Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia chỉ 399k, tại khoahoc.vietjack.com. Xem ngay Xem ngay!

Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thoả mãn điều kiện - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Tương giao của đồ thị hàm số

Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thoả mãn điều kiện

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Về phương trình

Phương trình bậc hai y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)

- Định lí Viette: Nếu phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thì ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   - Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0

   - Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   - Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   - Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác xo khi và chỉ khi Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   - Các công thức cần nhớ

Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm: Với 2 điểm A(x1 , y1) và B(x2 , y2) tùy ý ta có:

AB=√((x2 -x1 )2 +(y2 - y1)2 )

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cho trước: Khoảng cách từ điểm M(xo , yo) đến đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 được tính theo công thức

d(M,Δ)= |Axo + Byo + C|/√(A2 + B2 )

Diện tích tam giác: Trong một tam giác bất kỳ, ta có:

S = (1/2)aha = (1/2)bhb = (1/2)chc = abc/4R = pr

Trong đó:

    a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác và p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi.

    ha, hb, hc là độ dài của đường cao tương ứng với các cạnh a,b,c.

    R,r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác.

    Phương trình đường thẳng Δ đi qua A(a; b) và có hệ số góc k cho trước có dạng y = k(x - a) + b

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 - (3m + 2)x2 + 3m (m là tham số) có đồ thị (Cm). Tìm m để đường thẳng d:y=-1 cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng d

x4 - (3m + 2)x2 + 3m = -1 ⇔ x4 - (3m + 2)x2 + 3m + 1 = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Để d cắt (Cm) tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy tập hợp các giá trị của tham số m cần tìm là m = (-1/3; 1)\\{0}

Ví dụ 2: Cho đồ thị (C):y = (mx - 1)/(x + 2) và đường thẳng d: y = 2x - 1. Xác định giá trị của tham số m để (C) cắt d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=√10

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm (mx - 1)/(x + 2) = 2x - 1 (1)

Điều kiện x ≠ -2

Khi đó (1) ⇔ mx - 1 = (2x - 1)(x + 2)

⇔ 2x2 - (m - 3)x - 1 = 0 (2)

(d) cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác -2

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đặt A(x1 ; 2x1 - 1); B(x2 ; 2x2 - 1) với x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình (2)

Theo định lí Vi ét ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khi đó AB = √((x1 - x2)2 + 4(x1 - x2)2 ) = √10 ⇔ 5[(x1 + x2 )2 - 4x1 x2 ] = 10

⇔ ((m - 3)/2)2 + 2 = 2

⇔ m = 3 (thỏa mãn)

Vậy giá trị cần tìm là m = 3

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 - 2x2 + (1 - m)x + m có đồ thị (Cm). Xác định tất cả các giá trị của tham số m để (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 ,x2 ,x3 thỏa mãn x12 +x22 +x32 =4.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:

x3 - 2x2 +(1 - m)x + m = 0 ⇔ (x - 1)(x2 - x - m) = 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

(Cm) cắt Ox tại ba điểm phân biệt ⇔ phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi x1 = 1 còn x2 ,x3 là nghiệm phương trình g(x) = 0 nên theo Viet ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy x12 + x22 + x32 = 4 ⇔ 1+(x2 +x3)2 -2x2 x3=4

⇔ 1 + 12 + 2m = 4 ⇔ 2m - 2 = 0 ⇔ m = 1

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 1 cắt đồ thị (H):y= (x + 1)/(x - 1) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (H).

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H): (x + 1)/(x - 1) = mx + 1

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi A(x1;y1 ); B(xx2; yx2) lần lượt là giao điểm của (d) và (H) thì ta có x1, xx2 là các nghiệm của phương trình f(x) = 0. Đồng thời do A, B thuộc hai nhánh của đồ thị (H) nên ta phải có x1 < 1 < xx2 ⇔ (x1 - 1)(xx2 - 1) < 0

Khi đó f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x1, xx2 thỏa mãn (x1 - 1)(xx2-1) < 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là m = (0; +∞)

Câu 2: Cho hàm số y = x3-3x2+(m-1)x+1 có đồ thị (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) cắt đường thẳng d: y = -x + 1 tại ba điểm A(0; 1),B,C sao cho BC = √10

Phương trình hoành độ giao điểm x3 - 3x2 + (m - 1)x + 1 = x + 1 (1) ⇔ x(x2 - 3x + m - 2) = 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

(Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ⇔ (1) có ba nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đặt B(x1; x1 + 1); C(xx2; xx2 + 1) với x1, xx2 là hai nghiệm của cuả phương trình (2)

Theo định lí Vi ét ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ 9 - 4(m - 2) = 5 ⇔ m = 3 (thỏa mãn)

Vậy giá trị m cần tìm là m = 3

Câu 3: Cho hàm số y = (2x+1)/(x+1) (C). Tìm k để đường thẳng d: y = kx + 2k + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: (2x + 1)/(x + 1) = kx + 2k + 1 (1)

Điều kiện xác định x ≠ -1

Khi đó phương trình (1) ⇔ 2x + 1 = (x + 1)(kx + 2k + 1 )

⇔ kx2+(3k - 1)x + 2k = 0 (2) d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác -1

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khi đó đặt A(x1; kx1 + 2k + 1);B(xx2; kxx2 + 2k + 1) với x1, xx2 là hai nghiệm của cuả phương trình (2)

Theo định lí Vi ét ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có d(A; Ox) = d(B; Ox) ⇔ |kx1 + 2k + 1| = |kxx2 + 2k + 1|

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ k(x1+ xx2) + 4k + 2 = 0 ⇔ k = -3

Vậy k = -3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 4: Cho hàm số y = (2x+1)/(x+1) (C). Tìm m để đường thẳng d: y = -2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích là √3

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: (2x + 1)/(x + 1) = -2x + m (1)

Điều kiện xác định x ≠ -1

Khi đó phương trình (1) ⇔ 2x + 1 = (x + 1)(-2x + m )

⇔ 2x2 + (4 - m)x + 1 - m = 0 (2) d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác -1

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Suy ra d luôn cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi m.

Gọi A(x1,y1 ),B(xx2,yx2 ) trong đó y1 = -2x1 + m; yx2 = -2xx2 + m và x1, xx2 là các nghiệm của (2).

Theo định lí Vi ét ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tính được : Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy các giá trị m cần tìm là m = 2; m = -2

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y = x - 2m cắt đồ thị hàm số y= (x - 3)/(x + 1) (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.

Phương trình hoành độ giao điểm (x - 3)/(x + 1) = x - 2m (x ≠ -1)

⇔ x - 3 = (x - 2m)(x + 1) ⇔ x2 - 2mx - 2m + 3 = 0 (*)

Yêu cầu bài toán ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy giá trị tham số m cần tìm là 1 < m < 3/2

Câu 6: Tìm m, n để đường thẳng d: y = mx + 3n - 9 cắt đồ thị (H) của hàm số y = (3x + 1)/(x - 1) tại hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua gốc tọa độ O.

Do A, B đối xứng qua O nên đường thẳng d phải đi qua O tức là 3n - 9 = 0⇔ n = 3

Khi đó phương trình đường thẳng d viết được dưới dạng y = mx

Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và d:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình f(x)=0 phải có hai nghiệm phân biệt x1,xx2 khác 1.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Mặt khác do A, B đối xứng qua O nên ta có x1+xx2=0⇔ (m + 3)/m = 0⇔ m = -3(loại)

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 7: Tìm m để đường thẳng d: y = x - m cắt đồ thị (Cm): y = x3 + 3x2 + mx - 3(m là tham số) tại ba điểm phân biệt x1,2,3 sao cho biểu thức T = 2(x12 + 22 + 32 ) + 3x12 2232 - 5 đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm ):

x3 + 3x2 + mx - 3 = x - m ⇔ x3 + 3x2 + (m - 1)x + m - 3 = 0

⇔ (x + 1)(x2 + 2x + m - 3) = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Để d cắt (Cm ) tại ba điểm phân biệt thì phương trình f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x1,xx2 khác -1 (ta đặt x1 = -1)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Theo định lí Vi ét ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do đó T = 2(x12 + xx22 + xx32) + 3x12xx22xx32 - 5 = 2(1 + xx22 + xx32 ) + 3xx22xx32 - 5

= 2 + 2[(xx2 + xx3)2 - 2xx2xx3] + 3xx22xx32-5 = 2 + 2[4 - 2(m - 3)] + 3(m - 3)2 - 5

= 3m2 - 22m + 44 = 3(m - 11/3)2 + 11/3 ≥ 11/3

Dấu bằng xảy ra khi m = 11/3. Vậy ta có min⁡T = 11/3 và m = 11/3 là giá trị cần tìm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com


tuong-giao-cua-do-thi-ham-so.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác