Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia. Xem ngay!

Xét tính đơn điệu của hàm số - Toán lớp 12



Xét tính đơn điệu của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

    Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

    Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

    Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

4. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước

   Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

   Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định.

   Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y=x3 - 6x2 + 9x -3

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R

Ta có y' = 3x2 - 12x + 9

y' = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bảng biến thiên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau √(2x-x2)

Hướng dẫn

Tập xác định D = [0; 2]

Ta có : y' = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án y' = 0 ⇔ x=1

Bảng biến thiên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1); Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Ví dụ 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3x + 1)/(1 - x)

Hướng dẫn

Hàm số xác định và liên tục trên D = R\{1}.

Tìm y' = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án > 0; ∀x ≠ 1.

Bảng biến thiên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; 1)và (1 ; +∞).

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = y= -x3 + 6x2 - 9x + 4

Hàm số đã cho xác định trên D=R.

Tính y' = -3x2 + 12x - 9. Cho y' = 0 ⇔ -3x2 + 12x - 9 = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bảng biến thiên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên,hàm số đồng biến trên (1;3).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (3; +∞)

Bài 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3 - 2x)/(x + 7)

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: D = R\{-7}.

Tính y' = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án > 0,∀x ∈ D = R\{-7}.

Bảng biến thiên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho luôn nghịch biến trên: (-∞; -7)và(-7; +∞).

Bài 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = x4 + 4x + 6

Tập xác định: D = R.

Tính: y' = 4x3 + 4. Cho y' = 0 ⇔ 4x3 + 4 = 0 ⇔ x = -1.

Bảng biến thiên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (-1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1)

Bài 4: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hàm số đã cho xác định khi: x2 - x + 3 > 0 đúng ∀x ∈ R.

Hàm số đã cho xác định trên D = R

Ta có: y' = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Cho y' = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án = 0 ⇔-5x + 8 = 0 ⇔ x = 8/5.

Bảng biến thiên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên(-∞; 8/5).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (8/5; +∞)

Bài 5: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hàm số đã cho xác định trên: D = R\{-2}.

Ta có: y' = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án ,∀x ∈ D.

Cho y' = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án = 0 ⇔ -x2 - 4x + 5 = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bảng biến thiên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên: (-∞; -5) và (1; +∞)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-5; -2) và (-2; 1)

Bài 6: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Ta có: y' = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Cho y' = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án = 0 ⇔ -36x2 + 24x - 3 = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bảng biến thiên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên (-∞; 1/6) và (1/6; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1/6; 1/2)

Bài 7: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = |x2 - 2x - 3|

Ta có: y = |x2 - 2x - 3| = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

TXĐ: D = R.

Tìm y' = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hàm số không có đạo hàm tại x= -1 và x = 3.

Ta lại có: Trên khoảng (-1; 3): y' = 0 ⇔ x = 1.

Trên khoảng (-∞; -1): y' < 0. Trên khoảng (3; +∞): .y' > 0

Bảng biến thiên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánDựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trong các khoảng (-1; 1) và (3; +∞).

   Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; 3)

Bài 8: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = 2sinx + cos2x,x ∈ [0; π]

Hàm số đã cho xác định trên đoạn [0; π].

Ta có: y' = 2cosx - 2sin2x = 2cosx - 4cosx.sinx = 2cosx(1 - 2sinx),x ∈ [0; π].

Trên đoạn[0; π]: y' = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bảng biến thiên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánDựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên các khoảng (0; π/6) và (π/2; 5π/6)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (π/6; π/2); (5π/6; π)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 99K tại khoahoc.vietjack.com


tinh-don-dieu-cua-ham-so.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác