Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia chỉ 199k, tại khoahoc.vietjack.com. Xem ngay Xem ngay!

Điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Điểm thuộc đồ thị

Điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (Cm) có phương trình y = f(x, m), trong đó f là hàm đa thức theo biến x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Hãy tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m thay đổi?

Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa phương trình y=f(x, m) về dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau:

Am+B=0 hoặc Am2 +Bm+C=0.

Bước 2: Cho các hệ số bằng 0, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bước 3: Kết luận

Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (Cm) không có điểm cố định.

Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (Cm).

2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:

Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) (hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có tọa độ nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên.

Phương pháp giải:

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.

Bước 2: Lí luận để giải bài toán.

3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x). Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thẳng.

Bài toán 1: Cho đồ thị (C): y = Ax3 + Bx2 + Cx + D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua điểmI(xI, yI).

Phương pháp giải:

Gọi M(a; Aa3 + Ba2 + Ca + D), N(b; Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua điểm I.

Ta có: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đó tìm được toạ độ M, N.

Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị (C):y = Ax3 + Bx2 + Cx + D. Trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

Phương pháp giải:

Gọi M(a, Aa3 + Ba2 + Ca + D), N(b, Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

Ta có: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Giải hệ phương trình tìm đượca,b từ đó tìm được toạ độ M,N.

Bài toán 3: Cho đồ thị (C):y = Ax3 + Bx2 + Cx + D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:y=A1x + B1.

Phương pháp giải:

Gọi M(a; Aa3 + Ba2 + Ca + D),N(b; Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua đường thẳng d.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án (với I là trung điểm của MN và u ⃗_d là vectơ chỉ phương của đường thẳng d).

Giải hệ phương trình tìm được M, N.

Bài toán tìm điểm đặc biệt khác:

Lí thuyết:

Cho hai điểm P(x1; y1); Q(x2; y2 ) ⇒ PQ=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án.

Cho điểm M(xo; yo ) và đường thẳng d: Ax + By + C = 0, thì khoảng cách từ M đến d là h(M;d)=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án.

Khoảng cách từ M(xo; yo ) đến tiệm cận đứng x = a là h = |xo - a|.

Khoảng cách từ M(xo; yo )đến tiệm cận ngang y = b là h = |yo - b|.

Chú ý: Những điểm cần tìm thường là hai điểm cực đại, cực tiểu hoặc là giao của một đường thẳng với một đường cong (C) nào đó. Vì vậy trước khi áp dụng công thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tại rồi tìm tọa độ của chúng.

Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho hàm số y = (ax + b)/(cx + d) (c ≠ 0,ad - bc ≠ 0) có đồ thị (C). Hãy tìm trên (C) hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất.

Phương pháp giải:

(C) có tiệm cận đứng x = -d/c do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số α,β là hai số dương.

Nếu A thuộc nhánh trái thì xA < -d/c ⇒ xA = -d/c - α < -d/c; yA = f(xA).

Nếu B thuộc nhánh phải thì xB > -d/c ⇒ xB = -d/c + β > - d/c; yB = f(xB).

Sau đó tính AB2 =(xB - xA )2 + (yB - yA)2 =[(a + β) - (a - α)]2 +(yB - yA)2 .

Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta sẽ tìm ra kết quả.

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f(x). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

Gọi M(x;y)và tổng khoảng cách từ Mđến hai trục tọa độ là d thì d = |x| + |y|.

Xét các khoảng cách từ Mđến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung.

Sau đó xét tổng quát, những điểm Mcó hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.

Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của d.

Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình y = f(x). Tìm điểm Mtrên (C) sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng klần khoảng cách từ M đến trụcOy.

Phương pháp giải:

Theo đầu bài ta có |y| = k|x| ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f(x) = (ax + b)/(cx + d) (c ≠ 0, ad - bc ≠ 0). Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài MIngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận).

Phương pháp giải:

Tiệm cận đứng x = (-d)/c; tiệm cận ngang y = a/c.

Ta tìm được tọa độ giao điểm I((-d)/c;a/c)của hai tiệm cận.

Gọi M(xM; yM) là điểm cần tìm. Khi đó:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả.

Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f(x) và đường thẳng d:Ax+By+C=0. Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất.

Phương pháp giải

Gọi I thuộc (C) ⇒ I(xo; yo ); yo = f(xo).

Khoảng cách từ I đến d là g(xo) = h(I;d) = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khảo sát hàm số y = g(x) để tìm ra điểm I thỏa mãn yêu cầu.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Đồ thị của hàm số y = (m - 1)x + 3 - m (m là tham số) luôn đi qua một điểm Mcố định.

Tìm điểm M cố định đó.

Hướng dẫn:

Gọi M(xo; yo) là điểm cố định cần tìm.

Ta có yo=(m - 1)xo + 3 - m,∀m

⇔(xo - 1)m - xo - yo + 3 = 0,∀m⇔Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án ⇒ M(1; 2).

Vậy điểm cố định cần tìm là M(1;2)

Ví dụ 2: Trên đồ thị (C) của hàm số y=2/(x + 2) có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên?. Tìm các điểm có tọa độ nguyên đó.

Hướng dẫn:

Gọi M(xo; yo) với xo∈Z\{-2},yo∈Z

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án ⇒xo + 2 ∈ {-2; -1; 1; 2}⇒xo ∈ {-4; -3; -1; 0}

Khi đó trên đồ thị (C) có bốn điểm có tọa độ nguyên là M1(-4; -1),M2(-3; -2),M3(-1; 2),M4(0; 1)

Ví dụ 3: Xác định tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y = (x+2)/(2x-1) sao cho M cách đều hai điểm A(2,0) và B(0,2).

Hướng dẫn:

Phương trình đường trung trực đoạn AB là y=x.

Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của phương trình :

(x + 2)/(2x - 1) = x ⇔ x2 - x - 1 = 0⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hai điểm trên đồ thị thỏa yêu cầu bài toán là ((1 - √5)/2 ,(1 - √5)/2) ; ((1 + √5)/2 ,(1 + √5)/2).

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + mx + m (m là tham số) luôn đi qua một điểm M. Tìm điểm cố định đó.

Gọi M(xo;yo) là điểm cố định cần tìm.

Ta có yo = xo3 - 3xo2 + mxo+m, ∀m

⇔(xo + 1)m + xo3 - 3xo2 - yo=0, ∀m

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Khi m thay đổi đồ thị (Cm) của hàm số y =(1-2m)x4 + 3mx2 - m - 1 đi qua bao nhiêu điểm cố định?

Gọi M(xo;yo) là điểm cố định cần tìm.

Ta có yo=(1 - 2m)xo4 + 3mxo2 - m - 1,∀m

⇔(2xo4 - 3xo2 + 1)m + yo - xo4 + 1 = 0,∀m

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   Vậy đồ thị hàm số đã cho đi qua bốn điểm cố định.

Bài 3: Trên đồ thị (C) của hàm số y = (x + 10)/(x + 1) có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên?

Gọi M(xo; yo) với xo ∈ Z, yo ∈ Z.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ xo + 1 ∈ {-9; -3; -1; 1; 3; 9}⇒xo∈{-10; -4; -2; 0; 2; 8}

⇒ M1(-10;0),M2(-4;-2),M3(-2;-8),M4(0;10),M5(2;4) và M6(8; 2).

   Vậy trên đồ thị (C) có sáu điểm có tọa độ là các số nguyên.

Bài 4: Có bao nhiêu cặp điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y = x3 + 3x2 - 2 đối xứng với nhau qua điểm I(2; 18).

Gọi M(x;y) là điểm trên đồ thị (C), gọi N là điểm đối xứng với Mqua I, ta có N(4 - x; 36 - y). Vì N thuộc (C), ta có

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ x3 + 3x2 - 2 = -(4 - x)3 - 3(4 - x)2 + 38

⇔ x = 2

   Vậy có tất cả một cặp điểm thuộc đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 5: Xác định các giá trị thực của tham số m để đồ thị (Cm) của hàm số y = x3 - 3x2 + m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

Đồ thị hàm số (C_m) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi và chỉ khi tồn tại xo ≠ 0 sao cho y(xo) = -y(-xo) ⇔ tồn tại xo ≠ 0 sao cho xo3 - 3xo2 + m = -[(-xo )3 - 3(-xo )2 + m] ⇔ tồn tại xo ≠ 0 sao cho 3xo2 = m ⇔ m > 0.

Bài 6: Tìm điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y = (x2 + 5x + 15)/(x+3)sao cho điểm đó cách đều hai trục tọa độ.

Gọi M(x_M,y_M ),(x_M≠-3) thỏa yêu cầu bài toán. Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   Vậy điểm cần tìm là M(-15/2;-15/2)

Bài 7: Gọi A, B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thị (C) của hàm số y = (x + 3)/(x - 3). Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB.

Gọi A là điểm thuộc thuộc nhánh trái của đồ thị hàm số, nghĩa là xA < 3 ⇒ với số α > 0, đặt xA = 3 - α, suy ra yA = 1 + 6/(xA - 3)=1 + 6/(3 - α - 3) = 1 - 6/α (1).

Tương tự gọi B là điểm thuộc nhánh phải, nghĩa là xB > 3 ⇒ với số β > 0, đặt xB = 3 + β, suy ra yB = 1 + 6/(xB - 3)=1 + 6/(3 + β - 3) = 1 + 6/β (2).

   Vậy AB2 = (xB - xA )2 + (yB - yA )2 = [(3 + β) - (3 - α)]2 + [(1 + 6/β) - (1 - 6/α)]2

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dùng bất đẳng thức Cauchy, ta có

g(α; β) ≥ (2αβ + 2αβ)(1 + 36/(α2β2 )) = 4αβ + 144/αβ ≥ 2√4.144 = 48.

   Vậy AB≥√48=4√3. Dấu đẳng thức xảy ra khi vả chỉ khi

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   Vậy độ dài AB ngắn nhất là 4√3.

Bài 8: Xác định tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y = (x + 4)/(x - 2) đối xứng nhau qua đường thẳng d: x - 2y - 6 = 0

Gọi đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d:y = (1/2)x - 3 suy ra Δ: y = -2x + m.

Giả sử Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Khi đó hoành độ của A,B là nghiệm của phương trình

(x + 4)/(x - 2) = -2x + m Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   Điều kiện cần:

Để Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì phương trình h(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2, tức là Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   Điều kiện đủ:

Gọi I là trung điểm của AB, ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Để hai điểm A,B đối xứng nhau qua d: x - 2y - 6 = 0 khi I ∈ d ⇔ (m+3)/4 - 2.(3m+3)/2 - 6 = 0 ⇔ m = -3(thỏa điều kiện (*)).

Với m = -3 phương trình h(x) = 0 ⇔ 2x2 - 2 = 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

   Vậy tọa hai điểm cần tìm là (1; -5) và (-1; -1).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 199K tại khoahoc.vietjack.com


diem-thuoc-do-thi.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác