Xét tính đơn điệu của hàm số



Chuyên đề: Tính đơn điệu của hàm số

Xét tính đơn điệu của hàm số

Phương pháp giải

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

    Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

    Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

    Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

4. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước

   Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

   Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định.

   Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y=x3 - 6x2 + 9x -3

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R

Ta có y' = 3x2 - 12x + 9

y' = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bảng biến thiên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau √(2x-x2)

Hướng dẫn

Tập xác định D = [0; 2]

Ta có : y' = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án y' = 0 ⇔ x=1

Bảng biến thiên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1); Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Ví dụ 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3x + 1)/(1 - x)

Hướng dẫn

Hàm số xác định và liên tục trên D = R\{1}.

Tìm y' = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án > 0; ∀x ≠ 1.

Bảng biến thiên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; 1)và (1 ; +∞).

Chuyên đề Toán 12: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


tinh-don-dieu-cua-ham-so.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác