Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa hai mặt phẳng

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa hai mặt phẳng

1. Phương pháp giải

Quảng cáo

+ Xác định góc giữa hai mặt phẳng

+ Tính độ dài các cạnh, diện tích đáy, chiều cao

+ Tính thể tích của khối lăng trụ

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC. A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a , biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o .Tính thể tích lăng trụ. Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa hai mặt phẳng

Hướng dẫn giải Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa hai mặt phẳng

Ta có: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Lại có, hai mặt phẳng ( A’BC) và (ABC) cắt nhau theo giao tuyến BC nên góc giữa hai mặt phẳng ( A’BC) và ( ABC) là góc Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Diện tích đáy ABC là: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Xét tam giác vuông AA’B có AA’=AB.tan60o= Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Do đó, thể tích của hình lăng trụ đã cho là: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa hai mặt phẳng

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều . Mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 30o và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa hai mặt phẳng

Hướng dẫn giải Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa hai mặt phẳng

Gọi I là trung điểm của BC

Do tam giac ABC là tam giác đều nên AI⊥BC( 1)

Lại có; Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Từ ( 1) và (2) suy ra: A'I⊥BC( định lí 3 đường vuông góc)

Lại có, giao tuyến của 2 mp (A’BC) và (ABC) là BC. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng ( A’BC) và ( ABC) là góc Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Đặt BI= x Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Xét tam giác A’AI có: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

AA’ = AI. tan 30o = x

Mà SA’BC =Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy= x. 2x = 8 => x = 2

Khi đó, đáy ABC là tam giác đều cạnh BC= 2BI = 4 nên diện tích đáy là: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa hai mặt phẳng

Thể tích hình lăng trụ đã cho là: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Chọn A.

Ví dụ 3. Cho lăng trụ tứ giác đều ABC

D. A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật đã cho?

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa hai mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa hai mặt phẳng

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Do ABCD là hình vuông nên OC⊥BD(2)

Từ (1) và (2) suy ra: C'O⊥BD( định lí ba đường vuông góc).

Mà mặt phẳng ( BDC’) cắt mp(ABCD) theo giao tuyến BD nên góc giữa hai mặt phẳng này là góc Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Do ABCD là hình vuông cạnh a nên Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Xét tam giác OCC’ vuông tại C có Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Diện tích hình vuông ABCD là: SABCD = a2.

Thể tích hình lăng trụ đã cho là Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 4. Cho hình hộp chữ nhật ABC

D. A'B'C'D' có AA' = 2a; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o . Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Hướng dẫn giải

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Ta có: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Lại có, hai mặt phẳng (A’BC) và ( ABCD) cắt nhau theo giao tuyến BC nên góc giữa hai mp(A’BC) và (ABCD) là góc Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Hình chiếu của A’C trên (ABCD) là AC nên góc giữa A’C và mp(ABCD) là góc Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Xét tam giác A’AC vuông tại A có: AC= AA’. cot30o= Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Xét tam giác A’AB có: AB= AA’.cot60o = Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Xét tam giác ABC có: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Thể tích khối hình hộp chữ nhật đã cho là:

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Chọn A.

Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy; BC= a;Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy,đường thẳng B’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc α thỏa mãn sin α=1/4. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là :

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Hướng dẫn giải

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

+ Diện tích tam giác ABC là:

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

+ Kẻ CH⊥AB

Lại có: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

=>B’H là hình chiếu vuông góc của B’C lên (ABB’A’).

=> ( B’C; (ABB’A’))= (B’C; B’H) = Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

+ Áp dụng định lí co-sin vào tam giác ABC ta có:

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

+ Diện tích tam giác ABC là :

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Xét tam giác vuông Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Do đó thể tích của khối lăng trụ đã cho

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Chọn A.

Quảng cáo

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

khoi-da-dien.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12