Sử dụng đồ thị của hàm số f'(x) để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Sử dụng đồ thị của hàm số f'(x) để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Sử dụng đồ thị của hàm số f'(x) để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x).

Sử dụng đồ thị của hàm số f'(x) để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng K.

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng K.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) xác định, liên tục trên ℝ và f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = f(x).

Hướng dẫn giải:

Dựa vào đồ thị của hàm số f'(x), ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (3; +∞).

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) liên tục và có đồ thị trên ℝ như hình vẽ

Giả sử hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b). Trong khoảng (a; b) có bao nhiêu giá trị nguyên nhỏ hơn 2024.

Hướng dẫn giải:

Từ đồ thị hàm số y = f'(x), ta có hàm số y = f(x) nghịch biến trong khoảng (a; b) với −2 < a < −1 và 1 < b < 2.

Do đó, trong khoảng (a; b) có 3 số nguyên nhỏ hơn 2024.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ và hàm số y = f'(x) là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên

A. (−∞; 1);

B. (−2; 0);

C. (1; +∞);

D. (−1; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị, ta thấy f'(x) < 0, ∀x < 1.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1).

Bài 2. Cho hàm số f(x) xác định trên ℝ và có đồ thị hàm số y = f'(x) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1; 2);

B. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0; 2);

C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (−2; 1);

D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (−1; 1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) ta có:

f'(x) > 0 ⇔ x ∈ (−2; 0) ∪ (2; +∞) và f'(x) < 0 ⇔ x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; 2).

Khi đó, hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; 2).

Bài 3. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (1; 4);

B. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (−1; 4);

C. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (−1; 1);

D. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (−1; 1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị, ta thấy f'(x) > 0 ⇔ −1 < x < 1. Do đó hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (−1; 1).

Bài 4. Cho hàm số bậc bốn y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ

Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0; 1);

B. (0; 2);

C. (2; +∞);

D. (1; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) ta có: f'(x) > 0, ∀x ∈ (2; +∞).

Do đó hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Bài 5. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị y = f'(x) như hình sau. Hỏi hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1; 2);

B. (1; 3);

C. (−∞; 1);

D. (2; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) ta có: f'(x) < 0, ∀x ∈ (1; 2).

Do đó hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Bài 6. Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ

Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−4; 0);

B. (−4; −2);

C. (−2; 0);

D. (−2; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Với x ∈ (−4; −2) thì f'(x) > 0 nên hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (−4; −2).

Bài 7. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ.

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞);

B. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (2; 3);

C. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (−∞; 2);

D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (2; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x), ta có hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞; 2).

Bài 8. Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây.

A. (−6; −1);

B. (−6; 2);

C. (−1; 2);

D. (−1; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x), ta thấy hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (−6; −1).

Bài 9. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị f'(x) như hình vẽ.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (−2; −1);

B. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (−2; +∞);

C. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (1; +∞);

D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (−2; −1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (−2; −1).

Bài 10. Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Khoảng đồng biến của hàm số y = f(x) là

A. (−∞; 1);

B. (−∞; −2];

C. (0; +∞);

D. (1; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f'(x) > 0, ∀x > 0.

Do đó hàm số y = f(x) đồng biến trên (0; +∞).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm điểm cực trị của hàm số
• Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số để tìm điểm cực trị của hàm số
• Sử dụng đồ thị của hàm số f'(x) để tìm cực trị của hàm số f(x)
• Một số bài toán thực tế ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số
• Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị có chứa tham số

---