Biện luận theo m số cực trị của hàm số (cực hay)
Bài viết Biện luận theo m số cực trị của hàm số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
Biện luận theo m số cực trị của hàm số (cực hay)
Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Phương pháp giải
1. Cực trị của hàm số bậc ba
Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0.
y' = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ'y' = b2 - 3ac
Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.
Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b2 - 3ac ≤ 0
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.
Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b2 - 3ac > 0
2. Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương
Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).
y' = 4ax3 + 2bx; y' = 0 ⇔
(C)có một điểm cực trị y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.
(C)có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3 + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu.
Hướng dẫn
y' = 3x2 + m.
Hàm số y = x3 + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y'= 0 có hai nghiệm phân biệt.
Vậy m < 0.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m - 2)x3 - mx - 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực trị?
Hướng dẫn
Tập xác định D = R.
Tính y' = 3(m - 2)x2 - m.
Cho y' = 0 ⇔ 3(m - 2)x2 - m = 0 (1).
+ TH1: Xét m = 2 ⇒ y' = -2 < 0 ∀ x nên hàm số đã cho không có cực trị.
+ TH2: Xét m ≠ 2
Hàm số có cực trị khi Δ'> 0 ⇔ m(m - 2) > 0 ⇔
Vậy m > 2 ∨ m < 0.
Ví dụ 3: Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx4 - m2 x2 + 2016 có 3 điểm cực trị?
Hướng dẫn
Tập xác định D = R.
Tính y' = 4mx3 - 2xm2.
Để hàm số có 3 điểm cực trị khi
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm m để hàm số y = mx3 + 3mx2 - (m - 1)x - 1 có cực trị.
Lời giải:
TXĐ: D = R
Ta có: y' = 3mx2 + 6mx - m + 1. Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm nên x0 là điểm cực trị của hàm số thì đạo hàm tại đó phải bằng 0.
Vậy hàm số có cực trị khi và chỉ khi y' = 0 phải có nghiệm và y' đổi dấu qua nghiệm đó.
* Nếu m = 0 ⇒ y' = 1 > 0 ∀ x ∈ R ⇒ hàm số không có cự trị
* Nếu m ≠ 0. Khi đó y' là một tam thức bậc hai nên y' = 0 có nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm y' = 0 có hai nghiệm phân biệt hay Δ' = 12m2 - 3m > 0 ⇔ m < 0 hoặc m > 1/4.
Vậy, với m < 0 hoặc m > 1/4 là những giá trị cần tìm.
Bài 2: Tìm m để hàm số y = x3 - 3(m - 1)x2 + 3(2m - 4)x + m có cực trị.
Lời giải:
Ta có: y' = 3[x2 - 2(m - 1)x + 2m - 4]
Hàm số có cực trị y' = 0 có hai nghiệm phân biệt Δ' = m2 - 4m + 5 > 0 đúng với mọi m. Vậy hàm số luôn có cực trị với mọi m.
Bài 3: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = x3 + mx2 +(4m + 3)x + 2m - 1 có hai điểm cực trị.
Lời giải:
Tập xác định D = R.
Tính y' = 3x2 + 2mx + 4m + 3; Hàm số có hai cực trị y' = 0 có hai nghiệm thực phân biệt và đổi dấu Δ' > 0 ⇔ m2 - 12m - 9 > 0 (khi đó y' đổi dấu qua nghiệm) ⇔ m ∈(-∞;6-3√5)∪(6+3√5;+∞).
Bài 4: Tìm các giá trị của m để hàm số y = x3 - 2mx + 4 không có điểm cực trị.
Lời giải:
* Tập xác định D = R.
* Tính y' = 3x2 - 2m.
* Hàm số không có điểm cực trị khi phương trình y' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x2 = 2m/3 ≤ 0 ⇔ m ≤ 0.
Bài 5: Tìm m để hàm số có cực trị.
Lời giải:
• Với m = 0 ta có y = -x2 + x - 1, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1/2. Suy ra m = 0 thỏa yêu cầu bài toán.
• m ≠ 0, ta có:
Suy ra y' = 0 ⇔ mx2 - 2x + 1 - 2m = 0 (*)
Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1/m ⇔ ⇔2m2 - m + 1 > 0 đúng với mọi m.
Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi m.
Bài 6:Tìm m để hàm số có cực trị.
Lời giải:
Ta có:
Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình x2 + 2mx + m2 - 2m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -m ⇔ ⇔ m > 3/2.
Bài 7:Tìm m để hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 có ba cực trị
Lời giải:
Ta có y' = 4x3 + 12mx2 + 6(m + 1)x = 2x(2x2 + 6mx + 3(m + 1))
Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi f(x) có hai nghiệm phân biệt khác 0
Bài 8:Tìm m để hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 có cực tiểu mà không có cực đại.
Lời giải:
Ta có y' = 4x3 + 12mx2 + 6(m + 1)x = 2x(2x2 + 6mx + 3(m + 1))
Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi f(x) có hai nghiệm phân biệt khác 0
Hàm chỉ có cực tiểu mà không có cực đại hàm số có 1 cực trị và a > 0
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
- Trắc nghiệm Tìm cực trị của hàm số
- Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm
- Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm
- Trắc nghiệm Biện luận theo m số cực trị của hàm số
- Dạng 4: Bài toán liên quan đến cực trị của hàm số
- Trắc nghiệm về cực trị hàm số
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12