Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng K.

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng K.

• Chú ý

Người ta chứng minh được rằng:

- Nếu f’(x) ≥ 0 (f’(x) ≤ 0) với mọi x ∈ K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng K.

- Nếu f’(x) = 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) không đổi trên khoảng K.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét dấu y' rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = −2x² + 4x + 3.

Hướng dẫn giải:

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y' = −4x + 4; y' = 0 ⇔ x = 1.

Ta có bảng xét dấu của y' như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1); nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số $g\left(x\right)=\frac{1}{x-1}$ nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định trên (1; +∞).

Ta có $g\text{'}\left(x\right)=-\frac{1}{{(x-1)}^2}<0$ với mọi x ∈ (1; +∞).

Vậy g(x) nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1; +∞);

B. (−∞; 1);

C. (−1; +∞);

D. (−∞; −1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) và (−1; 1).

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−∞; −1).

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−∞; 0);

B. (2; +∞);

C. (0; +∞);

D. (−1; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Bài 3. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)?

A. $y=\frac{x-1}{x-2}$ ;

B. y = x³ + x;

C. y = −x³ – 3x;

D. $y=\frac{x+1}{x+3}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

y = x³ + x $\Rightarrow$ y' = 3x² + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ.

Bài 4. Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞);

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; +∞);

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1);

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tập xác định: ℝ\{−1}.

Ta có $y\text{'}=\frac{3}{{(x+1)}^2}>0$, ∀x ∈ ℝ\{−1}.

Bài 5. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)?

A. y = x⁴ + 3x²;

B. $y=\frac{x-2}{x+1}$ ;

C. y = 3x³ + 3x – 2;

D. y = 2x³ – 5x + 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = 3x³ + 3x – 2 có tập xác định D = ℝ.

Có y' = 27x² + 3 > 0, ∀x ∈ ℝ, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞).

Bài 6. Hàm số $y=\frac{2}{x^2+1}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−∞; +∞);

B. (0; +∞);

C. (−∞; 0);

D. (−1; 1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $y\text{'}=\frac{-4x}{{(x^2+1)}^2}<0\iff$ x > 0.

Bài 7. Cho hàm số $y=\sqrt{2x^2+1}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞);

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0);

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞);

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Tập xác định : D = ℝ.

Có y' $=\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}$; y' > 0 ⇔ x > 0.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Bài 8. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có đạo hàm f'(x) = (1 – x)²(x + 1)³(3 – x). Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−∞; 1);

B. (−∞; −1);

C. (1; 3);

D. (3; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: f'(x) = (1 – x)²(x + 1)³(3 – x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −1 hoặc x = 3.

Bảng xét dấu:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 3).

Bài 9. Hàm số $y=\sqrt{2018x-x^2}$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. (1010; 2018);

B. (2018; +∞);

C. (0; 1009);

D. (1; 2018).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: [0; 2018].

y' = $\left(\sqrt{2018x-x^2}\right)\text{'}=\frac{2018-2x}{2\sqrt{2018x-x^2}}$$=\frac{1009-x}{\sqrt{2018x-x^2}}$; y' = 0 ⇔ x = 1009

Có y' < 0 ⇔ x ∈ (1009; 2018), suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1009; 2018), suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1010; 2018).

Bài 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\frac{x+m^2}{x+4}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

A. 5;

B. 3;

C. 1;

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ\{−4}. Ta có $y\text{'}=\frac{4-m^2}{{(x+4)}^2}$.

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó thì 4 – m² > 0 ⇔ −2 < m < 2.

Do đó có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
• Sử dụng đồ thị của hàm số f'(x) để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x)
• Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm điểm cực trị của hàm số
• Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số để tìm điểm cực trị của hàm số
• Sử dụng đồ thị của hàm số f'(x) để tìm cực trị của hàm số f(x)

---