Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ (cực hay)
Bài viết Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ.
Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ (cực hay)
Bài giảng: Cách giải phương trình mũ - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Hướng 1:
• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x)=k.
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D. Khẳng định hàm số đơn điệu
• Bước 3. Nhận xét:
+ Với x = x0 ⇔ f(x) = f(x0) = k do đó x = x0 là nghiệm.
+ Với x > x0 ⇔ f(x) > f(x0) = k do đó phương trình vô nghiệm.
+ Với x < x0 ⇔ f(x) < f(x0) = k do đó phương trình vô nghiệm.
• Bước 4. Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Hướng 2:
• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x) = g(x).
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) và y = g(x). Khẳng định hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến còn y = g(x) là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng.
• Bước 3. Xác đinh x0 sao cho f(x0) = g(x0 .
• Bước 4. Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Hướng 3:
• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(u) = f(v).
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x). Khẳng định hàm số đơn điệu.
• Bước 3. Khi đó f(u) = f(v) ⇔ u = v.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Giải phương trình x+2.3log2 x = 3 (*).
Lời giải:
Ta có: (*) ⇔ 2.3log2x = 3-x (1).
Nhận xét:
+ Vế trái của phương trình là hàm số đồng biến.
+ Vế phải của phương trình là hàm số nghịch biến.
Do đó nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất.
Mặt khác: x = 1 là nghiệm của phương trình. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1}.
Bài 2: Giải phương trình
Lời giải:
⇒ x2 - 3x + 2 = u2 ⇒ 3x - x2 - 1 = 1 - u2.
Khi đó phương trình (*) có dạng
Xét hàm số:
+ Miền xác định: D = [0;+∞).
+ Đạo hàm ∀x ∈ D. Suy ra hàm số đồng biến trên D.
Mặt khác f(1) = log3 (1+2) + (1/5).5 = 2.
Do đó, phương trình (1) được viết dưới dạng
Bài 3: Giải phương trình 2x2-x + 93-2x + x2 + 6 = 42x-3 + 3x - x2 + 5x (*).
Lời giải:
Ta có: (*) ⇔ 2x2-x + 36-4x + x2 + 6 = 24x-6 + 3x-x2 + 5x.
⇔ 2x2-x + x2 - x - 3x-x2 = 24x-6 + 4x - 6 - 36-4x.
ta được 2u + u - 3-u = 2v + v - 3-v.
Xét hàm số:
⇒ f'(t) là hàm số đồng biến trên R, mà f(u)=f(v) ⇔ u=v.
Ta có phương trình:
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1;6}.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải phương trình 9x = 5x+4x+2(√20)x
Lời giải:
nên vế trái của (1) là hàm số nghịch biến trên R.
Mặt khác: f(2) = 1 nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {2}.
Bài 2: Giải phương trình 3.xlog3 x+(log3 x-1)2 = x2
Lời giải:
Điều kiện: x > 0.
Đặt t = log3 x ⇔ x = 3t.
Phương trình (*) 3.(3t )t+(t-1)2 = 32t ⇔ 3t2+1+t2+1 = 32t+2t. (1)
Xét hàm số: f(t) = 3t+t ⇒ f'(t) = 3t ln3+1 > 0, ∀t ∈ R.
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.
Phương trình (1) ⇔ f(t2+1) = f(2t) ⇔ t2+1 = 2t ⇔ t = 1.
Với t=1 ⇒ x = 3.
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {3}.
Bài 3: Giải phương trình 2x+3x = 5x
Lời giải:
Do 5x > 0,∀x ∈ R. Chia cả 2 về của phương trình (*) cho 5x ta được:
Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên R.
Lại có f(1) = 0. ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.
Bài 4: Giải phương trình 3x+x-4=0
Lời giải:
Xét hàm số: f(t) = 3t+t-4 ⇒ f'(t) = 3t ln(3)+1 > 0, ∀t ∈ R.
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.
Lại có f(1) = 0. ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.
Bài 5: Giải phương trình 3x.2x = 3x+2x+1
Lời giải:
Nhận xét: Ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ±1.
Với x = 1/2 không là nghiệm của phương trình nên
Ta có hàm số y = 3x là hàm số đồng biến trên R.
là hàm số nghịch biến trên (-∞;1/2) và (1/2;+∞).
Nên hàm số có hai nghiệm x = ±1.
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {±1}.
Bài 6: Giải phương trình (√3-√2)x + (√3+√2)x = (√10)x
Lời giải:
Ta có: f(2) = 1
Hàm số f(x) nghịch biến trên R
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2.
Bài 7: Giải phương trình 12+6x = 4.3x+3.2x
Lời giải:
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2}.
Bài 8: Giải phương trình 15x-3.5x+3x = 3
Lời giải:
Ta có: (*) ⇔ 3x.5x-3.5x+3x-3 = 0 ⇔ 5x (3x-3)+3x-3 = 0
⇔ (3x-3)(5x+1) = 0 ⇔ 3x-3 = 0 ⇔ x = 1 (5x+1 > 0 ∀x ∈ R)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.
Bài 9: Giải phương trình 4x2-3x+2 + 4x2+6x+5 = 42x2+3x+7+1
Lời giải:
Nhận xét: x2-3x+2 + x2+6x+5 = 2x2+3x+7
Ta có: (*) ⇔ 4x2-3x+2 - 42x2+3x+7 = 1 - 4x2+6x+5
⇔ (4x2-3x+2 - 1)(4x2+6x+5 - 1) = 0
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-5; ±1; 2}.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa
- Trắc nghiệm Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa
- Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ
- Trắc nghiệm phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ
- Trắc nghiệm Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12