Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị



Chuyên đề: Tương giao của đồ thị hàm số

Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị

Phương pháp giải

Phương pháp cô lập tham số m.

Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F(x,m) = 0 (phương trình ẩn x, tham số m).

Bước 2: Cô lập m đưa phương trình về dạng f(m) = g(x)

Bước 3: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = g(x)

Bước 4: Dựa vào yêu cầu bài toán và bảng biến thiên từ đó suy ra m

Phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng của phương trình

Phương trình bậc hai y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0

Phương trình có một nghiệm khi Δ = 0

Phương trình vô nghiệm khi Δ < 0

Phương trình bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d = 0(a ≠ 0)

Nếu đã dự đoán được phương trình có một nghiệm x=xo ta có thể dùng phép chia đa thức hoặc sơ đồ Horner để phân tích thành nhân tử đưa về dạng bậc thấp hơn rồi tìm cách xử lý. Khi đó phương trình bậc ba tương đương với

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dựa vào yêu cầu bài toán, ta đi xử lý phương trình bậc hai f(x).

Nếu không nhẩm được nghiệm và không cô lập được m thì bài toán được giải quyết theo hướng tích hai cực trị, cụ thể:

Đồ thị cắt trục hoành đúng ba điểm phân biệt ⇒ yCT.y < 0

Đồ thị có hai điểm chung với trục hoành ⇒ yCT.y = 0

Đồ thị có một điểm chung với trục hoành ⇒ yCT.y > 0 hoặc hàm số không có cực trị.

Phương trình bậc bốn trùng phương y=ax4 + bx2 + c = 0(a ≠ 0)(1)

Đặt t = x2 (t ≥ 0). Phương trình trở thành at2 + bt + c = 0 (2)

Để (1) có đúng một nghiệm thì (2) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Để (1) có đúng một nghiệm thì (2) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Để (1) có đúng một nghiệm thì (2) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn 0=t1 < t2

Để (1) có đúng một nghiệm thì (2) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn 0 < t1 < t2

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình y = x4 -2x2 - m + 3 (1) có bốn nghiệm phân biệt

Hướng dẫn:

Đặt t = x2 (t > 0), phương trình (1) trở thành t2 - 2t - m + 3 = 0 (2)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt. Khi đó

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy giá trị m cần tìm là 2 < m < 3

Lưu ý: Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp dùng đồ thị như sau:

Phương trình y = x4 - 2x2 - m + 3 ⇒ x4 - 2x2 + 3 = m (1)

Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường (C): y = x4 - 2x2 + 3 và đường thẳng d: y = m. Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và d

Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số : y = x4 -2x2 + 3

Tập xác định D = R

Đạo hàm y' = 4x3 - 4x; y' = 0⇒ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bảng biến thiên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánDựa vào bảng biến thiên ta thấy (1) có bốn nghiệm phân biệt ⇒ 2 < m < 3

Vậy 2 < m < 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2: Cho hàm số y = mx3 - x2 - 2x + 8m có đồ thị (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm: mx3 - x2 - 2x + 8m = 0

⇒ (x + 2)[mx2 - (2m + 1)x + 4m] = 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

(Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ⇒ phương trình mx2 - (2m + 1)x + 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -2.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy giá trị m cần tìm là Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ 3: Cho hàm số y= (2x - 1)/(x - 1) có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng (d):y = -x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành đô giao điểm (2x - 1)/(x - 1) = -x + m (1)

Điều kiện x ≠ 1

Khi đó (1) ⇒ 2x - 1 = (-x + m)(x - 1) ⇒ x2 - (m - 1)x + m - 1 = 0 (2)

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇒ (1) có hai nghiệm phân biệt

⇒ (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ m2 -6m+5>0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy giá trị m cần tìm là m < 1 hoặc m > 5

Chuyên đề Toán 12: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


tuong-giao-cua-do-thi-ham-so.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác