Tổng hợp lý thuyết Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số
Tổng hợp lý thuyết Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số
Dưới đây là phần tổng hợp kiến thức, công thức, lý thuyết Toán lớp 12 Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số ngắn gọn, chi tiết. Hi vọng tài liệu Lý thuyết Toán lớp 12 theo chương này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức môn Toán lớp 12.
- Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Lý thuyết Cực trị hàm số
- Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Lý thuyết Đường tiệm cận
- Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
- Lý thuyết tổng hợp chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số
Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.
- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) .
- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K .
- Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
- Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.
- Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
- Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.
* Chú ý.
- Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm f'(x) > 0, ∀x ∈ K trên khoảng (a; b) thì hàm số đồng biến trên đoạn [a; b].
- Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K ( hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K ) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K).
B. Kĩ năng giải bài tập
1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x)
Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P(x), hoặc giá trị của x làm biểu thức P(x) không xác định.
Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.
2. Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) trên tập xác định
Bước 1. Tìm tập xác định D.
Bước 2. Tính đạo hàm y' = f'(x).
Bước 3. Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.
Bước 4. Lập bảng biến thiên.
Bước 5. Kết luận.
3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f(x) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a; b) cho trước.
Cho hàm số y = f(x, m) có tập xác định D, khoảng (a; b) ⊂ D:
- Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b)
- Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y' ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b)
* Chú ý.
Riêng hàm số $$y = {{{a_1}x + {b_1}} \over {cx + d}}$$ thì :
- Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y' < 0, ∀ x ∈ (a; b)
- Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y' > 0, ∀ x ∈ (a; b)
* Một số kiến thức liên quan
Cho tam thức g(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
$$a)\,\,\,g(x) \ge 0,\forall x \in \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a \gt 0 \hfill \cr \Delta \le 0 \hfill \cr} \right.$$
$$b)\,\,\,g(x) \gt 0,\forall x \in \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a \lt 0 \hfill \cr \Delta \gt 0 \hfill \cr} \right.$$
$$c)\,\,\,g(x) \le 0,\forall x \in \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a \lt 0 \hfill \cr \Delta \le 0 \hfill \cr} \right.$$
$$d)\,\,\,g(x) \le 0,\forall x \in \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a \le 0 \hfill \cr \Delta \le 0 \hfill \cr} \right.$$
* Chú ý.
Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b):
- Bước 1. Đưa bất phương trình f'(x) ≥ 0 (hoặc f'(x) ≤ 0), ∀x ∈(a; b) về dạng g(x) ≥ h(m) (hoặc g(x) ≤ h(m)), ∀x ∈ (a; b).
- Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên (a; b).
- Bước 3. Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.
Lý thuyết Cực trị hàm số
1. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là -∝; b là +∝) và điểm xo ∈ (a; b) .
- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(xo) với mọi x ∈ (xo - h; xo + h) và x ≠ xo thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại xo .
- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(xo) với mọi x ∈ (xo - h; xo + h) và x ≠ xo thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại xo .
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = (xo - h; xo + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {xo}, với h > 0 .
- Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (xo - h; xo) và f'(x) < 0 trên (xo; xo + h) thì xo là một điểm cực đại của hàm số f(x).
- Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (xo - h; xo) và f'(x) > 0 trên (xo; xo + h) thì xo là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
Minh họa bằng bảng biến thiến
* Chú ý.
- Nếu hàm số y = f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại xo thì xo được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(xo) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCĐ(fCT) , còn điểm M(xo; f(xo)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
- Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
B. Kĩ năng giải bài tập
1. Quy tắc tìm cực trị của hàm số
- Quy tắc 1:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f'(x) . Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
- Quy tắc 2:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i = 1; 2; 3;...) là các nghiệm của nó.
Bước 3. Tính f"(x) và f"(xi).
Bước 4. Dựa vào dấu của f"(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
Ta có y'= 3ax2 + 2bx + c
- Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ b2 - 3ac > 0. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là : .
- Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :
Hoặc sử dụng công thức .
- Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là:
3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.
Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).
(C) có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt .
Khi đó ba điểm cực trị là: với Δ = b2 - 4ac
Độ dài các đoạn thẳng: .
Các kết quả cần ghi nhớ:
- ΔABC vuông cân ⇔ BC2 = AB2 + AC2
- ΔABC đều ⇔ BC2 = AB2
- , ta có:
-
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là
- Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC là
- Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là:
C. Kĩ năng sử dụng máy tính
Ví dụ 1: Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 - x + 2
Lời giải:
Bấm máy tính: MODE 2
Ví dụ 2: Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ( nếu có ) của đồ thị hàm số: y = x3 - 3x2 + m2x + m
Lời giải:
Bấm máy tính: MODE 2
Ta có:
Vậy đường thẳng cần tìm:
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi tốt nghiệp THPT khác:
- Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số
- Chủ đề: Cực trị của hàm số
- Chủ đề: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Chủ đề: Tiệm cận của đồ thị hàm số
- Chủ đề: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
- Chủ đề: Tương giao của đồ thị hàm số
- Chủ đề: Điểm thuộc đồ thị
- Chủ đề: Nhận dạng đồ thị hàm số
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:
- Giải Tiếng Anh 12 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 12 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 12 Friends Global
- Lớp 12 Kết nối tri thức
- Soạn văn 12 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 12 (ngắn nhất) - KNTT
- Giải sgk Toán 12 - KNTT
- Giải sgk Vật Lí 12 - KNTT
- Giải sgk Hóa học 12 - KNTT
- Giải sgk Sinh học 12 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 12 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 12 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - KNTT
- Giải sgk Tin học 12 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 12 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 12 - KNTT
- Giải sgk Mĩ thuật 12 - KNTT
- Lớp 12 Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 12 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 12 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 12 - CTST
- Giải sgk Vật Lí 12 - CTST
- Giải sgk Hóa học 12 - CTST
- Giải sgk Sinh học 12 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 12 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 12 - CTST
- Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - CTST
- Giải sgk Tin học 12 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 12 - CTST
- Lớp 12 Cánh diều
- Soạn văn 12 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 12 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 12 Cánh diều
- Giải sgk Vật Lí 12 - Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 12 - Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 12 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 12 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 12 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 12 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 12 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 12 - Cánh diều