Tìm tham số m để hàm số đơn điệu (cực hay)

---

---

Bài viết Tìm tham số m để hàm số đơn điệu với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm tham số m để hàm số đơn điệu.

Tìm tham số m để hàm số đơn điệu (cực hay)

Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Hàm đa thức bậc ba: y=f(x)=ax³+bx²+cx+d (a≠0)

⇒ f'(x)=3ax²+2bx+c

    Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R khi và chỉ khi

   Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R khi và chỉ khi

2. Hàm phân thức bậc nhất:

    Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay ad-bc>0

   Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay ad-bc<0

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số đồng biến trên tập xác định.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R

      + Ta có: y'=x²+2(m+1)x-(m+1)

      + Δ'=(m+1)²+4(m+1)=m²+6m+5

      + Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì

   Vậy giá trị của tham số cần tìm là -5≤m≤-1

Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm giá trị của m để hàm số luôn đồng biến trên R.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R

      + Đạo hàm y'≠(m²-m) x²+4mx+3

      + Hàm số luôn đồng biến trên R y'≥0 ∀ x∈R

    Xét m²-m=0 ⇒

   Với m=0 phương trình trở thành y=3x-1;y'=3>0 ∀x∈R

⇒ m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Với m=1 phương trình trở thành y=2x²+3x-1;y'=4x+3

    Khi đó y'>0 4x+3>0 x<-3/4

⇒ m=1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Xét m²-m≠0

   Khi đó

   Từ hai trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm là -3≤m<0

Ví dụ 3: Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R\{m}

      + Đạo hàm . Dấu của y' là dấu của biểu thức -m²-7m+8

      + Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định y'>0 ∀x∈D

-m²-7m+8>0 -8<m<1

    Vậy giá trị m cần tìm là -8<m<1

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x³ + 3x² + mx + 2 đồng biến trên R.

Lời giải:

+ Ta có: y '= 3x² + 6x + m

      + Để hàm số đã cho đồng biến trên R thì y' ≥ 0,∀x ∈R

      + Yêu cầu bài toán trở thành tìm điều kiện của m để y' ≥ 0,∀x ∈R

Ta có y' = 3x² + 6x + m, ta có: a = 3>0,Δ = 36 - 12m

Để y' ≥ 0,∀x ∈ R khi Δ ≤ 0 ⇔ 36 - 12m ≤ 0 ⇔ m ≥ 3

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m ≥ 3

Câu 2: Tìm tập hợp tất cả các tham số thực của m để hàm số y = x³ - (m + 1) x²+3x+1 đồng biến trên khoảng (-∞;+∞).

Lời giải:

+ Tập xác định D = R.

      + Ta có y' = 3x² - 2(m + 1)x + 3.

      + Hàm số y = x³ - (m + 1) x² + 3x + 1 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)

   ⇔ y' ≥ 0,∀x∈R

    ⇔ Δ' ≤ 0 ⇔ (m + 1)² - 9 ≤ 0 ⇔ m² + 2m - 8 ≤ 0 ⇔ -4 ≤ m ≤2.

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là -4 ≤ m ≤ 2

Câu 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = đồng biến trên từng khoảng xác định.

Lời giải:

Ta có:

Theo yêu cầu bài toán, để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì

y'>0,∀ x ∈D ⇔ -m² + 6 > 0 ⇔ -√6<m<√6

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là -√6 < m < √6

Câu 4: Cho hàm số y=. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Lời giải:

TXĐ: D = R\{1}

      + Trường hợp 1: Khi m = -1, hàm số trở thành với mọix∈D

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

⇒ m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

      + Trường hợp 2: Khi m ≠ -1, ta có

Đặt g(x) = (m + 1) x² - 2(m + 1)x - 4m và ta có y' cùng dấu với g(x)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

    ⇔ ∀ x ∈ D,y' ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈D,g(x)≥0

Kết hợp cả 2 trường hợp, vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là

Câu 5: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = (mx + 5)/(x + 1)đồng biến trên từng khoảng xác định.

Lời giải:

Ta có:y'= . Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m > 5

Câu 6: Tìm giá trị của m để hàm số y = sin⁡x - mx nghịch biến trên R

Lời giải:

Ta có y' = cos⁡x - m.

Để hàm số nghịch biến trên R thì

y' ≤ 0 ∀ x ∈R ⇔ cosx - m ≤ 0 ∀ x ∈ R ⇔ cosx ≤ m ∀x∈R

Vì -1 ≤ cos⁡ x ≤ 1 nên để cosx ≤ m ∀x∈R thì m ≥ 1.

Câu 7: Cho m, n không đồng thời bằng 0. Tìm điều kiện của m, n để hàm số y = msinx - ncosx - 3x nghịch biến trên R.

Lời giải:

Ta có:

y' ≤ 0,∀x ∈ R ⇔ mcosx + nsinx - 3 ≤ 0,∀ x ∈ R ⇔√(m² + n² ) cos(x - α) ≤ 3,∀x∈R

Vậy để hàm số nghịch biến trên R thì m²+n²≤9

Câu 8: Tìm tham số m thì hàm số y = sinx - cosx + 2017√2 mx đồng biến trên R.

Lời giải:

Tính đạo hàm y' = cosx + sinx + 2017√2 m. y' ≥ 0 ⇔=f(x)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì (-sinx - cosx)² ≤ ((-1)² + (-1)² )(sin² x + cos² x) = 2

f(x) đạt giá trị lớn nhất là

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
• Trắc nghiệm Xét tính đơn điệu của hàm số
• Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đơn điệu
• Dạng 3: Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số
• Trắc nghiệm Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số
• Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l
• Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

---

---

---