Định lý cosin trong tam giác lớp 10 (chi tiết nhất)

Bài viết Định lý cosin trong tam giác lớp 10 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Định lý cosin trong tam giác.

Định lý cosin trong tam giác lớp 10 (chi tiết nhất)

1. Định lý cosin trong tam giác

Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c, ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA

b² = a² + c² – 2ac.cosB

c² = a² + b² – 2ab.cosC

2. Ví dụ minh họa về định lý cosin trong tam giác

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm và $\hat{A}=60°$.

a) Tính độ dài cạnh BC.

b) Tính số đo góc B (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ).

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng định lý cosin vào tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA = 6² + 8² – 2.6.8.cos60^o = 52

Vậy BC = $2\sqrt{13}$ cm.

b) Ta có: $\cos \hat{B}=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2·AB·BC}=\frac{6^2+52-8^2}{2·6·2\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$. Vậy $\hat{B}\approx 73,9°$.

Ví dụ 2. Hai máy bay cùng xuất phát từ một sân bay A và bay theo hai hướng khác nhau, tạo với nhau góc 70 độ. Máy bay thứ nhất bay với vận tốc 600 km/h, máy bay thứ hai bay với vận tốc 800 km/h. Sau 2 giờ, hai máy bay cách nhau bao nhiêu km (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng cả hai máy bay bay theo đường thẳng và sau 2 giờ bay đều chưa hạ cánh.

Hướng dẫn giải

Sau 2 giờ, máy bay thứ nhất ở vị trí B, máy bay thứ hai ở vị trí C.

Ta có: AB = 2. 600 = 1200 km, AC = 2. 800 = 1600 km.

Ta có hình vẽ:

Áp dụng định lý cosin vào tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA = 1200² + 1600² – 2.1200.1600.cos70^o.

Do đó, BC $\approx$ 1639 (km).

Vậy sau hai giờ bay, hai máy bay cách nhau khoảng 1639 km.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Biết rằng BC = 6 cm, MN = 5 cm và $\hat{C}$= $60°$. Tính độ dài cạnh AB.

Hướng dẫn giải

Ta có: BN $=\frac{1}{2}$BC = 3 (cm).

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, $\widehat{\text{BNM}}$= $\hat{C}$= $60°$.

Áp dụng định lý cosin vào tam giác BMN ta có:

BM² = BN² + MN² – 2BN.MN.cos$\widehat{\text{BNM}}$= 3² + 5² – 2.3.5.cos60^o = 19

Vậy AB $=2\sqrt{19}$ cm.

3. Bài tập về định lý cosin trong tam giác

Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 12 cm, $\hat{A}=45°$. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc còn lại của tam giác ABC.

Bài 2. Một tam giác có độ dài ba cạnh là 5 cm, 6 cm, 7 cm. Tính góc nhỏ nhất của tam giác đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của độ).

Bài 3. Cho $\widehat{\text{mOn}}$= $45°$. Gọi A, B lần lượt là 2 điểm di động lần lượt trên Om, On sao cho AB = 6 cm. Độ dài lớn nhất của OB bằng bao nhiêu cm?

Bài 4. Cho tam giác ABC thỏa mãn a2 + b2 = c2 + $\sqrt{2}$ab. Tính số đo góc A của tam giác ABC.

Bài 5. Khoảng cách từ A đến C không thể đo trực tiếp vì phải đi qua một đầm lầy nên người ta làm như sau: Xác định một điểm B sao cho AB = 6 m và đo được $\widehat{\text{ACB}}=42°$. Hãy tính khoảng cách AC biết rằng BC = 2,5 m.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 sách mới hay, chi tiết khác:

• Hợp của hai tập hợp lớp 10

• Khái niệm hai góc phụ nhau lớp 9

• Định lý Thalès trong tam giác là gì lớp 8

• Tính chất hình vuông lớp 8

• Khái niệm đơn thức lớp 8

---