Các dạng bài tập Tính đơn điệu của hàm số chọn lọc, có đáp án



Các dạng bài tập Tính đơn điệu của hàm số chọn lọc, có đáp án

Phần Tính đơn điệu của hàm số Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 100 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Tính đơn điệu của hàm số hay nhất tương ứng.

Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Cách xét tính đơn điệu của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

    Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

    Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

    Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

4. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước

   Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

   Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định.

   Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y=x3 - 6x2 + 9x -3

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R

Ta có y' = 3x2 - 12x + 9

y' = 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau √(2x-x2)

Hướng dẫn

Tập xác định D = [0; 2]

Ta có : y' = Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải y' = 0 ⇔ x=1

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1); Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Ví dụ 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3x + 1)/(1 - x)

Hướng dẫn

Hàm số xác định và liên tục trên D = R\{1}.

Tìm y' = Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải > 0; ∀x ≠ 1.

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; 1)và (1 ; +∞).

Tìm tham số m để hàm số đơn điệu

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Hàm đa thức bậc ba: y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)

⇒ f'(x)=3ax2+2bx+c

    Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R khi và chỉ khi Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

   Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R khi và chỉ khiCác dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2. Hàm phân thức bậc nhất: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay ad-bc>0

   Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay ad-bc<0

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải đồng biến trên tập xác định.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R

      + Ta có: y'=x2+2(m+1)x-(m+1)

      + Δ'=(m+1)2+4(m+1)=m2+6m+5

      + Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

   Vậy giá trị của tham số cần tìm là -5≤m≤-1

Ví dụ 2: Cho hàm số Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải. Tìm giá trị của m để hàm số luôn đồng biến trên R.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R

      + Đạo hàm y'≠(m2-m) x2+4mx+3

      + Hàm số luôn đồng biến trên R Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải y'≥0 ∀ x∈R

    Xét m2-m=0 ⇒ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

   Với m=0 phương trình trở thành y=3x-1;y'=3>0 ∀x∈R

⇒ m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Với m=1 phương trình trở thành y=2x2+3x-1;y'=4x+3

    Khi đó y'>0Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải 4x+3>0Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải x<-3/4

⇒ m=1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Xét m2-m≠0 Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

   Khi đó Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

   Từ hai trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm là -3≤m<0

Ví dụ 3: Cho hàm số Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R\{m}

      + Đạo hàm Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải . Dấu của y' là dấu của biểu thức -m2-7m+8

      + Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải y'>0 ∀x∈D

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải -m2-7m+8>0 Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải -8<m<1

    Vậy giá trị m cần tìm là -8<m<1

Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm y'

Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi y' ≥ 0 ∀ x ∈ K

Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi y' ≤ 0 ∀x ∈ K

Bước 2: Cô lập tham số m đưa về dạng m≥g(x) hoặc m ≤ g(x)

Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của g(x)

Bước 4: Kết luận

m ≥ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≥ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

m ≤ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≤ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Một số hàm số thường gặp

Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

⇒ f'(x) = 3ax2 + 2bx + c

Với a > 0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2

Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi β ≤ xc hoặc α ≥ x2

Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi x1 ≤ α < β ≤ x2

Với a <0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2

Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi x1 ≤ α < β ≤ x2

Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi β≤x1 hoặc α ≥ x2

Hàm phân thức bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d) ⇒ y'= (ad - bc)/(cx + d)2

Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad-bc>0 và -d/c ∉ K

Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad - bc < 0 và -d/c ∉ K

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3/3 - mx2+(1 - 2m)x- 1 đồng biến trên (1; +∞)

Hướng dẫn

TXĐ: D = R

Ta có y' = x2 - 2mx + 1 - 2m

Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞)⇔ ∀ x ∈(1; +∞),y' ≥ 0

⇔ ∀ x ∈ (1; +∞), x2 -2mx + 1 - 2m ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈(1; +∞), x2 + 1 ≥ 2m(x + 1)

⇔ ∀ x ∈(1; +∞),2m ≤ (x2 + 1)/(x + 1) (do x + 1 > 0 khi x > 1)

Xét hàm số f(x) = (x2 + 1)/(x + 1), x ∈ (1; +∞)

f'(x) = (x2 + 2x - 1)/(x + 1)2 >0 với mọi x Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (1;+∞)

Ta có bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Dựa vào bảng biến thiên để 2m ≤ f(x),∀ x ∈(1; +∞) thì 2m ≤ 1 ⇔ m ≤ 1/2

Ví dụ 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = (2x - 1)/(x - m) nghịch biến trên khoảng (2; 3)

Hướng dẫn

TXĐ: D=R\{m}.

Ta có y'= (-2m + 1)/(x - m)2 . Để hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 3) thì hàm só phải xác định trên khoảng (2; 3) và y' < 0 ∀ x ∈ (2; 3).

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ví dụ 3: Tìm các giá trị m để hàm số y = mx3 - x2 + 3x + m - 2 đồng biến trên (-3 ; 0)

Hướng dẫn

TXĐ: D = R

Ta có y'= 3mx2 - 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 0) khi và chỉ khi:

y' ≥ 0,∀ x ∈(-3; 0) (Dấu '' = '' xảy ra tại hữu hạn điểm trên (-3; 0))

⇔ 3mx2 - 2x + 3 ≥ 0, ∀ x ∈(-3; 0)

⇔ m ≥(2x-3)/(3x2 ) = g(x) ∀ x ∈(-3;0)

Ta có: g'(x) = (-2x + 6)/(3x3 ); g'(x) = 0 ⇔ x = 3

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy m ≥ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải= -1/3.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85




Các loạt bài lớp 12 khác