Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số (cực hay)

---

---

Bài viết Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số (cực hay)

Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm y'

Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi y' ≥ 0 ∀ x ∈ K

Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi y' ≤ 0 ∀x ∈ K

Bước 2: Cô lập tham số m đưa về dạng m≥g(x) hoặc m ≤ g(x)

Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của g(x)

Bước 4: Kết luận

m ≥ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≥

m ≤ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≤

Một số hàm số thường gặp

Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

⇒ f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Với a > 0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ < x₂

Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi β ≤ xc hoặc α ≥ x₂

Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi x₁ ≤ α < β ≤ x₂

Với a <0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ < x₂

Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi x₁ ≤ α < β ≤ x₂

Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi β≤x₁ hoặc α ≥ x₂

Hàm phân thức bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d) ⇒ y'= (ad - bc)/(cx + d)²

Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad-bc>0 và -d/c ∉ K

Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad - bc < 0 và -d/c ∉ K

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x³/3 - mx²+(1 - 2m)x- 1 đồng biến trên (1; +∞)

Hướng dẫn

TXĐ: D = R

Ta có y' = x² - 2mx + 1 - 2m

Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞)⇔ ∀ x ∈(1; +∞),y' ≥ 0

⇔ ∀ x ∈ (1; +∞), x² -2mx + 1 - 2m ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈(1; +∞), x² + 1 ≥ 2m(x + 1)

⇔ ∀ x ∈(1; +∞),2m ≤ (x² + 1)/(x + 1) (do x + 1 > 0 khi x > 1)

Xét hàm số f(x) = (x² + 1)/(x + 1), x ∈ (1; +∞)

f'(x) = (x² + 2x - 1)/(x + 1)² >0 với mọi x (1;+∞)

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên để 2m ≤ f(x),∀ x ∈(1; +∞) thì 2m ≤ 1 ⇔ m ≤ 1/2

Ví dụ 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = (2x - 1)/(x - m) nghịch biến trên khoảng (2; 3)

Hướng dẫn

TXĐ: D=R\{m}.

Ta có y'= (-2m + 1)/(x - m)² . Để hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 3) thì hàm só phải xác định trên khoảng (2; 3) và y' < 0 ∀ x ∈ (2; 3).

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là

Ví dụ 3: Tìm các giá trị m để hàm số y = mx³ - x² + 3x + m - 2 đồng biến trên (-3 ; 0)

Hướng dẫn

TXĐ: D = R

Ta có y'= 3mx² - 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 0) khi và chỉ khi:

y' ≥ 0,∀ x ∈(-3; 0) (Dấu '' = '' xảy ra tại hữu hạn điểm trên (-3; 0))

⇔ 3mx² - 2x + 3 ≥ 0, ∀ x ∈(-3; 0)

⇔ m ≥(2x-3)/(3x² ) = g(x) ∀ x ∈(-3;0)

Ta có: g'(x) = (-2x + 6)/(3x³ ); g'(x) = 0 ⇔ x = 3

Bảng biến thiên

Vậy m ≥ = -1/3.

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = mx² - (m + 6)x nghịch biến trên khoảng (-1; +∞)

Lời giải:

Ta có:

y' = 2mx - (m + 6). Theo yêu cầu bài toán ta có y' ≤ 0,∀ x ∈(-1; +∞).

⇒ 2mx - (m + 6) ≤ 0 ⇔ m ≤ .

Xét hàm số g(x) = với x ∈ (-1;+∞).

Bảng biến thiên

Vậy -2 ≤ m ≤ 0.

Câu 2: Cho hàm số y = x³-3mx²+3(m² - 1)x - 2m + 3. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Lời giải:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm y'=3x²-6mx+3(m²-1)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)⇔ y' ≤ 0 ∀ x ∈(1; 2)

Ta có Δ'= 9m²-9(m²-1)= 9 > 0 ∀m

Suy ra y' luôn có hai nghiệm phân biệt x₁ = m - 1; x₂ = m + 1(x₁<x₂)

Do đó y' ≤ 0 ∀ x ∈(1;2) ⇔ x₁ ≤ 1 < 2 < x₂ ⇔

Vậy giá trị m cần tìm là 1 ≤ m ≤ 2

Câu 3: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = -x⁴ + (2m - 3)x² + m nghịch biến trên khoảng (1; 2) là (-∞; p/q], trong đó phân số p/q tối giản và q > 0. Tính tổng p+q

Lời giải:

Tập xác định D = R. Ta có y' = -4x³ + 2(2m - 3)x.

Hàm số nghịch biến trên (1;2) ⇔ y' ≤ 0,∀ x ∈(1; 2)⇔ m ≤ x² + 3/2 = g(x),∀ x ∈(1; 2).

Lập bảng biến thiên của g(x)trên (1;2). g'(x) = 2x = 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m ≤ ming(x) ⇔ m ≤ 5/2. Vậy p + q = 5 + 2 = 7.

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Lời giải:

TXĐ: D = R\{m}

Ta có: y'= .

Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞)

⇔ >0,∀ x ∈(2;+∞)

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là -3 < m ≤2

Câu 5: Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (4; +∞)

Lời giải:

Trường hợp 1: Khi m = -1, hàm số trở thành với mọi x

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

⇒ m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trường hợp 2: Khi m ≠ -1, ta có

Đặt g(x)=(m + 1) x² - 2(m + 1)x - 4m và ta có y' cùng dấu với g(x)

Khi đó hàm số đồng biến trên khoảng (4; +∞).

⇔ ∀ x ∈(4; +∞), g(x) ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈ (4; +∞), ≤ m.

(do x² - 2x - 4 > 0 ∀ x ∈(4; +∞))

Xét hàm > 0 ∀ x ∈(4;+∞).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên của h(x) suy ra,∀ x ∈(4; +∞),h(x) ≤ m m ≥-1.

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (π/4; π/2).

Lời giải:

Ta có: .

Hàm số đồng biến trên khoảng (π/4; π/2) khi và chỉ khi:

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m ≤ 0

Câu 7: Tìm m để hàm số đồng biến trên [1; +∞).

Lời giải:

Ta có:

có tập xác định là D = R\{-m} và .

Hàm số đã cho đồng biến trên [1; +∞) ⇔

x² + 2mx - 4m ≥ 0,∀ x ∈[1; +∞)⇔

Kết hợp với đk m > -1 ta được -1 < m ≤ 1/2.

Câu 8: Với giá trị nào của m thì hàm số y=√(x²+2mx+m²+1) đồng biến trên khoảng (1; +∞).

Lời giải:

Đặt f(x) = x² + 2mx + m² + 1;

ta có Δ_(f(x))'=m²-m²-1 = -1 < 0;a = 1 > 0 nên f(x)> 0 ∀ x ∈R.

Ta có

Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞) khi và chỉ khi y ' ≥ 0 ∀ x > 1

⇔ x + m ≥ 0 ⇔ m ≥ -x

Xét g(x) = -x ; g'(x)= - 1 < 0 ∀x1

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có m ≥ -1.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm m để hàm số y = 2x³ + 3x² + 6mx – 1 nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số $y=\frac{mx-6m+5}{x-m}$ đồng biến trên khoảng (3; +∞).

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x³ - 6x² + mx + 1 đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Bài 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x⁴ - 2(m - 1)x² + m - 2 đồng biến trên khoảng (1; 3).

Bài 5. Cho hàm số y = x³ - 3(m² + 3m + 3) x² + 3(m² + 1)² x + m + 2. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên (1; +∞). Tìm S.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
• Trắc nghiệm Xét tính đơn điệu của hàm số
• Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu
• Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đơn điệu
• Trắc nghiệm Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số
• Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l
• Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l

---

---

---