Cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian Oxyz lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian Oxyz lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian Oxyz.

Cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian Oxyz lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian Oxyz

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ đi qua điểm Mo và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ thì khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là:

2. Ví dụ minh họa về cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian Oxyz

Ví dụ 1. Cho đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có một véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(0;1;2\right).$ Tính khoảng cách từ điểm M(1; 3; 10) đến đường thẳng d.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{\text{AM}}=\left(0;1;7\right).$ Do đó, $\left[\overrightarrow{\text{AM}},\overrightarrow{u}\right]$ = (–5; 0; 0).

Do đó, d(M, d)$=\frac{\left|\left[\overrightarrow{\text{AM}},\overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\frac{\sqrt{{(-5)}^2+0^2+0^2}}{\sqrt{0^2+1^2+2^2}}=\sqrt{5}.$

Vậy khoảng cách từ điểm M(1; 3; 10) đến đường thẳng d bằng $\sqrt{5}.$

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng d:$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; –1; 2) và có 1 véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;2;1\right).$

Ta có: $\overrightarrow{\text{AM}}=(0;-2;1).$ Do đó, $\left[\overrightarrow{\text{AM}},\overrightarrow{u}\right]$ = (–4; 2; 4).

Do đó, d(M, d)$=\frac{\left|\left[\overrightarrow{\text{AM}},\overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\frac{\sqrt{{(-4)}^2+2^2+4^2}}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=2.$

Vậy khoảng cách từ điểm A(1; 1; 1) đến đường thẳng d bằng 2.

Ví dụ 3. Cho đường thẳng d đi qua điểm N(1; 3; 2). Biết rằng, đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): x + 4y + 5z – 1 = 0. Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 6) đến đường thẳng d.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (1; 4; 5).

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d nhận được một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{n}$ = (1; 4; 5).

Ta có: $\overrightarrow{\text{NM}}$ = (0; –1; 4), $\left[\overrightarrow{\text{NM}},\overrightarrow{n}\right]$ = (–21; 4; 1).

Do đó, d(M, d)$=\frac{\left|\left[\overrightarrow{\text{NM}},\overrightarrow{n}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\sqrt{{(-21)}^2+4^2+1^2}}{\sqrt{1^2+4^2+5^2}}=\frac{\sqrt{4809}}{21}.$

Vậy khoảng cách từ điểm M(1; 2; 6) đến đường thẳng d bằng $\frac{\sqrt{4809}}{21}.$

3. Bài tập về cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian Oxyz

Bài 1.

a) Tính khoảng cách từ điểm A(1; 2; 4) đến đường thẳng $d:\frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{-1}$.

b) Tính khoảng cách từ điểm B(1; –2; 1) đến đường thẳng d: $\{\begin{array}{c}x=t\mathrm{+1}\\ y=2t\mathrm{+3}\\ z=-t\mathrm{+7}\end{array}.$

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 3) và điểm B(2; 1; 4) và đường thẳng d:$\frac{x-1}{2}=\frac{y+4}{5}=\frac{z}{1}$ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Tính diện tích tam giác AHB.

Bài 3. Cho điểm M thuộc đường thẳng d: $\{\begin{array}{c}x=-t\mathrm{+1}\\ y=2t-3\\ z=t\mathrm{+2}\end{array}.$ Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d₁: $\frac{x-2}{-4}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{-1}$ bằng 5.

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 3; 0) và đường thẳng d: $\frac{x}{1}=\frac{y-n}{2}=\frac{z+1}{1}$ (m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của m để khoảng cách từ A đến đường thẳng d bằng 3.

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – z – 2 = 0, A(1; 0; –2), B(1; –1; 2), đường thẳng d đi qua A, song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn lớp 12

• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số lớp 11

• Phần bù của hai tập hợp lớp 10

• Định nghĩa tập giá trị của hàm số lớp 10

• Sơ đồ tư duy bài dấu của tam thức bậc 2 lớp 10

---