Bài toán liên quan đến cực trị của hàm số - Toán lớp 12



Bài toán liên quan đến cực trị của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Cực trị của hàm số bậc ba

Hàm số có cực trị y' = 0 có hai nghiệm phân biệt .

Nếu hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d(a ≠ 0) có hai điểm cực trị x1,x2

y = g(x).y^' + a.x + b thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình y = ax + b và giá trị cực trị là của hàm số là y1 = a.x1+b; y2 = a.x2 + b

Tìm điều kiện cuả tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn hệ thức cho trước

    - Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

   - Phân tích hệ thức để áp dụng vi-et cho phương trình bậc hai.

2. Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

(C)có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Khi đó hàm số có 3 điểm cực trị thì 3 điểm cực trị là 0;Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tọa độ 3 điểm cực trị tương ứng của đồ thị hàm số là: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Nhận xét: tam giác ABC cân tại A, có A ∈Oy ;Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tam giác ABC vuông tại Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

hoặc ΔABC vuông cân tại A ⇔ BC2 = AB2 + AC2

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tam giác ABC đều Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

hoặc ΔABC đều ⇔ BC2 = AB2

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đặc biệt: Tam giác ABC có một góc bằng 120° Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 - 3(m + 1)x2 + 9x - 2m2 + 1 (C). Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) có cực đại, cực tiểu tại x1, x2 sao cho |x1 - xc | = 2

Hướng dẫn

Ta có y' = 0 ⇔ x2 - 2(m + 1)x + 3 = 0. ĐK có 2 điểm cực trị Δ' = (m + 1)2 - 3 > 0

Khi đó

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ 2. Cho hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án (C). Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) có cực đại, cực tiểu tại x1,x2 sao cho x12 + x22 = 6

Hướng dẫn

Ta có y' = x2 - mx + m2 - 3. ĐK có 2 cực trị Δ = m2 - 4(m2 - 3) = 12 - 3m2 > 0

Khi đó Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x4 - 2mx2 + 2m4 - m có ba điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ.

Hướng dẫn

Ta có y' = 4x3 - 4mx = 4x[x2 - m].

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0; 2m4 - m), B(-√m; 2m4 - m2 - m), C(√m; 2m4 - m2 - m)

Có A Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánOy.Khi đó ba điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ

⇔ yB = 0 = yC ⇔ 2m4 - m2 - m = 0 ⇔ m = 1

B. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho hàm số y = 4x3 + mx2 - 3x + 1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x1,x2 thỏa x1 = -2x2

Ta có y' = 12x2 + 2mx - 3. ĐK có 2 cực trị là: Δ' = m2 + 36 > 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Câu 2:Cho hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx - 5, m là tham số. Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương.

Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương

⇔ PT y' = 3(m + 2)x2 + 6x + m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Câu 3:Cho hàm số y = x3 + (1 - 2m)x2 + (2 - m)x + m + 2 (1). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu , đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

y' = 3x2 + 2(1 - 2m)x + 2 - m = g(x)

YCBT ⇔ Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2thỏa mãn x1 < x2 < 1.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Câu 4:Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m - 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

f'(x) = 3x2 + 6x + m

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi:f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ = 9 - 3m > 0 ⇔ m < 3

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình f'(x) = 0 ta có

g(x1) = 2/3 (m - 3)(x1 + 1); g(x2) = 2/3 (m - 3)(x2 + 1)

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía của Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

(g(x1). g(x2) < 0 ⇔ (m - 3)2 (x1 + 1)(x2 + 1) < 0⇔(m - 3)2 (x1 x2 + x1 + x2 + 1) < 0 ⇔(x1 x2 + x1 + x2 + 1) < 0 (m < 3) )

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy:(x1 x2 + x1 + x2 + 1) < 0 ⇔ m/3 - 1 < 0 ⇔ m < 3

Câu 5:Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x3 + 3(m - 3)x2 + 11 - 3m có hai điểm cực trị. Đồng thời hai điểm cực trị đó và điểmC(0; -1) thẳng hàng .

y' = 6x2 + 6(m - 3)x

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hàm số có 2 cực trị Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án m ≠ 3

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A(0; 11 - 3m)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Phương trình đt AB : (3 - m)2 x + y - 11 + 3m = 0

A,B,C thẳng hàng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hay : -1 - 11 + 3m = 0 ⇔ m = 4.

Câu 6:Tìm m để hàm số y = x4 - 2m2 x2 + 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân

Hàm số có 3 cực trị Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án y' = 4x(x2 - m2 ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án m ≠ 0, khi đó đồ thị có 3 điểm cực trị là A(0, 1);B(-m, 1 - m4 ), C(m, 1 - m4 ). Do y là hàm chẵn nên YCBT Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án ⇔ m = ±1

Câu 7:Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số: y = x3 - 3mx + 2 cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại 2 điểm A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhất .

y' = 3x2 - 3m

y' = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi : m > 0

Khi đó tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: M(√m; -2m√m + 2)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Phương trình đt MN : 2mx + y - 2 = 0

( Học sinh có thể dùng cách lấy y chia cho y')

Ta có : Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dấu bằng xảy ra khi Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Câu 8:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đồ thị hàm số y = 2x3 - 3(m + 1)x2 + 6mx có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng : y = x + 2.

Ta có : y = 6x2 - 6(m + 1)x + 6m

y' = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là : m ≠ 1

Ta có : A(1; 3m - 1) B(m; -m3 + 3m2 )

Hệ số góc đt AB là : k = -(m - 1)2

Đt AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2 khi và chỉ khi k = -1 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


cuc-tri-cua-ham-so.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác