Tìm tham số m để hàm số đơn điệu - Toán lớp 12



Tìm tham số m để hàm số đơn điệu

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Hàm đa thức bậc ba: y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)

⇒ f'(x)=3ax2+2bx+c

    Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R khi và chỉ khi Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R khi và chỉ khiToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

2. Hàm phân thức bậc nhất: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay ad-bc>0

   Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay ad-bc<0

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án đồng biến trên tập xác định.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R

      + Ta có: y'=x2+2(m+1)x-(m+1)

      + Δ'=(m+1)2+4(m+1)=m2+6m+5

      + Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   Vậy giá trị của tham số cần tìm là -5≤m≤-1

Ví dụ 2: Cho hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án. Tìm giá trị của m để hàm số luôn đồng biến trên R.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R

      + Đạo hàm y'≠(m2-m) x2+4mx+3

      + Hàm số luôn đồng biến trên R Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án y'≥0 ∀ x∈R

    Xét m2-m=0 ⇒ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   Với m=0 phương trình trở thành y=3x-1;y'=3>0 ∀x∈R

⇒ m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Với m=1 phương trình trở thành y=2x2+3x-1;y'=4x+3

    Khi đó y'>0Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án 4x+3>0Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án x<-3/4

⇒ m=1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Xét m2-m≠0 Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   Khi đó Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   Từ hai trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm là -3≤m<0

Ví dụ 3: Cho hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R\{m}

      + Đạo hàm Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án . Dấu của y' là dấu của biểu thức -m2-7m+8

      + Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án y'>0 ∀x∈D

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án -m2-7m+8>0 Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án -8<m<1

    Vậy giá trị m cần tìm là -8<m<1

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 2 đồng biến trên R.

+ Ta có: y '= 3x2 + 6x + m

      + Để hàm số đã cho đồng biến trên R thì y' ≥ 0,∀x ∈R

      + Yêu cầu bài toán trở thành tìm điều kiện của m để y' ≥ 0,∀x ∈R

Ta có y' = 3x2 + 6x + m, ta có: a = 3>0,Δ = 36 - 12m

Để y' ≥ 0,∀x ∈ R khi Δ ≤ 0 ⇔ 36 - 12m ≤ 0 ⇔ m ≥ 3

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m ≥ 3

Câu 2: Tìm tập hợp tất cả các tham số thực của m để hàm số y = x3 - (m + 1) x2+3x+1 đồng biến trên khoảng (-∞;+∞).

+ Tập xác định D = R.

      + Ta có y' = 3x2 - 2(m + 1)x + 3.

      + Hàm số y = x3 - (m + 1) x2 + 3x + 1 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)

   ⇔ y' ≥ 0,∀x∈R

    ⇔ Δ' ≤ 0 ⇔ (m + 1)2 - 9 ≤ 0 ⇔ m2> + 2m - 8 ≤ 0 ⇔ -4 ≤ m ≤2.

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là -4 ≤ m ≤ 2

Câu 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án đồng biến trên từng khoảng xác định.

Ta có: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Theo yêu cầu bài toán, để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì

y'>0,∀ x ∈D ⇔ -m2 + 6 > 0 ⇔ -√6<m<√6

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là -√6 < m < √6

Câu 4: Cho hàm số y=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

TXĐ: D = R\{1}

      + Trường hợp 1: Khi m = -1, hàm số trở thànhToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án với mọix∈D

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

⇒ m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

      + Trường hợp 2: Khi m ≠ -1, ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đặt g(x) = (m + 1) x2 - 2(m + 1)x - 4m và ta có y' cùng dấu với g(x)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

    ⇔ ∀ x ∈ D,y' ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈D,g(x)≥0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là -1 < m ≤ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Câu 5: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = (mx + 5)/(x + 1)đồng biến trên từng khoảng xác định.

Ta có:y'= Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án . Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m > 5

Câu 6: Tìm giá trị của m để hàm số y = sin⁡x - mx nghịch biến trên R

Ta có y' = cos⁡x - m.

Để hàm số nghịch biến trên R thì

y' ≤ 0 ∀ x ∈R ⇔ cosx - m ≤ 0 ∀ x ∈ R ⇔ cosx ≤ m ∀x∈R

Vì -1 ≤ cos⁡ x ≤ 1 nên để cosx ≤ m ∀x∈R thì m ≥ 1.

Câu 7: Cho m, n không đồng thời bằng 0. Tìm điều kiện của m, n để hàm số y = msinx - ncosx - 3x nghịch biến trên R.

Ta có:

y' ≤ 0,∀x ∈ R ⇔ mcosx + nsinx - 3 ≤ 0,∀ x ∈ R ⇔√(m2 + n2 ) cos(x - α) ≤ 3,∀x∈R

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánVậy để hàm số nghịch biến trên R thì m2+n2≤9

Câu 8: Tìm tham số m thì hàm số y = sinx - cosx + 2017√2 mx đồng biến trên R.

Tính đạo hàm y' = cosx + sinx + 2017√2 m. y' ≥ 0 ⇔Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án=f(x)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì (-sinx - cosx)2 ≤ ((-1)2 + (-1)2 )(sin2 x + cos2 x) = 2

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

f(x) đạt giá trị lớn nhất là Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


tinh-don-dieu-cua-ham-so.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác