Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là một điểm mà khi lấy đối xứng qua điểm đó, mọi điểm trên đồ thị đều có điểm đối xứng cũng nằm trên đồ thị đó.

Ví dụ: Điểm O được gọi là tâm đối xứng của đồ thị hàm số dưới đây:

* Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số

+ Đồ thị hàm số bậc ba: f(x)= ax³ + bx² + cx + d (a khác 0).

Bước 1: Tính đạo hàm cấp hai f”(x).

Bước 2: Giả sử phương trình f”(x) = 0 có nghiệm là x₀.

Bước 3: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a khác 0) có tọa độ (x₀; f(x₀)).

+ Đồ thị hàm số phân thức $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}(c\ne 0,x\ne \frac{-d}{c})$.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}(c\ne 0,x\ne \frac{-d}{c})$ có tiệm cận đứng là x = x₀ và tiệm cận ngang y = y₀ thì tâm đối xứng có tọa độ (x₀; y₀).

+ Đồ thị hàm số phân thức $f\left(x\right)=\frac{a{x}^2+\mathrm{bx+c}}{\mathrm{mx}+n}(a,m\ne 0;x\ne \frac{-n}{m})$.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.

Đồ thị của hàm số $f\left(x\right)=\frac{a{x}^2+\mathrm{bx+c}}{\mathrm{mx}+n}(a,m\ne 0;x\ne \frac{-n}{m})$ có tiệm cận đứng là x = x₀ và tiệm cận xiên y = ux + p thì tâm đối xứng có tọa độ (x₀; ux₀ + p).

2. Ví dụ minh họa về cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Ví dụ 1. Tìm tâm đối xứng của các đồ thị hàm số:

a) y = 4x³ + 3x + 1.

b) y = –4x³ + 6x².

Hướng dẫn giải

a) Ta có: y’ = 12x² + 3, y” = 24x = 0 $\iff$ x = 0. Với x = 0 thì y =1.

Vậy I(0; 1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = 4x³ + 3x + 1.

b) Ta có: y’ = –12x² + 12x, y” = -24x + 12 = 0 ⇔ x = $\frac{1}{2}$. Với x = $\frac{1}{2}$ thì y = $1$.

Vậy $I\left(\frac{1}{2};1\right)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = –4x³ + 6x².

Ví dụ 2. Tìm tâm đối xứng của các đồ thị hàm số:

a) y = $\frac{1-x}{x\mathrm{+5}}$.

b) y = $\frac{x^2\mathrm{+2}x\mathrm{+5}}{x}$.

Hướng dẫn giải

a) Đồ của thị hàm số y = $\frac{1-x}{x+5}$ có tiệm cận đứng là x = –5 và tiệm cận ngang là y = –1. Do đó, điểm I(–5; –1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = $\frac{1-x}{x\mathrm{+5}}$.

b) Đồ thị của hàm số y = $\frac{x^2\mathrm{+2}x\mathrm{+5}}{x}$ có tiệm cận đứng là x = 0 và tiệm cận xiên là y = x + 2.

Thay x = 0 vào y = x + 2 ta có y = 2.

Do đó, điểm I (0; 2) là là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = $\frac{x^2\mathrm{+2}x\mathrm{+5}}{x}$.

Ví dụ 3. Cho đồ thị hàm số (C): y = x³ + mx² + 6. Biết rằng tâm đối xứng của (C) có hoành độ bằng 1. Tìm m.

Hướng dẫn giải

Ta có: y’ = 3x² + 2mx, y” = 6x + 2m = 0 $\iff$ x$=\frac{-m}{3}$.

Vì tâm đối xứng của (C) có hoành độ bằng 1 nên $\frac{-m}{3}=1\iff$ m = –3.

Vậy m = –3 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3. Bài tập về cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Bài 1. Tìm tâm đối xứng của các đồ thị hàm số sau:

a) y = $\frac{-1}{13}$x³ + 2x² + x + 1.

b) y = 2x³ – 4x + 1.

c) y = $\frac{x-5}{4x\mathrm{+1}}$.

d) y = $\frac{-2x^2+x-1}{2-x}$

e) y = $\frac{x^2-x+5}{3x-1}$

Bài 2. Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số y = $\frac{-1}{13}$x³ + 3mx² + 7 có tâm đối xứng là một điểm có hoành độ âm.

Bài 3. Cho đồ thị hàm số (C): y $=\frac{mx\mathrm{+2}}{nx\mathrm{+1}}$. Biết rằng (C) có tâm đối xứng là điểm I(–1; 2). Tính m + n.

Bài 4. Cho 2 đồ thị hàm số (C): y $=\frac{x^2\mathrm{+2}x-5}{x\mathrm{+1}}$ và (P): y = mx³ + 3(m + 1)x + m – 2. Tìm m để tâm đối xứng của (C) thuộc đồ thị hàm số (P).

Bài 5. Tìm m để tâm đối xứng của 2 đồ thị hàm số (C): y = x³ + (m – 2)x² + x – 1 và (P): y $=\frac{4x-1}{x-5}$ có cùng hoành độ.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian Oxyz lớp 12

• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn lớp 12

• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số lớp 11

• Phần bù của hai tập hợp lớp 10

• Định nghĩa tập giá trị của hàm số lớp 10

---