Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x₀, khi đó:

+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x₀ là: k = f’(x₀).

+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm x₀ là: k = f’(x₀)(x – x₀) + f(x₀).

2. Ví dụ minh họa về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ + 2x + 1 tại điểm A(1; 4).

Hướng dẫn giải

Ta có: y’ = 3x² + 2. Do đó, y’(1) = 3.1² + 2 = 5.

Do đó, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(1; 4) là:

y = y’(1)(x – 1) + y(1) = 5(x – 1) + 4 = 5x – 4.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5x – 4.

Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² + 3x – 1 tại điểm có hệ số góc bằng 3.

Hướng dẫn giải

Ta có: y’ = 2x + 3.

Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc bằng 3 nên 2x + 3 = 3, suy ra x = 0.

Với x = 0 thì y = –1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² + 3x – 1 tại điểm có hệ số góc bằng 3 là: y = 3(x – 0) – 1 = 3x – 1.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 3x – 1.

Ví dụ 3. Cho hàm số y = $\frac{2x-m}{x+1}$ (C). Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ bằng –2 đi qua điểm A(1; 2).

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{\prime }=\frac{2+m}{{x+1}^2}$ nên y’(–2) = m + 2.

Với x = –2 thì y = 4 + m.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng –2 là:

y = (m + 2)(x + 2) + 4 + m (d).

Vì (d) đi qua điểm A(1; 2) nên ta có: 2 = (m + 2)(1 + 2) + 4 + m, suy ra 4m + 10 = 2, hay m = –2.  

Vậy m = –2 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3. Bài tập về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài 1. Cho đồ thị hàm số (C): y = x² + 3x – 1. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) trong các trường hợp sau:

a) Tại điểm có tung độ bằng –1.

b) Tại điểm có hoành độ bằng 3.

c) (d) đi qua điểm (1; 2).

Bài 2. Cho đồ thị hàm số (C): y = x³ + 3x² + 6x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) trong các trường hợp sau:

a) (d) có hệ số góc bằng 6.

b) (d) song song với đường thẳng d’: y = 3x + 2.

c) (d) vuông góc với đường thẳng d’: y = $\frac{-1}{15}x+5$.

Bài 3. Gọi B là giao điểm của hai đường thẳng (d): y = –2x + 1 và (d’): y = x – 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 3x² + 2x + 5 tại điểm có hoành độ bằng hoành độ của B.

Bài 4. Cho đồ thị hàm số (C): y = –x³ + 3x² + 6x – 1. Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với trục tung và trục hoành. Tính diện tích tam giác AOB.

Bài 5. Cho đồ thị hàm số (C): y = $\frac{x+1}{x+3}$. Gọi K là một điểm thuộc (C) sao cho khoảng cách từ K đến trục hoành bằng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm K.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Phần bù của hai tập hợp lớp 10

• Định nghĩa tập giá trị của hàm số lớp 10

• Sơ đồ tư duy bài dấu của tam thức bậc 2 lớp 10

• Định lý cosin trong tam giác lớp 10

• Hợp của hai tập hợp lớp 10

---