Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Trong mặt phẳng Oxyz, cho mặt phẳng ($\alpha$) không đi qua gốc tọa độ O và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c $\ne$ 0) có phương trình là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.$

2. Ví dụ minh họa về phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; 9).

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; 9) là:

$\frac{x}{1}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1$ hay 18x + 3y + 2z – 18 = 0.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: 18x + 3y + 2z – 1 = 0.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A(1; 0; 0), B(0; –2; 0), C(0; 0; 2). Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A(1; 0; 0), B(0; –2; 0), C(0; 0; 2) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

$\frac{x}{1}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{2}=1$ hay 2x – y + z – 2 = 0.

Ta có: d(O; (P)) = $\frac{|2·0-1·0+1·0-2|}{\sqrt{1^2+{(-2)}^2+2^2}}=\frac{2}{3}$

Vậy khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{2}{3}$.

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) đi qua điểm N(2; 4; 6) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho OA = 2OB = 3OC. Viết phương trình mặt phẳng (Q).

Hướng dẫn giải

Vì mặt phẳng (Q) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho OA = 2OB = 3OC nên A(a; 0; 0), B(0; 2a; 0), C(0; 0; 3a).

Phương trình mặt phẳng (Q) theo đoạn chắn là:$\frac{x}{a}+\frac{y}{2a}+\frac{z}{3a}=1.$

Vì N(2; 4; 6) thuộc mặt phẳng (Q) nên ta có: $\frac{2}{a}+\frac{4}{2a}+\frac{6}{3a}=1\iff \frac{6}{a}=1\iff a=6.$

Do đó, phương trình mặt phẳng (Q) là: $\frac{x}{6}+\frac{y}{12}+\frac{z}{18}=1$.

Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: $\frac{x}{6}+\frac{y}{12}+\frac{z}{18}=1.$

3. Bài tập về phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Bài 1. Cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0; a; 0), B(0; 3a; 0), C(0; 0; 4a). Biết rằng điểm N(1; 2; –1) thuộc mặt phẳng (P). Tìm a.

Bài 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (M) đi qua điểm G(1; 3; 2) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác gốc O) sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng (M).

Bài 3. Cho điểm P(2; –1; 4). Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm là hình chiếu vuông góc của P trên các trục tọa độ.

Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (Q) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; –3). Tính thể tích tứ diện O.ABC.

Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng (K) đi qua điểm A(1; 3; 5) lần lượt cắt các trục Ox, Oy, Oz tại M, N, P sao cho hình chóp O.MNP đều.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số lớp 11

• Phần bù của hai tập hợp lớp 10

• Định nghĩa tập giá trị của hàm số lớp 10

• Sơ đồ tư duy bài dấu của tam thức bậc 2 lớp 10

• Định lý cosin trong tam giác lớp 10

---