Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 1)

---

---

Bài viết Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 1) với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 1).

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 1)

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Cho số phức z thỏa mãn |z - (a + bi)| = c, (c > 0), tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P với P = |z + z₃| + |z + z₄| hoặc P chứa z², z³ (sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ)

1. Phương pháp

Cách 1: PP lượng giác hóa

Vì tọa độ điểm biểu diễn là đường tròn nên đưa về dạng X² + Y² = 1

(Có thể sử dụng trong trường hợp tọa độ điểm biểu diễn là elip)

Đặt X = cosa; Y = sina

Khi đó P biểu diễn theo cosa và sina

Sử dụng MODE 7 khảo sát với START = 0; END = 2; STEP =

(Chú ý dùng lệnh Shift Mode 5 - 1)

Cách 2: Sử dụng pp BĐT

BĐT Bunhia Copski: (Ax + By)² ≤ (A² + B²)(x² + y²) tìm max

BĐT Mincopxki:

Dấu = xảy ra khi

BĐT vecto:

Dấu = xảy ra khi

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn |z - 1| = √2. Tìm GTLN của T = |z + i| + |z - 2 - i|

Lời giải:

Ta có:

Cộng (1) với (2) ta được:

|z + i|² + |z - 2 - i|² = 2|z - 1|² + 4 = 8 (không đổi)

Áp dụng đẳng thức bunhia xcopki:

T² = (|z + i| + |z - 2 - i|)² ≤ 2(|z + i|² + |z - 2 - i|²) = 16 => T ≤ 4

Ví dụ 2: Với 2 số phức z₁, z₂ thỏa mãn z₁ + z₂ = 8 + 6i và |z₁ - z₂| = 2. Tính GTLN của P = |z₁| + |z₂|

A. 5 + 3√5    B. 2√26    C. 4√6    D. 34 + 3√2

Lời giải:

CÁCH 1: Ta có:

|z₁ + z₂|² + |z₁ - z₂|² = 2(|z₁|² + |z₂|²) ⇔ 100 + 4 = 2(|z₁|² + |z₂|²) ⇔ 52 = (|z₁|² + |z₂|²)

Lại có: Áp dụng BĐT Cauchy:

CÁCH 2:

Ta có:

ÁP dụng BĐT Bunhia Copski:

(Ax + By)² ≤ (A² + B²)(x² + y²)

=> (|z₁| + |z₂|)² ≤ 2(|z₁|² + |z₂|²) = |z₁| + |z₂|² + |z₁| - |z₂|² = 104

=> |z₁| + |z₂| ≤ 2√26

Ví dụ 3: Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x - 1 + yi, thỏa mãn |z| = 1 và N là điểm biểu diễn số phức z₀ = 1 - i. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho MN có độ dài lớn nhất.

Lời giải:

Ta có M(x; y) nằm trên đường tròn (C): (x - 1)² + y² = 1 tâm I(1;0)

Do N(1; -1) nằm trên đường tròn nên MN có độ dài lớn nhất khi MN là đường kính, hay I(1;0) là trung điểm của MN.

Vậy M(1; 1)

Chọn A.

Ví dụ 4: Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn :

Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức |z₁ - z₂| .

A. 18     B. 6√2     C. 6     D. 3√2

Lời giải:

Ta có:

|z₁ - z₂| = |(z₁ + 3 - 4i) - (z₂ + 6 - i) + (3 + 3i) ≤ |z₁ + 2 - 4i| + |z₂ + 6 - i| + |3 + 3i| = 3 + 3√2| = max

và |z₁ - z₂| = |(z₁ + 3 - 4i) - (z₂ + 6 - i) + (3 + 3i) ≥ |3 + 3i| - |z₁ + 2 - 4i| - |z₂ + 6 - i| = 3√2 - 3 = min

Do đó tổng Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất là 6√2

Chọn đáp án là B.

Ví dụ 5: Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x - 1 + yi thỏa mãn |z| = 1 và N là điểm biểu diễn số phức z₀ = 5 + 3i. M là một điểm thuộc (C) sao cho MN có độ dài bé nhất. Khi đó độ dài MN bé nhất bằng

A. 6     B. √34     C. 3√5    D. 4

Lời giải:

Ta có: M(x; y) nằm trên đường tròn (C): (x - 1)² + y² = 1 có tâm I(1; 0) và bán kính R = 4

Do N(5, 3) nằm ngoài (C) nên MN có độ dài bé nhất khi và chỉ khi:

MN = NI - R = 5 - 1 = 4.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức
• Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 2)
• Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (tổng hợp)
• Các dạng bài tập hay về số phức
• 18 Bài tập số phức hay và khó

---

---

---