Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l - Toán lớp 12



Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Quảng cáo

Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l.

   Bước 1: Tính y'=f'(x).

   Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án (1).

   Bước 3: Biến đổi |x1-x2 | = l thành (x1+x2 )2 - 4x1.x2=l2 (2).

   Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m.

   Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Kiến thức cần nhớ

Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3+bx2+ cx + d (a ≠ 0) ⇒ f'(x)=3ax2+ 2bx + c

Sử dụng định lý vi ét cho tam thức bậc hai f'(x)= 3ax2 + 2bx + c có

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 1/3 x3 - 2mx2 + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3.

Hướng dẫn

Ta có f'(x) = x2 - 4mx + 2m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 |=3

   + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 4m2 - 2m > 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Theo Vi ét ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   + Với |x1-x2 | = 3 ⇔ (x1 + x1)2 - 4x1 x2 - 9 = 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án (thỏa mãn)

Vậy giá trị của m cần tìm là m=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án.

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = -x3 + 3x2 + (m-1)x + 2m - 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1

Hướng dẫn

Ta có f'(x)= -3x2 + 6x + m - 1

Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 | > 1

   + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 3m + 6 > 0 ⇔ m > -2

Theo Vi ét ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   + Với |x1-x2 | > 1 ⇔ (x1+x2 )2-4x1 x2-1 > 0 ⇔ 4m + 5 > 0 ⇔ m > -5/4

Kết hợp điều kiện ta được m > -5/4

Ví dụ 3: Xác định m để hàm só y = -x4 +(m - 2) x2 + 1 có khoảng nghịch biến (x1;x2) và độ dài khoảng này bằng 1.

Hướng dẫn

Ta có y' = -4x3 + 2(m - 2)x Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Để hàm số có khoảng nghịch biến (x1;x2) thì phương trình -2x2 + m - 2 = 0 phải có hai nghiệm phân biệt Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Giả sử x1 < 0 < x2, khi đó hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng (x1;0) và (x2; +∞)

Vì độ dài khoảng nghịch biến bằng 1 nên khoảng (x1;0) có độ dài bằng 1 hay x1 = -1

Vì -2x2 + m - 2 = 0 có một nghiệm là -1 nên -2 + m - 2 = 0 ⇔ m = 4 (thỏa mãn)

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 4

B. Bài tập vận dụng

Quảng cáo

Câu 1: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = (m + 1)x3 - 3(m+1)x2 + 2mx + 4 đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1.

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Với m = -1. Khi đó hàm số trở thành y = -2x + 4 ; y' = -2 < 0 ∀x∈R, không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với m ≠ -1. Ta có f'(x)= 3(m+1)x2 - 6(m + 1)x + 2m

   + Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn [x1;x2 ] thỏa mãn |x1 - x2 | ≥ 1

   + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn[x1;x2 ]

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Theo Viét ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   + Với |x1 - x2 | ≥ 1 ⇔ (x1 + x2 )2 - 4x1 x2 - 1 ≥ 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đối chiếu điều kiện ta có m ≤ -9.

Câu 2: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 - mx2 + (m + 36)x - 5 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2.

Ta có f'(x) = 3x2 - 2mx + m + 36

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x1 (x1 < x2) thỏa mãn |x1 - x1 |= 4√2v

   + f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Theo Vi ét ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   + Với |x1 - x2 |= 4√2 ⇔ (x1+x2 )2 - 4x1 x2 - 32 = 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án(thỏa mãn)

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 15; m = -12

Câu 3: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Ta có f'(x)= 3x2 + 6x + m; Δ' = 9 - 3m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2 khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x1 (x1 < x2) thỏa mãn |x1 - x2 |< 2√2

   + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 9 - 3m > 0 m < 3

Theo định lý Vi – ét ta có: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2√2

⇔ l =|x1 - x2 | < 2√2 ⇔(x1 - x2 )2 = 8 ⇔(x1 + x2 )2 - 4x1 x2 = 8 ⇔ 4 - 4/3 m=8 ⇒ m = -3.

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = -3

Quảng cáo

Câu 4: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = -x3 + x2 - (2 - m)x + 1 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2.

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Ta có f'(x) = -3x2 + 2x - 2 + m; Δ' = -5 + m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 2khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 | = 2

   + f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= -5 + m > 0 ⇔ m > 5

Theo định lý Viét ta có: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án.

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 ⇔ l =|x1 - x2 |= 2 ⇔(x1 - x2 )2 = 4

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 14/3

Câu 5: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x + 2017 nghịch biến trên khoảng (a;b) sao cho b - a > 3.

Ta có y' = 6x2 + 6(m - 1)x + 6(m - 2)

Hàm số nghịch biến trên (a;b) ⇔ x2 + (m - 1)x + (m - 2) ≤ 0 ∀ x ∈(a; b)

Δ = m2 - 6m + 9

   TH1: Δ ≤ 0 ⇒ x2 + (m - 1)x + (m - 2) ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇒Vô lí

   TH2: Δ > 0 ⇔ m ≠ 3 ⇒ y' có hai nghiệm x1,x2 (x2 > x1 )

⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên (x1;x2 ).

Yêu cầu đề bài: ⇔ x2 - x1 > 3 ⇔ (x2 - x1 )2 > 9 ⇔ (x1 + x2 )2 - 4(x1.x2)>9

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Quảng cáo

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com


tinh-don-dieu-cua-ham-so.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12