Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia. Xem ngay!

Tìm tham số m để hàm số đơn điệu - Toán lớp 12



Tìm tham số m để hàm số đơn điệu

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Hàm đa thức bậc ba: y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)

⇒ f'(x)=3ax2+2bx+c

    Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R khi và chỉ khi Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R khi và chỉ khiToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

2. Hàm phân thức bậc nhất: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay ad-bc>0

   Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay ad-bc<0

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án đồng biến trên tập xác định.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R

      + Ta có: y'=x2+2(m+1)x-(m+1)

      + Δ'=(m+1)2+4(m+1)=m2+6m+5

      + Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   Vậy giá trị của tham số cần tìm là -5≤m≤-1

Ví dụ 2: Cho hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án. Tìm giá trị của m để hàm số luôn đồng biến trên R.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R

      + Đạo hàm y'≠(m2-m) x2+4mx+3

      + Hàm số luôn đồng biến trên R Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án y'≥0 ∀ x∈R

    Xét m2-m=0 ⇒ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   Với m=0 phương trình trở thành y=3x-1;y'=3>0 ∀x∈R

⇒ m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Với m=1 phương trình trở thành y=2x2+3x-1;y'=4x+3

    Khi đó y'>0Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án 4x+3>0Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án x<-3/4

⇒ m=1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Xét m2-m≠0 Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   Khi đó Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   Từ hai trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm là -3≤m<0

Ví dụ 3: Cho hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R\{m}

      + Đạo hàm Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án . Dấu của y' là dấu của biểu thức -m2-7m+8

      + Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án y'>0 ∀x∈D

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án -m2-7m+8>0 Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án -8<m<1

    Vậy giá trị m cần tìm là -8<m<1

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 2 đồng biến trên R.

+ Ta có: y '= 3x2 + 6x + m

      + Để hàm số đã cho đồng biến trên R thì y' ≥ 0,∀x ∈R

      + Yêu cầu bài toán trở thành tìm điều kiện của m để y' ≥ 0,∀x ∈R

Ta có y' = 3x2 + 6x + m, ta có: a = 3>0,Δ = 36 - 12m

Để y' ≥ 0,∀x ∈ R khi Δ ≤ 0 ⇔ 36 - 12m ≤ 0 ⇔ m ≥ 3

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m ≥ 3

Câu 2: Tìm tập hợp tất cả các tham số thực của m để hàm số y = x3 - (m + 1) x2+3x+1 đồng biến trên khoảng (-∞;+∞).

+ Tập xác định D = R.

      + Ta có y' = 3x2 - 2(m + 1)x + 3.

      + Hàm số y = x3 - (m + 1) x2 + 3x + 1 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)

   ⇔ y' ≥ 0,∀x∈R

    ⇔ Δ' ≤ 0 ⇔ (m + 1)2 - 9 ≤ 0 ⇔ m2> + 2m - 8 ≤ 0 ⇔ -4 ≤ m ≤2.

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là -4 ≤ m ≤ 2

Câu 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án đồng biến trên từng khoảng xác định.

Ta có: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Theo yêu cầu bài toán, để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì

y'>0,∀ x ∈D ⇔ -m2 + 6 > 0 ⇔ -√6<m<√6

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là -√6 < m < √6

Câu 4: Cho hàm số y=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

TXĐ: D = R\{1}

      + Trường hợp 1: Khi m = -1, hàm số trở thànhToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án với mọix∈D

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

⇒ m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

      + Trường hợp 2: Khi m ≠ -1, ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đặt g(x) = (m + 1) x2 - 2(m + 1)x - 4m và ta có y' cùng dấu với g(x)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

    ⇔ ∀ x ∈ D,y' ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈D,g(x)≥0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là -1 < m ≤ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Câu 5: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = (mx + 5)/(x + 1)đồng biến trên từng khoảng xác định.

Ta có:y'= Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án . Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m > 5

Câu 6: Tìm giá trị của m để hàm số y = sin⁡x - mx nghịch biến trên R

Ta có y' = cos⁡x - m.

Để hàm số nghịch biến trên R thì

y' ≤ 0 ∀ x ∈R ⇔ cosx - m ≤ 0 ∀ x ∈ R ⇔ cosx ≤ m ∀x∈R

Vì -1 ≤ cos⁡ x ≤ 1 nên để cosx ≤ m ∀x∈R thì m ≥ 1.

Câu 7: Cho m, n không đồng thời bằng 0. Tìm điều kiện của m, n để hàm số y = msinx - ncosx - 3x nghịch biến trên R.

Ta có:

y' ≤ 0,∀x ∈ R ⇔ mcosx + nsinx - 3 ≤ 0,∀ x ∈ R ⇔√(m2 + n2 ) cos(x - α) ≤ 3,∀x∈R

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánVậy để hàm số nghịch biến trên R thì m2+n2≤9

Câu 8: Tìm tham số m thì hàm số y = sinx - cosx + 2017√2 mx đồng biến trên R.

Tính đạo hàm y' = cosx + sinx + 2017√2 m. y' ≥ 0 ⇔Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án=f(x)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì (-sinx - cosx)2 ≤ ((-1)2 + (-1)2 )(sin2 x + cos2 x) = 2

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

f(x) đạt giá trị lớn nhất là Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 99K tại khoahoc.vietjack.com


tinh-don-dieu-cua-ham-so.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác