Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia chỉ 399k, tại khoahoc.vietjack.com. Xem ngay Xem ngay!

Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Phương trình mũ

Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Hướng 1:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x)=k.

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D. Khẳng định hàm số đơn điệu

    • Bước 3. Nhận xét:

        + Với x = x0 ⇔ f(x) = f(x0) = k do đó x = x0 là nghiệm.

        + Với x > x0 ⇔ f(x) > f(x0) = k do đó phương trình vô nghiệm.

        + Với x < x0 ⇔ f(x) < f(x0) = k do đó phương trình vô nghiệm.

    • Bước 4. Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x) = g(x).

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) và y = g(x). Khẳng định hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến còn y = g(x) là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng.

    • Bước 3. Xác đinh x0 sao cho f(x0) = g(x0 .

    • Bước 4. Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 3:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(u) = f(v).

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x). Khẳng định hàm số đơn điệu.

    • Bước 3. Khi đó f(u) = f(v) ⇔ u = v.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình x+2.3log2 x = 3 (*).

Hướng dẫn:

Ta có: (*) ⇔ 2.3log2x = 3-x (1).

Nhận xét:

    + Vế trái của phương trình là hàm số đồng biến.

    + Vế phải của phương trình là hàm số nghịch biến.

Do đó nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất.

Mặt khác: x = 1 là nghiệm của phương trình. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1}.

Bài 2: Giải phương trình

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ x2 - 3x + 2 = u2 ⇒ 3x - x2 - 1 = 1 - u2.

Khi đó phương trình (*) có dạng

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét hàm số:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    + Miền xác định: D = [0;+∞).

    + Đạo hàm Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án ∀x ∈ D. Suy ra hàm số đồng biến trên D.

Mặt khác f(1) = log3 (1+2) + (1/5).5 = 2.

Do đó, phương trình (1) được viết dưới dạng

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Giải phương trình 2x2-x + 93-2x + x2 + 6 = 42x-3 + 3x - x2 + 5x (*).

Hướng dẫn:

Ta có: (*) ⇔ 2x2-x + 36-4x + x2 + 6 = 24x-6 + 3x-x2 + 5x.

        ⇔ 2x2-x + x2 - x - 3x-x2 = 24x-6 + 4x - 6 - 36-4x.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

ta được 2u + u - 3-u = 2v + v - 3-v.

Xét hàm số:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ f'(t) là hàm số đồng biến trên R, mà f(u)=f(v) ⇔ u=v.

Ta có phương trình:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1;6}.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình 9x = 5x+4x+2(√20)x

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

nên vế trái của (1) là hàm số nghịch biến trên R.

Mặt khác: f(2) = 1 nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {2}.

Bài 2: Giải phương trình 3.xlog3 x+(log3 x-1)2 = x2

Điều kiện: x > 0.

Đặt t = log3 x ⇔ x = 3t.

Phương trình (*) 3.(3t )t+(t-1)2 = 32t ⇔ 3t2+1+t2+1 = 32t+2t. (1)

Xét hàm số: f(t) = 3t+t ⇒ f'(t) = 3t ln3+1 > 0, ∀t ∈ R.

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.

Phương trình (1) ⇔ f(t2+1) = f(2t) ⇔ t2+1 = 2t ⇔ t = 1.

Với t=1 ⇒ x = 3.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {3}.

Bài 3: Giải phương trình 2x+3x = 5x

Do 5x > 0,∀x ∈ R. Chia cả 2 về của phương trình (*) cho 5x ta được:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên R.

Lại có f(1) = 0. ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.

Bài 4: Giải phương trình 3x+x-4=0

Xét hàm số: f(t) = 3t+t-4 ⇒ f'(t) = 3t ln(3)+1 > 0, ∀t ∈ R.

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.

Lại có f(1) = 0. ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.

Bài 5: Giải phương trình 3x.2x = 3x+2x+1

Nhận xét: Ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ±1.

Với x = 1/2 không là nghiệm của phương trình nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có hàm số y = 3x là hàm số đồng biến trên R.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

là hàm số nghịch biến trên (-∞;1/2) và (1/2;+∞).

Nên hàm số có hai nghiệm x = ±1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {±1}.

Bài 6: Giải phương trình (√3-√2)x + (√3+√2)x = (√10)x

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: f(2) = 1

Hàm số f(x) nghịch biến trên R

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2.

Bài 7: Giải phương trình 12+6x = 4.3x+3.2x

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2}.

Bài 8: Giải phương trình 15x-3.5x+3x = 3

Ta có: (*) ⇔ 3x.5x-3.5x+3x-3 = 0 ⇔ 5x (3x-3)+3x-3 = 0

⇔ (3x-3)(5x+1) = 0 ⇔ 3x-3 = 0 ⇔ x = 1 (5x+1 > 0 ∀x ∈ R)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.

Bài 9: Giải phương trình 4x2-3x+2 + 4x2+6x+5 = 42x2+3x+7+1

Nhận xét: x2-3x+2 + x2+6x+5 = 2x2+3x+7

Ta có: (*) ⇔ 4x2-3x+2 - 42x2+3x+7 = 1 - 4x2+6x+5

⇔ (4x2-3x+2 - 1)(4x2+6x+5 - 1) = 0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-5; ±1; 2}.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com


phuong-trinh-mu.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác