Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ (cực hay)

---

---

Bài viết Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ.

Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ (cực hay)

Bài giảng: Cách giải phương trình mũ - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Hướng 1:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x)=k.

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D. Khẳng định hàm số đơn điệu

    • Bước 3. Nhận xét:

        + Với x = x₀ ⇔ f(x) = f(x₀) = k do đó x = x₀ là nghiệm.

        + Với x > x₀ ⇔ f(x) > f(x₀) = k do đó phương trình vô nghiệm.

        + Với x < x₀ ⇔ f(x) < f(x₀) = k do đó phương trình vô nghiệm.

    • Bước 4. Kết luận vậy x = x₀ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x) = g(x).

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) và y = g(x). Khẳng định hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến còn y = g(x) là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng.

    • Bước 3. Xác đinh x₀ sao cho f(x₀) = g(x₀ .

    • Bước 4. Kết luận vậy x = x₀ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 3:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(u) = f(v).

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x). Khẳng định hàm số đơn điệu.

    • Bước 3. Khi đó f(u) = f(v) ⇔ u = v.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình x+2.3^{log₂ x} = 3 (*).

Lời giải:

Ta có: (*) ⇔ 2.3^log₂x = 3-x (1).

Nhận xét:

    + Vế trái của phương trình là hàm số đồng biến.

    + Vế phải của phương trình là hàm số nghịch biến.

Do đó nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất.

Mặt khác: x = 1 là nghiệm của phương trình. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1}.

Bài 2: Giải phương trình

Lời giải:

⇒ x² - 3x + 2 = u² ⇒ 3x - x² - 1 = 1 - u².

Khi đó phương trình (*) có dạng

Xét hàm số:

    + Miền xác định: D = [0;+∞).

    + Đạo hàm ∀x ∈ D. Suy ra hàm số đồng biến trên D.

Mặt khác f(1) = log₃ (1+2) + (1/5).5 = 2.

Do đó, phương trình (1) được viết dưới dạng

Bài 3: Giải phương trình 2^x2-x + 9^3-2x + x² + 6 = 4^2x-3 + 3^{x - x2} + 5x (*).

Lời giải:

Ta có: (*) ⇔ 2^x2-x + 3^6-4x + x² + 6 = 2^4x-6 + 3^x-x2 + 5x.

        ⇔ 2^x2-x + x² - x - 3^x-x2 = 2^4x-6 + 4x - 6 - 3^6-4x.

ta được 2^u + u - 3^-u = 2^v + v - 3^-v.

Xét hàm số:

⇒ f'(t) là hàm số đồng biến trên R, mà f(u)=f(v) ⇔ u=v.

Ta có phương trình:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1;6}.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình 9^x = 5^x+4^x+2(√20)^x

Lời giải:

nên vế trái của (1) là hàm số nghịch biến trên R.

Mặt khác: f(2) = 1 nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {2}.

Bài 2: Giải phương trình 3.x^{log₃ x}+(log₃ x-1)² = x²

Lời giải:

Điều kiện: x > 0.

Đặt t = log₃ x ⇔ x = 3^t.

Phương trình (*) 3.(3^t )^t+(t-1)² = 3^2t ⇔ 3^t2+1+t²+1 = 3^2t+2t. (1)

Xét hàm số: f(t) = 3^t+t ⇒ f'(t) = 3^t ln3+1 > 0, ∀t ∈ R.

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.

Phương trình (1) ⇔ f(t²+1) = f(2t) ⇔ t²+1 = 2t ⇔ t = 1.

Với t=1 ⇒ x = 3.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {3}.

Bài 3: Giải phương trình 2^x+3^x = 5^x

Lời giải:

Do 5^x > 0,∀x ∈ R. Chia cả 2 về của phương trình (*) cho 5^x ta được:

Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên R.

Lại có f(1) = 0. ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.

Bài 4: Giải phương trình 3^x+x-4=0

Lời giải:

Xét hàm số: f(t) = 3^t+t-4 ⇒ f'(t) = 3^t ln(3)+1 > 0, ∀t ∈ R.

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.

Lại có f(1) = 0. ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.

Bài 5: Giải phương trình 3^x.2x = 3^x+2x+1

Lời giải:

Nhận xét: Ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ±1.

Với x = 1/2 không là nghiệm của phương trình nên

Ta có hàm số y = 3^x là hàm số đồng biến trên R.

là hàm số nghịch biến trên (-∞;1/2) và (1/2;+∞).

Nên hàm số có hai nghiệm x = ±1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {±1}.

Bài 6: Giải phương trình (√3-√2)^x + (√3+√2)^x = (√10)^x

Lời giải:

Ta có: f(2) = 1

Hàm số f(x) nghịch biến trên R

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2.

Bài 7: Giải phương trình 12+6^x = 4.3^x+3.2^x

Lời giải:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2}.

Bài 8: Giải phương trình 15^x-3.5^x+3^x = 3

Lời giải:

Ta có: (*) ⇔ 3^x.5^x-3.5^x+3^x-3 = 0 ⇔ 5^x (3^x-3)+3^x-3 = 0

⇔ (3^x-3)(5^x+1) = 0 ⇔ 3^x-3 = 0 ⇔ x = 1 (5^x+1 > 0 ∀x ∈ R)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.

Bài 9: Giải phương trình 4^x2-3x+2 + 4^x2+6x+5 = 4^2x2+3x+7+1

Lời giải:

Nhận xét: x²-3x+2 + x²+6x+5 = 2x²+3x+7

Ta có: (*) ⇔ 4^x2-3x+2 - 4^2x2+3x+7 = 1 - 4^x2+6x+5

⇔ (4^x2-3x+2 - 1)(4^x2+6x+5 - 1) = 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-5; ±1; 2}.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa
• Trắc nghiệm Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa
• Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ
• Trắc nghiệm phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ
• Trắc nghiệm Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ

---

---

---