Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l - Toán lớp 12



Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l.

   Bước 1: Tính y'=f'(x).

   Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án (1).

   Bước 3: Biến đổi |x1-x2 | = l thành (x1+x2 )2 - 4x1.x2=l2 (2).

   Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m.

   Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Kiến thức cần nhớ

Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3+bx2+ cx + d (a ≠ 0) ⇒ f'(x)=3ax2+ 2bx + c

Sử dụng định lý vi ét cho tam thức bậc hai f'(x)= 3ax2 + 2bx + c có

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 1/3 x3 - 2mx2 + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3.

Hướng dẫn

Ta có f'(x) = x2 - 4mx + 2m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 |=3

   + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 4m2 - 2m > 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Theo Vi ét ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   + Với |x1-x2 | = 3 ⇔ (x1 + x1)2 - 4x1 x2 - 9 = 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án (thỏa mãn)

Vậy giá trị của m cần tìm là m=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án.

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = -x3 + 3x2 + (m-1)x + 2m - 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1

Hướng dẫn

Ta có f'(x)= -3x2 + 6x + m - 1

Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 | > 1

   + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 3m + 6 > 0 ⇔ m > -2

Theo Vi ét ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   + Với |x1-x2 | > 1 ⇔ (x1+x2 )2-4x1 x2-1 > 0 ⇔ 4m + 5 > 0 ⇔ m > -5/4

Kết hợp điều kiện ta được m > -5/4

Ví dụ 3: Xác định m để hàm só y = -x4 +(m - 2) x2 + 1 có khoảng nghịch biến (x1;x2) và độ dài khoảng này bằng 1.

Hướng dẫn

Ta có y' = -4x3 + 2(m - 2)x Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Để hàm số có khoảng nghịch biến (x1;x2) thì phương trình -2x2 + m - 2 = 0 phải có hai nghiệm phân biệt Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Giả sử x1 < 0 < x2, khi đó hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng (x1;0) và (x2; +∞)

Vì độ dài khoảng nghịch biến bằng 1 nên khoảng (x1;0) có độ dài bằng 1 hay x1 = -1

Vì -2x2 + m - 2 = 0 có một nghiệm là -1 nên -2 + m - 2 = 0 ⇔ m = 4 (thỏa mãn)

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 4

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = (m + 1)x3 - 3(m+1)x2 + 2mx + 4 đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1.

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Với m = -1. Khi đó hàm số trở thành y = -2x + 4 ; y' = -2 < 0 ∀x∈R, không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với m ≠ -1. Ta có f'(x)= 3(m+1)x2 - 6(m + 1)x + 2m

   + Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn [x1;x2 ] thỏa mãn |x1 - x2 | ≥ 1

   + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn[x1;x2 ]

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Theo Viét ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   + Với |x1 - x2 | ≥ 1 ⇔ (x1 + x2 )2 - 4x1 x2 - 1 ≥ 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đối chiếu điều kiện ta có m ≤ -9.

Câu 2: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 - mx2 + (m + 36)x - 5 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2.

Ta có f'(x) = 3x2 - 2mx + m + 36

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x1 (x1 < x2) thỏa mãn |x1 - x1 |= 4√2v

   + f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Theo Vi ét ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   + Với |x1 - x2 |= 4√2 ⇔ (x1+x2 )2 - 4x1 x2 - 32 = 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án(thỏa mãn)

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 15; m = -12

Câu 3: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Ta có f'(x)= 3x2 + 6x + m; Δ' = 9 - 3m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2 khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x1 (x1 < x2) thỏa mãn |x1 - x2 |< 2√2

   + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 9 - 3m > 0 m < 3

Theo định lý Vi – ét ta có: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2√2

⇔ l =|x1 - x2 | < 2√2 ⇔(x1 - x2 )2 = 8 ⇔(x1 + x2 )2 - 4x1 x2 = 8 ⇔ 4 - 4/3 m=8 ⇒ m = -3.

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = -3

Câu 4: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = -x3 + x2 - (2 - m)x + 1 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2.

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Ta có f'(x) = -3x2 + 2x - 2 + m; Δ' = -5 + m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 2khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 | = 2

   + f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= -5 + m > 0 ⇔ m > 5

Theo định lý Viét ta có: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án.

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 ⇔ l =|x1 - x2 |= 2 ⇔(x1 - x2 )2 = 4

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 14/3

Câu 5: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x + 2017 nghịch biến trên khoảng (a;b) sao cho b - a > 3.

Ta có y' = 6x2 + 6(m - 1)x + 6(m - 2)

Hàm số nghịch biến trên (a;b) ⇔ x2 + (m - 1)x + (m - 2) ≤ 0 ∀ x ∈(a; b)

Δ = m2 - 6m + 9

   TH1: Δ ≤ 0 ⇒ x2 + (m - 1)x + (m - 2) ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇒Vô lí

   TH2: Δ > 0 ⇔ m ≠ 3 ⇒ y' có hai nghiệm x1,x2 (x2 > x1 )

⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên (x1;x2 ).

Yêu cầu đề bài: ⇔ x2 - x1 > 3 ⇔ (x2 - x1 )2 > 9 ⇔ (x1 + x2 )2 - 4(x1.x2)>9

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


tinh-don-dieu-cua-ham-so.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác