Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ xiên (cực hay)

Bài viết Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ xiên với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ xiên.

Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ xiên (cực hay)

Bài giảng: Cách tính Thể tích hình chóp, hình lăng trụ - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

1. Phương pháp giải

+ Khối lăng trụ xiên là khối lăng trụ có cạnh bên không vuông góc đáy.

+ Xác định chiều cao của hình lăng trụ.

Tính chiều cao, diện tích đáy của hình lăng trụ.

+ Tính thể tích của khối lăng trụ.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’, đáy ABC có BC= 3a;. Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 60^o và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh BC sao cho HC= 2HB và mặt phẳng ( A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối lăng trụ ABC. A’B’C’ là

Hướng dẫn giải

*Ta có:

Mà cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 60^o nên

* Do HC = 2HB và BC = 3a nên HC = 2a; HB =a.

Áp dụng định lí cosin vào tam giác AHC ta có:

AH² = AC² + HC² – 2 AC. HC.cos30^o

=> AH = a

=> A’H = AH.tan60^o =

Diện tích tam giác ABC là

Thể tích của hình lăng trụ đã cho là

Chọn B.

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’, tam giác ABC đều có cạnh bằng a, AA’= a và đỉnh A’ cách đều A, B, C. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Thể tích khối lăng trụ ABC. A’B’C’ là

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm tam giác đều ABC.

=> OA= OB = OC.

Lại có: A’A= A’B = A’C nên

Ta có:

Xét tam giác vuông AA’O có

Diện tích tam giác ABC là

Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Chọn B.

Ví dụ 3.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB= a,; M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 60^o. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là

Hướng dẫn giải

Do A'H⊥(ABC) nên A’H là đường cao của hình lăng trụ.

Mà góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ là 60^o nên

+ ta có:

M là trung điểm cạnh huyền AC nên MA= MB= MC = a

Diện tích tam giác ABC là:

Thể tích của khối lăng trụ là:

Chọn A.

Ví dụ 4.Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân AB= AC= a, và AB’ vuông góc với đáy (A’B’C’). Mặt phẳng (AA’C’) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30^o. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có :

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos A= a² +a² – 2.a.a.cos120^o = 3a²

Gọi K là hình chiếu của B’ lên A’C’ , suy ra A’C’⊥(AB'K)

Do đó

Trong tam giác A’KB’ có

Nên

Suy ra:

Diện tích tam giác ABC là:

Thể tích khối lăng trụ

Chọn C.

Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’= a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60^o, tam giác ABC vuông tại C và . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Thể tích khối tứ diện A’ABC là

Hướng dẫn giải

Gọi D là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ABC.

+ Do hình chiếu vuông góc của B’ lên mp (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC nên B'G⊥(ABC)

+ Vì góc giữa BB’ và mặt phẳng ( ABC) bằng 60^o nên

* Trong tam giác ABC ta có:

+ Do tam giác BCD vuông tại C nên ta có:

Diện tích tam giác ABC là

Thể tích khối tứ diện A’ABC là :

Chọn B.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của B′ lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, góc giữa mặt phẳng (BCC′B′) và mặt phẳng đáy bằng 60°. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt phẳng (ABC) là trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc giữa đường thẳng AA′ và mặt phẳng đáy (ABC) bằng 30°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C có AC = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt đáy trùng với trung điểm của AB. Biết khoảng cách giữa 2 đường thẳng A′C và AB bằng $\frac{2a}{\sqrt{3}}$. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

Bài 4. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết rằng hình chiếu vuông góc A′ xuống đáy trùng với trung điểm của AB và AC′ = $\frac{3a}{2}$. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Bài 5. Cho hình chóp hộp ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình chữ nhật có AB = 3a, AD = 4a. Biết A′A = A′B = A′C = A′D và mặt phẳng (A′CD) tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích khối hộp đã cho.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy
• Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa hai mặt phẳng
• Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ đều (cực hay)

---