Phương pháp giải bất phương trình mũ - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Bất phương trình mũ

Phương pháp giải bất phương trình mũ

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax > b (hoặc ax ≥ b, ax < b, ax ≤ b) với a > 0, a ≠ 1.

Ta xét bất phương trình có dạng ax > b.

    • Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R, vì ax > b, ∀x ∈ R..

    • Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với ax > alogab.

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > loga b.

Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < loga b.

Ta minh họa bằng đồ thị sau:

    • Với a > 1, ta có đồ thị sau.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    • Với 0 < a < 1, ta có đồ thị sau.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Lưu ý:

1. Dạng 1:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

2. Dạng 2:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

3. Dạng 3: af(x) > b(*)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

4. Dạng 4: af(x) < b(**)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Lưu ý: Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tương tự với bất phương trình dạng:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

    + Đưa về cùng cơ số.

    + Đặt ẩn phụ.

    + Sử dụng tính đơn điệu:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải bất phương trình sau

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Giải bất phương trình sau 9x-1-36.3x-3+3 ≤ 0

Hướng dẫn:

Biến đổi bất phương trình (1) ta được

(1) ⇔ (3x-1)2-4.3x-1+3 ≤ 0 (2)

Đặt t = 3x-1 (t > 0), bất phương trình (2) trở thành t2-4t+3 ≤ 0 (3)

(3) ⇔ 1 ≤ t ≤ 3

Suy ra: 1 ≤ 3x-1 ≤ 3 ⇔ 0 ≤ x-1 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [1;2]

Bài 3: Giải bất phương trình sau

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hướng dẫn:

Vì x2+1/2 > 0 nên ta có các trường hợp sau

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải bất phương trình sau:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có (√10+3)(√10-3)=1 ⇒ √10-3 = (√10+3)-1

Bất phương trình cho

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Giải bất phương trình sau:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: 7+4√3 = (2+√3)2 và (2-√3)(2+√3) = 1 nên đặt

t = (2+√3)x, t > 0 ta có bất phương trình:

t2-3/t+2 ≤ 0 ⇔ t3+2t-3 ≤ 0 ⇔ (t-1)(t2+t+3) ≤ 0 ⇔ t ≤ 1

⇔ (2+√3)x ≤ 1 ⇔ x ≤ 0.

Vậy, bất phương trình cho có nghiệm là x ≤ 0

Bài 3: Giải bất phương trình sau:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Giải bất phương trình sau:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có 2x + 4.5x - 4 < 10x ⇔ 2x - 10x + 4.5x-4 < 0 ⇔ 2x (1-5x) - 4(1-5x) < 0 ⇔ (1-5x)(2x-4) < 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Giải bất phương trình sau:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 6: Giải bất phương trình sau:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Giải bất phương trình sau:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy bất phương trình cho có nghiệm là -1/4 ≤ x ≤ 0 hoặc x ≥ 2

Bài 8: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình (m+1)16x-2(2m-3) 4x+6m+5=0 có hai nghiệm trái dấu.

Đặt 4x = t > 0. Phương trình đã cho trở thành:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t2

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


bat-phuong-trinh-mu.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác