Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Phương trình mũ

Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Hướng 1:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x)=k.

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D. Khẳng định hàm số đơn điệu

    • Bước 3. Nhận xét:

        + Với x = x0 ⇔ f(x) = f(x0) = k do đó x = x0 là nghiệm.

        + Với x > x0 ⇔ f(x) > f(x0) = k do đó phương trình vô nghiệm.

        + Với x < x0 ⇔ f(x) < f(x0) = k do đó phương trình vô nghiệm.

    • Bước 4. Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x) = g(x).

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) và y = g(x). Khẳng định hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến còn y = g(x) là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng.

    • Bước 3. Xác đinh x0 sao cho f(x0) = g(x0 .

    • Bước 4. Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 3:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(u) = f(v).

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x). Khẳng định hàm số đơn điệu.

    • Bước 3. Khi đó f(u) = f(v) ⇔ u = v.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình x+2.3log2 x = 3 (*).

Hướng dẫn:

Ta có: (*) ⇔ 2.3log2x = 3-x (1).

Nhận xét:

    + Vế trái của phương trình là hàm số đồng biến.

    + Vế phải của phương trình là hàm số nghịch biến.

Do đó nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất.

Mặt khác: x = 1 là nghiệm của phương trình. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1}.

Bài 2: Giải phương trình

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ x2 - 3x + 2 = u2 ⇒ 3x - x2 - 1 = 1 - u2.

Khi đó phương trình (*) có dạng

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét hàm số:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    + Miền xác định: D = [0;+∞).

    + Đạo hàm Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án ∀x ∈ D. Suy ra hàm số đồng biến trên D.

Mặt khác f(1) = log3 (1+2) + (1/5).5 = 2.

Do đó, phương trình (1) được viết dưới dạng

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Giải phương trình 2x2-x + 93-2x + x2 + 6 = 42x-3 + 3x - x2 + 5x (*).

Hướng dẫn:

Ta có: (*) ⇔ 2x2-x + 36-4x + x2 + 6 = 24x-6 + 3x-x2 + 5x.

        ⇔ 2x2-x + x2 - x - 3x-x2 = 24x-6 + 4x - 6 - 36-4x.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

ta được 2u + u - 3-u = 2v + v - 3-v.

Xét hàm số:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ f'(t) là hàm số đồng biến trên R, mà f(u)=f(v) ⇔ u=v.

Ta có phương trình:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1;6}.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình 9x = 5x+4x+2(√20)x

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

nên vế trái của (1) là hàm số nghịch biến trên R.

Mặt khác: f(2) = 1 nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {2}.

Bài 2: Giải phương trình 3.xlog3 x+(log3 x-1)2 = x2

Điều kiện: x > 0.

Đặt t = log3 x ⇔ x = 3t.

Phương trình (*) 3.(3t )t+(t-1)2 = 32t ⇔ 3t2+1+t2+1 = 32t+2t. (1)

Xét hàm số: f(t) = 3t+t ⇒ f'(t) = 3t ln3+1 > 0, ∀t ∈ R.

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.

Phương trình (1) ⇔ f(t2+1) = f(2t) ⇔ t2+1 = 2t ⇔ t = 1.

Với t=1 ⇒ x = 3.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {3}.

Bài 3: Giải phương trình 2x+3x = 5x

Do 5x > 0,∀x ∈ R. Chia cả 2 về của phương trình (*) cho 5x ta được:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên R.

Lại có f(1) = 0. ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.

Bài 4: Giải phương trình 3x+x-4=0

Xét hàm số: f(t) = 3t+t-4 ⇒ f'(t) = 3t ln(3)+1 > 0, ∀t ∈ R.

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.

Lại có f(1) = 0. ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.

Bài 5: Giải phương trình 3x.2x = 3x+2x+1

Nhận xét: Ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ±1.

Với x = 1/2 không là nghiệm của phương trình nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có hàm số y = 3x là hàm số đồng biến trên R.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

là hàm số nghịch biến trên (-∞;1/2) và (1/2;+∞).

Nên hàm số có hai nghiệm x = ±1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {±1}.

Bài 6: Giải phương trình (√3-√2)x + (√3+√2)x = (√10)x

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: f(2) = 1

Hàm số f(x) nghịch biến trên R

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2.

Bài 7: Giải phương trình 12+6x = 4.3x+3.2x

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2}.

Bài 8: Giải phương trình 15x-3.5x+3x = 3

Ta có: (*) ⇔ 3x.5x-3.5x+3x-3 = 0 ⇔ 5x (3x-3)+3x-3 = 0

⇔ (3x-3)(5x+1) = 0 ⇔ 3x-3 = 0 ⇔ x = 1 (5x+1 > 0 ∀x ∈ R)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.

Bài 9: Giải phương trình 4x2-3x+2 + 4x2+6x+5 = 42x2+3x+7+1

Nhận xét: x2-3x+2 + x2+6x+5 = 2x2+3x+7

Ta có: (*) ⇔ 4x2-3x+2 - 42x2+3x+7 = 1 - 4x2+6x+5

⇔ (4x2-3x+2 - 1)(4x2+6x+5 - 1) = 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-5; ±1; 2}.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-trinh-mu.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác