Các dạng bài tập Tương giao của đồ thị hàm số chọn lọc, có đáp án



Các dạng bài tập Tương giao của đồ thị hàm số chọn lọc, có đáp án

Phần Tương giao của đồ thị hàm số Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 100 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Tương giao của đồ thị hàm số hay nhất tương ứng.

Bài giảng: Cách giải bài toán Tương giao của hai đồ thị - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Cách tìm giao điểm của đồ thị hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Bài toán tổng quát

Trong mặt phẳng (Oxy) hãy xét sự tương giao của đồ thị hàm số Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C1) và hàm số y=g(x) có đồ thị là (C2). Khi đó nếu M(x; y) là giao điểm của (C1) và (C2) thì tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Phương trình (*)

f(x) = g(x)

được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2)

Nghiệm xo của phương trình (*) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2)

Khi đó tung độ điểm chung là yo = f(xo) hoặc yo=g(xo)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Nếu (*) vô nghiệm thì (C1) và (C2) không có điểm chung

Nếu (*) có n nghiệm thì (C1) và (C2) có n điểm chung

2. Phương pháp chung

Để giải một bài toán về tính chất giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2) ta có thể tiến hành theo các bước sau:

Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2) (tức phương trình (*))

Biến đổi phương trình này về dạng đơn giản hơn( thường thì sau khi biến đổi ta sẽ thu được phương trình bậc hai, bậc ba hoặc phương trình trùng phương…)

Dựa vào điều kiện của bài toán ban đầu, ta đưa về điều kiện cho phương trình vừa biến đổi.

3. Bài toán tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số

Bài toán: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (1)

    Bước 2: Giải phương trình (1) tìm x ⇒ y

    Bước 3: Kết luận số giao điểm của (C1) và (C2) chính là số nghiệm của (1)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = x3 - 3x2 + 2x + 1 và đường thẳng y = 1

   Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm x3 - 3x2 + 2x + 1 = 1

⇔ x3 -3x2 + 2x = 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Với x = 0 ⇒ y = 1

Với x = 1 ⇒ y = 1

Với x = 2 ⇒ y = 1

   Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (0; 1); (1; 1) và (2; 1)

Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm giữa đồ thị y= (2x + 1)/(2x - 1) và đường thẳng d: y = x + 2

   Hướng dẫn

Phương trình hoành đô giao điểm (2x + 1)/(2x - 1) = x + 2 (1)

Điều kiện x ≠ 1/2

Khi đó (1) ⇔ 2x + 1 = (2x - 1)(x + 2) ⇔ 2x2 + x - 3 = 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Với x = 1 ⇒ y = 3

Với x = -3/2 ⇒ y = 1/2

   Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (1; 3) và (-3/2; 1/2)

Ví dụ 3: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = x4 + 2x2 - 3 và trục hoành

   Hướng dẫn

Phương trình hoành độ giao điểm x4 + 2x2 - 3 = 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

   Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là A(-1; 0), B(1; 0)

Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp cô lập tham số m.

Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F(x,m) = 0 (phương trình ẩn x, tham số m).

Bước 2: Cô lập m đưa phương trình về dạng f(m) = g(x)

Bước 3: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = g(x)

Bước 4: Dựa vào yêu cầu bài toán và bảng biến thiên từ đó suy ra m

Phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng của phương trình

Phương trình bậc hai y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0

Phương trình có một nghiệm khi Δ = 0

Phương trình vô nghiệm khi Δ < 0

Phương trình bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d = 0(a ≠ 0)

Nếu đã dự đoán được phương trình có một nghiệm x=xo ta có thể dùng phép chia đa thức hoặc sơ đồ Horner để phân tích thành nhân tử đưa về dạng bậc thấp hơn rồi tìm cách xử lý. Khi đó phương trình bậc ba tương đương với

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Dựa vào yêu cầu bài toán, ta đi xử lý phương trình bậc hai f(x).

Nếu không nhẩm được nghiệm và không cô lập được m thì bài toán được giải quyết theo hướng tích hai cực trị, cụ thể:

Đồ thị cắt trục hoành đúng ba điểm phân biệt ⇒ yCT.y < 0

Đồ thị có hai điểm chung với trục hoành ⇒ yCT.y = 0

Đồ thị có một điểm chung với trục hoành ⇒ yCT.y > 0 hoặc hàm số không có cực trị.

Phương trình bậc bốn trùng phương y=ax4 + bx2 + c = 0(a ≠ 0)(1)

Đặt t = x2 (t ≥ 0). Phương trình trở thành at2 + bt + c = 0 (2)

Để (1) có đúng một nghiệm thì (2) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Để (1) có đúng một nghiệm thì (2) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Để (1) có đúng một nghiệm thì (2) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn 0=t1 < t2

Để (1) có đúng một nghiệm thì (2) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn 0 < t1 < t2

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình y = x4 -2x2 - m + 3 (1) có bốn nghiệm phân biệt

Hướng dẫn:

Đặt t = x2 (t > 0), phương trình (1) trở thành t2 - 2t - m + 3 = 0 (2)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt. Khi đó

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy giá trị m cần tìm là 2 < m < 3

Lưu ý: Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp dùng đồ thị như sau:

Phương trình y = x4 - 2x2 - m + 3 ⇒ x4 - 2x2 + 3 = m (1)

Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường (C): y = x4 - 2x2 + 3 và đường thẳng d: y = m. Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và d

Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số : y = x4 -2x2 + 3

Tập xác định D = R

Đạo hàm y' = 4x3 - 4x; y' = 0⇒ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giảiDựa vào bảng biến thiên ta thấy (1) có bốn nghiệm phân biệt ⇒ 2 < m < 3

Vậy 2 < m < 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2: Cho hàm số y = mx3 - x2 - 2x + 8m có đồ thị (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm: mx3 - x2 - 2x + 8m = 0

⇒ (x + 2)[mx2 - (2m + 1)x + 4m] = 0

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

(Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ⇒ phương trình mx2 - (2m + 1)x + 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -2.

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy giá trị m cần tìm là Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ví dụ 3: Cho hàm số y= (2x - 1)/(x - 1) có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng (d):y = -x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành đô giao điểm (2x - 1)/(x - 1) = -x + m (1)

Điều kiện x ≠ 1

Khi đó (1) ⇒ 2x - 1 = (-x + m)(x - 1) ⇒ x2 - (m - 1)x + m - 1 = 0 (2)

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇒ (1) có hai nghiệm phân biệt

⇒ (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇒ m2 -6m+5>0

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy giá trị m cần tìm là m < 1 hoặc m > 5

Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thoả mãn điều kiện

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Về phương trình

Phương trình bậc hai y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)

- Định lí Viette: Nếu phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thì ta có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

   - Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0

   - Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

   - Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

   - Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác xo khi và chỉ khi Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

   - Các công thức cần nhớ

Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm: Với 2 điểm A(x1 , y1) và B(x2 , y2) tùy ý ta có:

AB=√((x2 -x1 )2 +(y2 - y1)2 )

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cho trước: Khoảng cách từ điểm M(xo , yo) đến đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 được tính theo công thức

d(M,Δ)= |Axo + Byo + C|/√(A2 + B2 )

Diện tích tam giác: Trong một tam giác bất kỳ, ta có:

S = (1/2)aha = (1/2)bhb = (1/2)chc = abc/4R = pr

Trong đó:

    a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác và p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi.

    ha, hb, hc là độ dài của đường cao tương ứng với các cạnh a,b,c.

    R,r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác.

    Phương trình đường thẳng Δ đi qua A(a; b) và có hệ số góc k cho trước có dạng y = k(x - a) + b

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 - (3m + 2)x2 + 3m (m là tham số) có đồ thị (Cm). Tìm m để đường thẳng d:y=-1 cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng d

x4 - (3m + 2)x2 + 3m = -1 ⇔ x4 - (3m + 2)x2 + 3m + 1 = 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Để d cắt (Cm) tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy tập hợp các giá trị của tham số m cần tìm là m = (-1/3; 1)\\{0}

Ví dụ 2: Cho đồ thị (C):y = (mx - 1)/(x + 2) và đường thẳng d: y = 2x - 1. Xác định giá trị của tham số m để (C) cắt d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=√10

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm (mx - 1)/(x + 2) = 2x - 1 (1)

Điều kiện x ≠ -2

Khi đó (1) ⇔ mx - 1 = (2x - 1)(x + 2)

⇔ 2x2 - (m - 3)x - 1 = 0 (2)

(d) cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác -2

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Đặt A(x1 ; 2x1 - 1); B(x2 ; 2x2 - 1) với x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình (2)

Theo định lí Vi ét ta có Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Khi đó AB = √((x1 - x2)2 + 4(x1 - x2)2 ) = √10 ⇔ 5[(x1 + x2 )2 - 4x1 x2 ] = 10

⇔ ((m - 3)/2)2 + 2 = 2

⇔ m = 3 (thỏa mãn)

Vậy giá trị cần tìm là m = 3

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 - 2x2 + (1 - m)x + m có đồ thị (Cm). Xác định tất cả các giá trị của tham số m để (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 ,x2 ,x3 thỏa mãn x12 +x22 +x32 =4.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:

x3 - 2x2 +(1 - m)x + m = 0 ⇔ (x - 1)(x2 - x - m) = 0

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

(Cm) cắt Ox tại ba điểm phân biệt ⇔ phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Gọi x1 = 1 còn x2 ,x3 là nghiệm phương trình g(x) = 0 nên theo Viet ta có Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy x12 + x22 + x32 = 4 ⇔ 1+(x2 +x3)2 -2x2 x3=4

⇔ 1 + 12 + 2m = 4 ⇔ 2m - 2 = 0 ⇔ m = 1

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85




Các loạt bài lớp 12 khác