Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. Phương pháp giải

Quảng cáo

+ Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đề bài cho

+ Dựa vào các dữ kiện, tính độ dài các cạnh, chiều cao, diện tích đáy của hình lăng trụ

+ Tính thể tích của khối lăng trụ.

* Chú ý: Các công thức tính diện tích tam giác, hệ thức lượng trong tam giác vuông.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ.

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ta có: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Lại có AB là hình chiếu của A'B trên mặt phẳng (ABC)

Suy ra, góc giữa đường thẳng A’B và mp(ABC) bằng góc Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Xét tam giác vuông ABA’ có:

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Diện tích tam giác ABC là:

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Vậy thể tích của lăng trụ đã cho là:

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a, Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy; biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 30o. Tính thể tích lăng trụ.

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Xét tam giác ABC vuông tại A có AB= AC.tan60o=Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Ta có:

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).

Vậy góc ( BC’; (AA’C’C))=Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy= 30o

Xét tam giác AC’B có Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Diện tích tam giác ABC là: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Xét tam giác AA’C’ có: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Do đó, thể tích của khối lăng trụ đã cho là:

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30o. Tính thể tích của lăng trụ .

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ta có ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Do đó, BD là hình chiếu của BD' trên (ABCD).

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tam giác ABD vuông cân tại A có AB = AD= a nên Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Xét tam giác vuông BDD’ có: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Diện tích hình vuông ABCD là SABCD = a2

Thể tích của hình lăng trụ đã cho là:

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Chọn B

Quảng cáo

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy, biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o. Tính thể tích của hình hộp.

Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Do ABCD là hình thoi nên AB= AD. Suy ra, tam giác ABD cân tại A.

Lại có: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy nên tam giác ABD là tam giác đều cạnh a.

Diện tích tam giác ABD là:Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Suy ra, diện tích hình thoi ABCD là: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp đứng nên BB'⊥AB

Xét tam giác ABB’ ta có: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Thể tích hình hộp đã cho là: Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy

Chọn C

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

khoi-da-dien.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12