Lý thuyết tổng hợp chương Hàm số Lũy thừa, Hàm số mũ, Hàm số Logarit lớp 12 (hay, chi tiết)
Bài viết Lý thuyết tổng hợp chương Hàm số Lũy thừa, Hàm số mũ, Hàm số Logarit lớp 12 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Lý thuyết tổng hợp chương Hàm số Lũy thừa, Hàm số mũ, Hàm số Logarit.
Lý thuyết tổng hợp chương Hàm số Lũy thừa, Hàm số mũ, Hàm số Logarit
A. Tóm tắt lý thuyết
** LŨY THỪA
1. Định nghĩa lũy thừa và căn
• Cho số thực b và số nguyên dương n (n ≥ 2) . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b .
• Chú ý: - Với n lẻ và b ∈ R : Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là n√b .
- Với n chắn:
+) b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.
+) b = 0: Có một căn bậc n của b là số 0.
+) b > 0: Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị dương ký hiệu là n√b, căn có giá trị âm kí hiệu là -n√b.
Số mũ α | Cơ số a | Lũy thừa aα |
α = n ∈ N* | a ∈ R | aα = an = a.a. ... .a (n thừa số a) |
α = 0 | a ≠ 0 | aα = a0 = 1 |
α = -n (n ∈ N*) | a ≠ 0 | aα = a0 = 1/an |
α = m/n | a > 0 | |
α = lim rn (rn ∈ Q, n ∈ N*) | a > 0 |
2. Một số tính chất của lũy thừa
• Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:
• Nếu a > 1 thì aα > aβ ⇔ α > β ; Nếu ) < a < 1 thì aα > aβ ⇔ α < β .
• Với mọi 0 < a < b, ta có: am < bm ⇔ m > 0; am > bm ⇔ m < 0 ;
• Chú ý: - Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
- Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
- Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
** HÀM SỐ LŨY THỪA
1. Định nghĩa: Hàm số y = xα với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa.
2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số y = xα là:
• D = R nếu α là số nguyên dương.
• D = R \ {0} với α nguyên âm hoặc bằng 0
• D = (0; +∝) với α không nguyên.
3. Đạo hàm: Hàm số y = xα có đạo hàm với mọi x > 0 và (xα)' = α.xα - 1.
4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0; +∝).
y = xα, α > 0 | y = xα, α < 0 |
a. Tập khảo sát: (0; +∝) | a. Tập khảo sát: (0; +∝) |
b. Sự biến thiên + y' = αxα - 1 > 0, ∀x > 0 + Giới hạn đặc biệt + Tiệm cận: không có |
b. Sự biến thiên + y' = αxα - 1 < 0, ∀x > 0 + Giới hạn đặc biệt + Tiệm cận: không có - Trục 0x là tiệm cận ngang - Trục 0y là tiệm cận đứng. |
c. Bảng biến thiên | c. Bảng biến thiên |
d. Đồ thị:
Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm I(1; 1)
Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: y = x3, y = x-2, y = xπ
** LÔGARIT
1. Định nghĩa:
Cho hai số dương a, b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là logab. Ta viết: α = logab ⇔ aα = b.
2. Các tính chất: Cho a, b > 0, a ≠ 1 ta có:
- logaa = 1, loga1 = 0
- alogab = b, loga(aα) = α
3. Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương a, b1, b2 với a ≠ 1 , ta có
- loga(b1.b2) = logab1 + logab2
4. Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương a, b1, b2 với a ≠ 1, ta có
-
- Đặc biệt : với a, b > 0, a ≠ 1
5. Lôgarit của lũy thừa: Cho a, b1, b2, a ≠ 1, với mọi α, ta có
- logabα = αlogab
- Đặc biệt:
6. Công thức đổi cơ số: Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1 , ta có
-
- Đặc biệt : với α ≠ 0 .
+ Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên
+ Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Viết: log10b = log b = lg b
+ Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e. Viết: logeb = ln b
** HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔGARIT
1. Hàm số mũ: y = ax, (a > 0, a ≠ 1)
1.1 Tập xác định: D = R
1.2. Tập giá trị: T = (); +∝), nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt t = af(x) thì t > 0
1.3. Tính đơn điệu:
+ Khi a > 1 thì hàm số y = ax đồng biến, khi đó ta luôn có: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x).
+ Khi 0 < a < 1 thì hàm số y = ax nghịch biến, khi đó ta luôn có: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x).
1.4. Đạo hàm:
(ax)' = ax.ln a ⇒ (au)' = u'.au.ln a (ex)' = ex ⇒ (eu)' = eu.u'1.5. Đồ thị: Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.
2. Hàm số logarit: y = logax, (a > 0, a ≠ 1)
2.1 Tập xác định: D = (0; +∝)
2.2. Tập giá trị: T = R, nghĩa là khi giải phương trình logarit mà đặt t = logax thì t không có điều kiện.
2.3. Tính đơn điệu:
+ Khi a > 1 thì y = logax đồng biến trên D khi đó nếu: logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) > g(x).
+ Khi 0 < a < 1 thì y = logax nghịch biến trên D khi đó nếu logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) < g(x).
2.4 Đạo hàm:
2.5. Đồ thị: Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.
** PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
1.1. Phương trình mũ cơ bản ax = b (a > 0, a ≠ 1).
● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b > 0 .
● Phương trình vô nghiệm khi b ≤ 0 .
1.2. Biến đổi, quy về cùng cơ số
af(x) = ag(x) ⇔ a = 1 hoặc .
1.3. Đặt ẩn phụ
f[ag(x)] = 0 ( 0 < a ≠ 1) ⇔ .
Ta thường gặp các dạng:
● m.a2f(x) + n.af(x) + p = 0
● m.af(x) + n.bf(x) + p = 0, trong đó a.b = 1. Đặt t = af(x). t > 0, suy ra bf(x) = 1/t.
● m.a2f(x) + n.(a.b)f(x) + p.b2f(x) = 0. Chia hai vế cho b2f(x) và đặt (a/b)f(x) = t > 0.
1.4. Logarit hóa
● Phương trình .
● Phương trình af(x) = bg(x) ⇔ logaaf(x) = logabg(x) ⇔ f(x) = g(x).logab
hoặc logbaf(x) = logbbg(x) ⇔ f(x).logba = g(x)
1.5. Giải bằng phương pháp đồ thị
o Giải phương trình: ax = f(x) (0 < a ≠ 1) (*) .
o Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = ax (0 < a ≠ 1) và y = f(x) . Khi đó ta thực hiện hai bước:
- Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số y = ax (0 < a ≠ 1) và y = f(x) .
- Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.
1.6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
o Tính chất 1. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a; b) thì số nghiệm của phương trình f(x) = k trên (a; b) không nhiều hơn một và f(u) = f(v) ⇔ u = v, ∀u, v ∈ (a; b).
o Tính chất 2. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một.
o Tính chất 3. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình f(u) > f(v) ⇔ u > v (hoặc u < v), ∀u,v ∈ D.
1.7. Sử dụng đánh giá
o Giải phương trình f(x) = g(x).
o Nếu ta đánh giá được .
2. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
2.1. Biến đổi, quy về cùng cơ số
2.2. Đặt ẩn phụ
2.3. Mũ hóa hai vế
2.4. Phương pháp đồ thị
2.5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
** BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
1. Bất phương trình mũ:
• Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.
. Tương tự với bất phương trình dạng:
• Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: aM > aN ⇔ (a - 1)(M - N) > 0 .
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
+ Đưa về cùng cơ số.
+ Đặt ẩn phụ.
+ Sử dụng tính đơn điệu
2. Bất phương trình lôgarit:
• Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng: logaf(x) > b; logaf(x) ≥ b; logaf(x) < b; logaf(x) ≤ b
Phương pháp giải bất phương trình lôgarit
• Đưa về cùng cơ số
- Nếu a > 1 thì logaf(x) > logag(x) ⇔
- Nếu 0 < a < 1 thì logaf(x) > logag(x) ⇔
• Đặt ẩn phụ
• Mũ hóa
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Lý thuyết Lũy thừa
- Lý thuyết Hàm số lũy thừa
- Lý thuyết Lôgarit
- Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số lôgarit
- Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình lôgarit
- Lý thuyết Bất phương trình mũ và lôgarit
- Lý thuyết tổng hợp chương Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ, Hàm số logarit
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12