 + 2i| = √5 ⇔ (x - 1)2 + (y + 2)2 = 5 (1)

|w|2 = |z + 1 + i|2 = (x + 1)2 + (y + 1)2 = (x - 1)2 + (y + 2)2 + 4x - 2y - 3 = 4x - 2y + 2 (do (1))

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Dấu “=” của (2) xảy ra

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Như vậy do |w| đạt giá trị lớn nhất nên x = -3, y = -3. Từ đó |z| = 3√2.

Chọn B.

Ví dụ 9: Xét số phức z thỏa mãn 4|z + i| + 3|z − i| = 10. Gọi M, m tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của |z|. Tính M + m

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Gọi A(0; −1), B(0; 1) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công thức trung tuyến thì:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Theo giả thiết: 4MA + 3MB = 2√2. Đặt a = MA

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án là C.

Quảng cáo

Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


so-phuc.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác