Biện luận theo m số cực trị của hàm số (cực hay)

---

---

Bài viết Biện luận theo m số cực trị của hàm số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

Biện luận theo m số cực trị của hàm số (cực hay)

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0.

y' = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0 (1) ; Δ'_y' = b² - 3ac

    Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

    Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b² - 3ac ≤ 0

    Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

     Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b² - 3ac > 0

2. Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương

Cho hàm số: y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y' = 4ax³ + 2bx; y' = 0 ⇔

    (C)có một điểm cực trị y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

    (C)có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x³ + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu.

Hướng dẫn

y' = 3x² + m.

Hàm số y = x³ + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y'= 0 có hai nghiệm phân biệt.

Vậy m < 0.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m - 2)x³ - mx - 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực trị?

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 3(m - 2)x² - m.

Cho y' = 0 ⇔ 3(m - 2)x² - m = 0   (1).

   + TH1: Xét m = 2 ⇒ y' = -2 < 0 ∀ x nên hàm số đã cho không có cực trị.

   + TH2: Xét m ≠ 2

Hàm số có cực trị khi Δ'> 0 ⇔ m(m - 2) > 0 ⇔

Vậy m > 2 ∨ m < 0.

Ví dụ 3: Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx⁴ - m² x² + 2016 có 3 điểm cực trị?

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 4mx³ - 2xm².

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm m để hàm số y = mx³ + 3mx² - (m - 1)x - 1 có cực trị.

Lời giải:

TXĐ: D = R

Ta có: y' = 3mx² + 6mx - m + 1. Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm nên x₀ là điểm cực trị của hàm số thì đạo hàm tại đó phải bằng 0.

Vậy hàm số có cực trị khi và chỉ khi y' = 0 phải có nghiệm và y' đổi dấu qua nghiệm đó.

         * Nếu m = 0 ⇒ y' = 1 > 0 ∀ x ∈ R ⇒ hàm số không có cự trị

         * Nếu m ≠ 0. Khi đó y' là một tam thức bậc hai nên y' = 0 có nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm y' = 0 có hai nghiệm phân biệt hay Δ' = 12m² - 3m > 0 ⇔ m < 0 hoặc m > 1/4.

Vậy, với m < 0 hoặc m > 1/4 là những giá trị cần tìm.

Bài 2: Tìm m để hàm số y = x³ - 3(m - 1)x² + 3(2m - 4)x + m có cực trị.

Lời giải:

Ta có: y' = 3[x² - 2(m - 1)x + 2m - 4]

Hàm số có cực trị y' = 0 có hai nghiệm phân biệt Δ' = m² - 4m + 5 > 0 đúng với mọi m. Vậy hàm số luôn có cực trị với mọi m.

Bài 3: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = x³ + mx² +(4m + 3)x + 2m - 1 có hai điểm cực trị.

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Tính y' = 3x² + 2mx + 4m + 3; Hàm số có hai cực trị y' = 0 có hai nghiệm thực phân biệt và đổi dấu Δ' > 0 ⇔ m² - 12m - 9 > 0 (khi đó y' đổi dấu qua nghiệm) ⇔ m ∈(-∞;6-3√5)∪(6+3√5;+∞).

Bài 4: Tìm các giá trị của m để hàm số y = x³ - 2mx + 4 không có điểm cực trị.

Lời giải:

         * Tập xác định D = R.

         * Tính y' = 3x² - 2m.

         * Hàm số không có điểm cực trị khi phương trình y' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x² = 2m/3 ≤ 0 ⇔ m ≤ 0.

Bài 5: Tìm m để hàm số có cực trị.

Lời giải:

      • Với m = 0 ta có y = -x² + x - 1, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1/2. Suy ra m = 0 thỏa yêu cầu bài toán.

      • m ≠ 0, ta có:

Suy ra y' = 0 ⇔ mx² - 2x + 1 - 2m = 0 (*)

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1/m ⇔ ⇔2m² - m + 1 > 0 đúng với mọi m.

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi m.

Bài 6:Tìm m để hàm số có cực trị.

Lời giải:

Ta có:

Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình x² + 2mx + m² - 2m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -m ⇔ ⇔ m > 3/2.

Bài 7:Tìm m để hàm số y = x⁴ + 4mx³ + 3(m + 1)x² + 1 có ba cực trị

Lời giải:

Ta có y' = 4x³ + 12mx² + 6(m + 1)x = 2x(2x² + 6mx + 3(m + 1))

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi f(x) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Bài 8:Tìm m để hàm số y = x⁴ + 4mx³ + 3(m + 1)x² + 1 có cực tiểu mà không có cực đại.

Lời giải:

Ta có y' = 4x³ + 12mx² + 6(m + 1)x = 2x(2x² + 6mx + 3(m + 1))

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi f(x) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Hàm chỉ có cực tiểu mà không có cực đại hàm số có 1 cực trị và a > 0

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
• Trắc nghiệm Tìm cực trị của hàm số
• Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm
• Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm
• Trắc nghiệm Biện luận theo m số cực trị của hàm số
• Dạng 4: Bài toán liên quan đến cực trị của hàm số
• Trắc nghiệm về cực trị hàm số

---

---

---