Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia chỉ 199k, tại khoahoc.vietjack.com. Xem ngay Xem ngay!

Biện luận theo m số cực trị của hàm số - Toán lớp 12



Biện luận theo m số cực trị của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0.

y' = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ'y' = b2 - 3ac

    Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

    Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b2 - 3ac ≤ 0

    Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

     Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b2 - 3ac > 0

2. Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y' = 4ax3 + 2bx; y' = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    (C)có một điểm cực trị y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

    (C)có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3 + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu.

Hướng dẫn

y' = 3x2 + m.

Hàm số y = x3 + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y'= 0 có hai nghiệm phân biệt.

Vậy m < 0.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m - 2)x3 - mx - 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực trị?

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 3(m - 2)x2 - m.

Cho y' = 0 ⇔ 3(m - 2)x2 - m = 0   (1).

   + TH1: Xét m = 2 ⇒ y' = -2 < 0 ∀ x nên hàm số đã cho không có cực trị.

   + TH2: Xét m ≠ 2

Hàm số có cực trị khi Δ'> 0 ⇔ m(m - 2) > 0 ⇔Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy m > 2 ∨ m < 0.

Ví dụ 3: Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx4 - m2 x2 + 2016 có 3 điểm cực trị?

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 4mx3 - 2xm2.

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm m để hàm số y = mx3 + 3mx2 - (m - 1)x - 1 có cực trị.

TXĐ: D = R

Ta có: y' = 3mx2 + 6mx - m + 1. Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm nên x0 là điểm cực trị của hàm số thì đạo hàm tại đó phải bằng 0.

Vậy hàm số có cực trị khi và chỉ khi y' = 0 phải có nghiệm và y' đổi dấu qua nghiệm đó.

         * Nếu m = 0 ⇒ y' = 1 > 0 ∀ x ∈ R ⇒ hàm số không có cự trị

         * Nếu m ≠ 0. Khi đó y' là một tam thức bậc hai nên y' = 0 có nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án y' = 0 có hai nghiệm phân biệt hay Δ' = 12m2 - 3m > 0 ⇔ m < 0 hoặc m > 1/4.

Vậy, với m < 0 hoặc m > 1/4 là những giá trị cần tìm.

Bài 2: Tìm m để hàm số y = x3 - 3(m - 1)x2 + 3(2m - 4)x + m có cực trị.

Ta có: y' = 3[x2 - 2(m - 1)x + 2m - 4]

Hàm số có cực trị Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án y' = 0 có hai nghiệm phân biệt Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Δ' = m2 - 4m + 5 > 0 đúng với mọi m. Vậy hàm số luôn có cực trị với mọi m.

Bài 3: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = x3 + mx2 +(4m + 3)x + 2m - 1 có hai điểm cực trị.

Tập xác định D = R.

Tính y' = 3x2 + 2mx + 4m + 3; Hàm số có hai cực trị Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án y' = 0 có hai nghiệm thực phân biệt và đổi dấu Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Δ' > 0 ⇔ m2 - 12m - 9 > 0 (khi đó y' đổi dấu qua nghiệm) ⇔ m ∈(-∞;6-3√5)∪(6+3√5;+∞).

Bài 4: Tìm các giá trị của m để hàm số y = x3 - 2mx + 4 không có điểm cực trị.

         * Tập xác định D = R.

         * Tính y' = 3x2 - 2m.

         * Hàm số không có điểm cực trị khi phương trình y' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án x2 = 2m/3 ≤ 0 ⇔ m ≤ 0.

Bài 5: Tìm m để hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp áncó cực trị.

      • Với m = 0 ta có y = -x2 + x - 1, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1/2. Suy ra m = 0 thỏa yêu cầu bài toán.

      • m ≠ 0, ta có: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Suy ra y' = 0 ⇔ mx2 - 2x + 1 - 2m = 0 (*)

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1/m ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án⇔2m2 - m + 1 > 0 đúng với mọi m.

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi m.

Bài 6:Tìm m để hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án có cực trị.

Ta có: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hàm số có cực đại, cực tiểu Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án phương trình x2 + 2mx + m2 - 2m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -m ⇔Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án ⇔ m > 3/2.

Bài 7:Tìm m để hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 có ba cực trị

Ta có y' = 4x3 + 12mx2 + 6(m + 1)x = 2x(2x2 + 6mx + 3(m + 1))

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi f(x) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 8:Tìm m để hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 có cực tiểu mà không có cực đại.

Ta có y' = 4x3 + 12mx2 + 6(m + 1)x = 2x(2x2 + 6mx + 3(m + 1))

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi f(x) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hàm chỉ có cực tiểu mà không có cực đại Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án hàm số có 1 cực trị và a > 0 Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 199K tại khoahoc.vietjack.com


cuc-tri-cua-ham-so.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác