Các dạng bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có đáp án



Các dạng bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có đáp án

Phần Cực trị của hàm số Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 100 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Cực trị của hàm số hay nhất tương ứng.

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Cách tìm cực trị của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là -∞; b là +∞) và điểm x0∈(a;b).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)< f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x≠x_0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.

Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) >f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.

2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên

K=(x0 - h;x0 + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x0}, với h >0.

Nếu f'(x)> 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) <0 trên (x0;x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) >0 trên (x0;x0+ h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Minh họa bằng bảng biến thiến

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Chú ý.

Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3.Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

   Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

   Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

   Bước 3. Lập bảng biến thiên.

   Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

   Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

   Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệuxi (i=1,2,3,...)là các nghiệm của nó.

   Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi ) .

   Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 - 6x + 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 6x2 - 6. Cho y'= 0 ⇔ 6x2 - 6 = 0 ⇔ x = ±1.

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2.

Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = x4 - 2x2 + 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 4x3 - 4x. Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 1 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2.

Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y = Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hướng dẫn

Tập xác định D = R\{2}. Tính Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy hàm số đã cho không có cực trị.

Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0.

Khi đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước.

Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0) = 0, từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số .

Bước 2. Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 - 3mx2 +(m2 - 1)x + 2, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y'=3x2 - 6mx + m2 - 1; y'' = 6x - 6m.

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 ⇒ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇔ m = 1.

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để hàm số y = -x3 + (m+3)x2 - (m2 + 2m)x - 2 đạt cực đại tại x = 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

y' = -3x2 + 2(m + 3)x - (m2 + 2m) Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải; y'' = -6x + 2(m + 3).

Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2 Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Kết luận : Giá trị m cần tìm là m = 0 ,m = 2.

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 - 2m - 1 đạt cực đại tại x = 1 .

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Ta có y' = 4x3 -4(m + 1)x.

+ Để hàm số đạt cực đại tại x = 1 cần y'(1) = 0 ⇔ 4 - 4(m + 1) = 0 ⇔ m = 0

+ Với m = 0 ⇒ y' = 4x3 - 4x ⇒ y'(1) = 0.

+ Lại có y'' = 12x2 - 4 ⇒ y''(1) = 8 > 0.

⇒Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ m = 0 không thỏa mãn.

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.

Biện luận theo m số cực trị của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0.

y' = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ'y' = b2 - 3ac

    Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

    Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b2 - 3ac ≤ 0

    Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

     Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b2 - 3ac > 0

2. Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y' = 4ax3 + 2bx; y' = 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    (C)có một điểm cực trị y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

    (C)có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3 + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu.

Hướng dẫn

y' = 3x2 + m.

Hàm số y = x3 + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y'= 0 có hai nghiệm phân biệt.

Vậy m < 0.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m - 2)x3 - mx - 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực trị?

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 3(m - 2)x2 - m.

Cho y' = 0 ⇔ 3(m - 2)x2 - m = 0   (1).

   + TH1: Xét m = 2 ⇒ y' = -2 < 0 ∀ x nên hàm số đã cho không có cực trị.

   + TH2: Xét m ≠ 2

Hàm số có cực trị khi Δ'> 0 ⇔ m(m - 2) > 0 ⇔Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy m > 2 ∨ m < 0.

Ví dụ 3: Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx4 - m2 x2 + 2016 có 3 điểm cực trị?

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 4mx3 - 2xm2.

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85




Các loạt bài lớp 12 khác