Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l (cực hay)

---

---

Bài viết Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l.

Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l (cực hay)

Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Tìm m để hàm số y = ax³ + bx² + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l.

   Bước 1: Tính y'=f'(x).

   Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: (1).

   Bước 3: Biến đổi |x₁-x₂ | = l thành (x₁+x₂ )² - 4x₁.x₂=l² (2).

   Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m.

   Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Kiến thức cần nhớ

Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax³+bx²+ cx + d (a ≠ 0) ⇒ f'(x)=3ax²+ 2bx + c

Sử dụng định lý vi ét cho tam thức bậc hai f'(x)= 3ax² + 2bx + c có

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 1/3 x³ - 2mx² + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3.

Hướng dẫn

Ta có f'(x) = x² - 4mx + 2m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ (x₁ < x₂) thỏa mãn |x₁-x₂ |=3

   + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ ⇔ Δ'= 4m² - 2m > 0 ⇔

Theo Vi ét ta có

   + Với |x₁-x₂ | = 3 ⇔ (x₁ + x₁)² - 4x₁ x₂ - 9 = 0

(thỏa mãn)

Vậy giá trị của m cần tìm là m=.

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = -x³ + 3x² + (m-1)x + 2m - 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1

Hướng dẫn

Ta có f'(x)= -3x² + 6x + m - 1

Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ (x₁ < x₂) thỏa mãn |x₁-x₂ | > 1

   + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ ⇔ Δ'= 3m + 6 > 0 ⇔ m > -2

Theo Vi ét ta có

   + Với |x₁-x₂ | > 1 ⇔ (x₁+x₂ )²-4x₁ x₂-1 > 0 ⇔ 4m + 5 > 0 ⇔ m > -5/4

Kết hợp điều kiện ta được m > -5/4

Ví dụ 3: Xác định m để hàm só y = -x⁴ +(m - 2) x² + 1 có khoảng nghịch biến (x₁;x₂) và độ dài khoảng này bằng 1.

Hướng dẫn

Ta có y' = -4x³ + 2(m - 2)x

Để hàm số có khoảng nghịch biến (x₁;x₂) thì phương trình -2x² + m - 2 = 0 phải có hai nghiệm phân biệt

Giả sử x₁ < 0 < x₂, khi đó hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng (x₁;0) và (x₂; +∞)

Vì độ dài khoảng nghịch biến bằng 1 nên khoảng (x₁;0) có độ dài bằng 1 hay x₁ = -1

Vì -2x² + m - 2 = 0 có một nghiệm là -1 nên -2 + m - 2 = 0 ⇔ m = 4 (thỏa mãn)

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 4

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = (m + 1)x³ - 3(m+1)x² + 2mx + 4 đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Với m = -1. Khi đó hàm số trở thành y = -2x + 4 ; y' = -2 < 0 ∀x∈R, không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với m ≠ -1. Ta có f'(x)= 3(m+1)x² - 6(m + 1)x + 2m

   + Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ và hàm số đồng biến trong đoạn [x₁;x₂ ] thỏa mãn |x₁ - x₂ | ≥ 1

   + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ và hàm số đồng biến trong đoạn[x₁;x₂ ]

Theo Viét ta có

   + Với |x₁ - x₂ | ≥ 1 ⇔ (x₁ + x₂ )² - 4x₁ x₂ - 1 ≥ 0

Đối chiếu điều kiện ta có m ≤ -9.

Câu 2: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x³ - mx² + (m + 36)x - 5 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2.

Lời giải:

Ta có f'(x) = 3x² - 2mx + m + 36

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₁ (x₁ < x₂) thỏa mãn |x₁ - x₁ |= 4√2v

   + f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂

Theo Vi ét ta có

   + Với |x₁ - x₂ |= 4√2 ⇔ (x₁+x₂ )² - 4x₁ x₂ - 32 = 0

(thỏa mãn)

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 15; m = -12

Câu 3: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x³ + 3x² + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Ta có f'(x)= 3x² + 6x + m; Δ' = 9 - 3m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2 khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₁ (x₁ < x₂) thỏa mãn |x₁ - x₂ |< 2√2

   + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ ⇔ Δ'= 9 - 3m > 0 m < 3

Theo định lý Vi – ét ta có:

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2√2

⇔ l =|x₁ - x₂ | < 2√2 ⇔(x₁ - x₂ )² = 8 ⇔(x₁ + x₂ )² - 4x₁ x₂ = 8 ⇔ 4 - 4/3 m=8 ⇒ m = -3.

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = -3

Câu 4: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = -x³ + x² - (2 - m)x + 1 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Ta có f'(x) = -3x² + 2x - 2 + m; Δ' = -5 + m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 2khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ (x₁ < x₂) thỏa mãn |x₁-x₂ | = 2

   + f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ ⇔ Δ'= -5 + m > 0 ⇔ m > 5

Theo định lý Viét ta có: .

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 ⇔ l =|x₁ - x₂ |= 2 ⇔(x₁ - x₂ )² = 4

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 14/3

Câu 5: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 2x³ + 3(m - 1)x² + 6(m - 2)x + 2017 nghịch biến trên khoảng (a;b) sao cho b - a > 3.

Lời giải:

Ta có y' = 6x² + 6(m - 1)x + 6(m - 2)

Hàm số nghịch biến trên (a;b) ⇔ x² + (m - 1)x + (m - 2) ≤ 0 ∀ x ∈(a; b)

Δ = m² - 6m + 9

   TH1: Δ ≤ 0 ⇒ x² + (m - 1)x + (m - 2) ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇒Vô lí

   TH2: Δ > 0 ⇔ m ≠ 3 ⇒ y' có hai nghiệm x₁,x₂ (x₂ > x₁ )

⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên (x₁;x₂ ).

Yêu cầu đề bài: ⇔ x₂ - x₁ > 3 ⇔ (x₂ - x₁ )² > 9 ⇔ (x₁ + x₂ )² - 4(x₁.x₂)>9

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm m để hàm số y = -x³ + 3x² + (m - 1)x + 2m - 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1.

Bài 2. Xác định m để hàm só y = -x⁴ + (m - 2)x² + 1 có khoảng nghịch biến (x₁; x₂) và độ dài khoảng này bằng 1.

Bài 3. Tìm m để hàm số y = x³ + 3x² + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2.

Bài 4. Tìm m để hàm số y = 2x³ + 3(m – 1)x² + 6(m – 2)x + 3 nghịch biển trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3.

Bài 5. Với giá trị nào của m thì hàm số y = $-\frac{1}{3}$x³ + 2x² + (m – 1)x + 1 đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3 đơn vị?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
• Trắc nghiệm Xét tính đơn điệu của hàm số
• Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu
• Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đơn điệu
• Dạng 3: Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số
• Trắc nghiệm Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số
• Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l

---

---

---