Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm - Toán lớp 12



Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Quảng cáo

Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0.

Khi đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước.

Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0) = 0, từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số .

Bước 2. Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 - 3mx2 +(m2 - 1)x + 2, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y'=3x2 - 6mx + m2 - 1; y'' = 6x - 6m.

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 ⇒ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ m = 1.

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để hàm số y = -x3 + (m+3)x2 - (m2 + 2m)x - 2 đạt cực đại tại x = 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

y' = -3x2 + 2(m + 3)x - (m2 + 2m) Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án; y'' = -6x + 2(m + 3).

Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2 Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Kết luận : Giá trị m cần tìm là m = 0 ,m = 2.

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 - 2m - 1 đạt cực đại tại x = 1 .

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Ta có y' = 4x3 -4(m + 1)x.

+ Để hàm số đạt cực đại tại x = 1 cần y'(1) = 0 ⇔ 4 - 4(m + 1) = 0 ⇔ m = 0

+ Với m = 0 ⇒ y' = 4x3 - 4x ⇒ y'(1) = 0.

+ Lại có y'' = 12x2 - 4 ⇒ y''(1) = 8 > 0.

⇒Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ m = 0 không thỏa mãn.

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho hàm số: y = 1/3 x3 - mx2 +(m2 - m + 1)x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1

TXĐ: D = R

Ta có: y' = x2 - 2mx + m2 - m + 1, y'' = 2x - 2m

Điều kiện cần: y'(1) = 0 ⇔ m2 - 3m + 2 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = 2

Điều kiện đủ:

Với m = 1 thì y''(1) = 0 ⇒ hàm số không thể có cực trị.

Với m = 2 thì y''(1) = -2 < 0 ⇒ hàm số có cực đại tại x = 1 .

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Quảng cáo

Bài 2. Cho hàm số y = 1/3 x3 + (m2 - m + 2) x2 + (3m2 + 1)x + m - 5. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 .

      ♦ Tập xác định: D = R

      ♦ Đạo hàm: y' = x2 + 2(m2 - m + 2)x + 3m2 + 1

Điều kiện cần:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 ⇒ y'(-2) = 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Điều kiện đủ:

Với m = 1, ta có: y' = x2 + 4x + 4, y' = 0 ⇔ x = -2

Lập BBT ta suy ra m = 1 không thỏa.

Với m = 3, ta có: y' = x2 + 16x + 28, y' = 0 ⇔Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Lập BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.

      ♦ Vậy giá trị m cần tìm là m = 3.

Bài 3. Cho hàm số y = 1/3 x3 - (m+1) x2 + (m2 + 2m)x + 1 (m là tham số). Tìm tất cả tham số thực m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

Tập xác định D = R.

Tính y' = x2 –2(m + 1)x + m2 + 2m; y'' = 2x – 2m - 2.

Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Bài 4. Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y = (m-1)x4 - (m2 - 2) x2 + 2016 đạt cực tiểu tại

x = -1.

Tập xác định D = R.

Tính y' = 4(m - 1)x3 – 2(m2 - 2)x; y'' = 12(m - 1)x2 – 2m2 + 4.

Để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án.

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Bài 5. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = x3/3 +(2m - 1)x2 + (m - 9)x + 1 đạt cực tiểu tại

x = 2 .

Ta có : y' = x2 + 2(2m - 1)x + m - 9.

Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 là

y'(2) = 0 ⇒ 4 + 4(2m - 1) + m - 9 = 0 ⇒ m = 1.

Kiểm tra lại . Ta có y'' = 2x + 2(2m - 1).

Khi m = 1 thì y'' = 2x + 2, suy ra y''(2) = 6 > 0. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ⇔ m = 1.

Quảng cáo

Bài 6. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = mx3 + 2(m - 1)x2 - (m + 2)x + m đạt cực tiểu tại x = 1 .

Ta có: y' = 3mx2 + 4(m - 1)x - m - 2,y'' = 6mx + 4(m - 1)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ y'(1) = 0 ⇔ 6m - 6 = 0 ⇔ m = 1

Khi đó y''(1) = 10m - 4 = 6 > 0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Bài 7. Tìm giá trị của tham số m để hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án đạt cực tiểu tại x = 1.

Ta có: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Cách 1: Vì hàm số có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ -m nên để hàm đạt cực tiểu tại x = 1 thì trước hết y'(1) = 1 - 1/((1 + m)2 ) = 0 ⇔ m = 0; m = -2.

      * m = 0 ⇒ y''(1) = 1 > 0 ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu ⇒m = 0 thỏa yêu cầu bài toán.

      * m = -2 ⇒ y'(1) = -1 < 0 ⇒ x = 1 là điểm cực đại ⇒ m = -2 không thỏa yêu cầu bài toán.

Cách 2: Bài toán khẳng định được y''(1) ≠ 0 nên ta có thể trình bày:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇔Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 8. Tìm giá trị của tham số m để hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án đạt cực đại tại x = -1.

Ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 ⇒ y'(-1) = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ m2 - m - 2 = 0 ⇔ m = -1, m = 2.

      • m = -1 ⇒ y''(-1) = -1 < 0 ⇒ x = -1 là điểm cực đại

      • m = 2 ⇒ y''(-1) = 2 > 0 ⇒ x = -1 là điểm cực tiểu.

Vậy m = -1 là giá trị cần tìm.

Quảng cáo

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com


cuc-tri-cua-ham-so.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12