Cách xét tính đơn điệu của hàm số (cực hay)

---

---

Bài viết Cách xét tính đơn điệu của hàm số Toán lớp 12 với đầy đủ phương pháp giải bài tập và trên 10 bài tập cơ bản và nâng cao có lời giải chi tiết giúp học sinh lớp 12 biết cách làm bài tập xét tính đơn điệu của hàm số.

Cách xét tính đơn điệu của hàm số (cực hay)

Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

    Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

    Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

    Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

4. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước

   Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

   Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm x_o sao cho f'(x_o) = 0 hoặc f'(x_o) không xác định.

   Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y=x³ - 6x² + 9x -3

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R

Ta có y' = 3x² - 12x + 9

y' = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau √(2x-x²)

Hướng dẫn

Tập xác định D = [0; 2]

Ta có : y' = y' = 0 ⇔ x=1

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1); Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Ví dụ 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3x + 1)/(1 - x)

Hướng dẫn

Hàm số xác định và liên tục trên D = R\{1}.

Tìm y' = > 0; ∀x ≠ 1.

Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; 1)và (1 ; +∞).

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = y= -x³ + 6x² - 9x + 4

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên D=R.

Tính y' = -3x² + 12x - 9. Cho y' = 0 ⇔ -3x² + 12x - 9 = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên,hàm số đồng biến trên (1;3).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (3; +∞)

Bài 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3 - 2x)/(x + 7)

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: D = R\{-7}.

Tính y' = > 0,∀x ∈ D = R\{-7}.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho luôn nghịch biến trên: (-∞; -7)và(-7; +∞).

Bài 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = x⁴ + 4x + 6

Lời giải:

Tập xác định: D = R.

Tính: y' = 4x³ + 4. Cho y' = 0 ⇔ 4x³ + 4 = 0 ⇔ x = -1.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (-1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1)

Bài 4: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y =

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định khi: x² - x + 3 > 0 đúng ∀x ∈ R.

Hàm số đã cho xác định trên D = R

Ta có: y' =

Cho y' = 0 ⇔ = 0 ⇔-5x + 8 = 0 ⇔ x = 8/5.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên(-∞; 8/5).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (8/5; +∞)

Bài 5: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y =

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên: D = R\{-2}.

Ta có: y' = ,∀x ∈ D.

Cho y' = 0 ⇔ = 0 ⇔ -x² - 4x + 5 = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên: (-∞; -5) và (1; +∞)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-5; -2) và (-2; 1)

Bài 6: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y =

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Ta có: y' =

Cho y' = 0 ⇔ = 0 ⇔ -36x² + 24x - 3 = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên (-∞; 1/6) và (1/6; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1/6; 1/2)

Bài 7: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = |x² - 2x - 3|

Lời giải:

Ta có: y = |x² - 2x - 3| =

TXĐ: D = R.

Tìm y' =

Hàm số không có đạo hàm tại x= -1 và x = 3.

Ta lại có: Trên khoảng (-1; 3): y' = 0 ⇔ x = 1.

Trên khoảng (-∞; -1): y' < 0. Trên khoảng (3; +∞): .y' > 0

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trong các khoảng (-1; 1) và (3; +∞).

   Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; 3)

Bài 8: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = 2sinx + cos2x,x ∈ [0; π]

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên đoạn [0; π].

Ta có: y' = 2cosx - 2sin2x = 2cosx - 4cosx.sinx = 2cosx(1 - 2sinx),x ∈ [0; π].

Trên đoạn[0; π]: y' = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên các khoảng (0; π/6) và (π/2; 5π/6)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (π/6; π/2); (5π/6; π)

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên các khoảng (0; π/6) và (π/2; 5π/6)

Hỏi hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên các khoảng (0; π/6) và (π/2; 5π/6)

Hỏi hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

Bài 3. Cho hàm số y = -x³ – mx² + (4m + 9)x + 5 với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)?

Bài 4. Cho hàm số y = $-\frac{1}{3}$x³ + mx² + (3m + 2)x + 1. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên R.

Bài 5. Cho hàm số y = $-\frac{1}{3}$x³ + 2x² + (2a + 1)x – 3a + 2 (a là tham số). Với giá trị nào của a thì hàm số nghịch biến trên ℝ.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Trắc nghiệm Xét tính đơn điệu của hàm số
• Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu
• Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đơn điệu
• Dạng 3: Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số
• Trắc nghiệm Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số
• Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l
• Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l

---

---

---