Cách chứng minh, phân tích các vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

HOT Ra mắt Sách 20 đề THPT quốc gia form 2025 toán, văn, anh.... (từ 80k/1 cuốn)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Cách chứng minh, phân tích các vectơ lớp 12 bằng cách Sử dụng phép toán tổng, hiệu hai vectơ và tích của một vectơ với một số chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh, phân tích các vectơ.

Cách chứng minh, phân tích các vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

Quảng cáo

1. Phương pháp giải

• Tổng và hiệu của hai vectơ

+) Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành

- Với ba điểm A, B, C bất kì, ta có $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ (quy tắc ba điểm).

- Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ (quy tắc hình bình hành).

+) Quy tắc hình hộp

Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình hộp thì $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ .

+) Quy tắc hiệu

Với A, B, C bất kì, ta có $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{C B}$ .

• Tích của một số với một vectơ

Trong không gian, tích của một số thực k ≠ 0 với một vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ là một vectơ, kí hiệu là $k \vec{a}$ , được xác định như sau:

- Cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k > 0; ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k < 0.

- Có độ dài bằng $|k| . |\vec{a}|$ .

Quảng cáo

+) Một số tính chất

- Tính chất kết hợp: Nếu h, k là hai số thực và $\vec{a}$ là một vectơ bất kì thì $h (k \vec{a}) = (h k) \vec{a}$

- Tính chất phân phối: Nếu h, k là hai số thực và $\vec{a}, \vec{b}$ là hai vectơ bất kì thì $(h + k) \vec{a} = h \vec{a} + k \vec{b}$ và $k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}$ .

- Tính chất nhân với 1 và −1: Nếu $\vec{a}$ là một vectơ bất kì thì $1 \vec{a} = \vec{a}$ và $(- 1) \vec{a} = - \vec{a}$ .

+) Hệ quả

- I là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0} \Leftrightarrow 2 \vec{O I} = \vec{O A} + \vec{O B}$ , với mọi điểm O.

- G là trọng tâm ∆ABC ⇔ $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ⇔ $3 \vec{O G} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ , với mọi điểm O.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A E} + \vec{G H} + \vec{G B} = \vec{0}$ .

Hướng dẫn giải:

Cách chứng minh, phân tích các vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

Quảng cáo

Theo quy tắc hình hộp ta có $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A E} = \vec{A G}$ .

Theo quy tắc hình bình hành ta có $\vec{G H} + \vec{G B} = \vec{G A}$ .

Do đó $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A E} + \vec{G H} + \vec{G B}$ = $\vec{A G} + \vec{G A} = \vec{A A} = \vec{0}$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hãy phân tích các vectơ $\vec{S A}, \vec{S B}, \vec{S C}, \vec{S D}$ theo $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{S O}$ .

Hướng dẫn giải:

Cách chứng minh, phân tích các vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

Phân tích $\vec{S A}$ :

Ta có $\vec{S A} = \vec{S O} + \vec{O A} = \vec{S O} + \frac{1}{2} \vec{C A} = \vec{S O} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ .

Phân tích $\vec{S B}$ :

Quảng cáo

Ta có $\vec{S B} = \vec{S O} + \vec{O B} = \vec{S O} + \vec{O A} + \vec{A B} = \vec{S O} - \frac{1}{2} \vec{A C} + \vec{A B}$ .

Phân tích $\vec{S C}$ :

Ta có $\vec{S C} = \vec{S O} + \vec{O C} = \vec{S O} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ .

Phân tích $\vec{S D}$ :

Ta có $\vec{S B} + \vec{S D} = 2 \vec{S O} \to \vec{S D}$ = $2 \vec{S O} - \vec{S B} = 2 \vec{S O} - (\vec{S O} - \frac{1}{2} \vec{A C} + \vec{A B})$

→ $\vec{S D} = \vec{S O} + \frac{1}{2} \vec{A C} - \vec{A B}$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ ;

B. $\vec{O G} = \frac{1}{4} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D})$ ;

C. $\vec{A G} = \frac{2}{3} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D})$ ;

D. $\vec{A G} = \frac{1}{4} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D})$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên:

$\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ ⇔ $4 \vec{G A} + \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = \vec{0}$ ⇔ $\vec{A G} = \frac{1}{4} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D})$

Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cách chứng minh, phân tích các vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

A. $\vec{A B} + \vec{A^{'} D^{'}} = \vec{A C}$ ;

B. $\vec{A B} + \vec{A^{'} D^{'}} = \vec{B D}$ ;

C. $\vec{A B} + \vec{A^{'} D^{'}} = \vec{A C^{'}}$ ;

D. $\vec{A B} + \vec{A^{'} D^{'}} = \vec{C A}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\vec{A B} + \vec{A^{'} D^{'}} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ (quy tắc hình bình hành).

Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Tổng $\vec{A B} + \vec{D C}$ bằng

A. $\vec{0}$ ;

B. $2 \vec{A D}$ ;

C. $2 \vec{M N}$ ;

D. $2 \vec{N M}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Cách chứng minh, phân tích các vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

Ta có $\vec{A B} + \vec{D C} = \vec{A M} + \vec{M N} + \vec{N B} + \vec{D M} + \vec{M N} + \vec{N C}$ :

= $(\vec{A M} + \vec{D M}) + 2 \vec{M N} + (\vec{N B} + \vec{N C}) = 2 \vec{M N}$ .

(vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC nên $\vec{A M} + \vec{D M} = \vec{0}$ ; $\vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$ ).

Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt $\vec{A A^{'}} = \vec{a}; \vec{A B} = \vec{b}; \vec{A C} = \vec{c}; \vec{B C} = \vec{d}$ . Trong các biểu thức vectơ sau đây, biểu thức nào đúng?

A. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{d}$ ;

B. $\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$ ;

C. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$ ;

D. $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Cách chứng minh, phân tích các vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

Ta thấy $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d} = \vec{A B} - \vec{A C} + \vec{B C} = \vec{C B} + \vec{B C} = \vec{0}$ .

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, gọi M là trung điểm AD. Khi đó:

A. $\vec{M G} = \frac{1}{4} (\vec{M A} + \vec{M D})$ ;

B. $\vec{M G} = \frac{1}{4} (\vec{M C} + \vec{M B})$ ;

C. $\vec{M G} = \frac{1}{4} (\vec{M C} + \vec{M D})$ ;

D. $\vec{M G} = \frac{1}{4} (\vec{M C} - \vec{M D})$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Cách chứng minh, phân tích các vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

Gọi N là trung điểm BC thì G chính là trung điểm của MN. Do đó ta có:

$\vec{M G} = \frac{1}{2} \vec{M N} = \frac{1}{4} (\vec{M B} + \vec{M C})$ .

Bài 6. Cho tứ diện S.ABC có M, N, P là trung điểm của SA, SB, SC. Tìm khẳng định đúng?

Cách chứng minh, phân tích các vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

A. $\vec{A B} = \frac{1}{2} (\vec{P N} - \vec{P M})$ ;

B. $\vec{A B} = \vec{P N} - \vec{P M}$ ;

C. $\vec{A B} = 2 (\vec{P M} - \vec{P N})$ ;

D. $\vec{A B} = 2 (\vec{P N} - \vec{P M})$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\vec{A B} = 2 \vec{M N} = 2 (\vec{P N} - \vec{P M})$ .

Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Đặt $\vec{A B} = \vec{b}; \vec{A C} = \vec{c}; \vec{A D} = \vec{d}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{M P} = \frac{1}{2} (\vec{c} + \vec{d} + \vec{b})$ ;

B. $\vec{M P} = \frac{1}{2} (\vec{d} + \vec{b} - \vec{c})$ ;

C. $\vec{M P} = \frac{1}{2} (\vec{c} + \vec{b} - \vec{d})$ ;

D. $\vec{M P} = \frac{1}{2} (\vec{c} + \vec{d} - \vec{b})$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Cách chứng minh, phân tích các vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

Vì M, P lần lượt là trung điểm AB, CD => $\{\begin{cases} 2 \vec{A M} = \vec{A B} \\ \vec{A C} + \vec{A D} = 2 \vec{A P} \end{cases}$ .

Ta có $\vec{M P} = \vec{M A} + \vec{A P} = - \vec{A M} + \vec{A P} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{A D})$

= $- \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{d} = \frac{1}{2} (\vec{c} + \vec{d} - \vec{b})$ .

Bài 8. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt $\vec{A A^{'}} = \vec{a}; \vec{A B} = \vec{b}; \vec{A C} = \vec{c}$ . Gọi G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'. Vectơ $\vec{A G^{'}}$ bằng?

A. $\frac{1}{3} (\vec{a} + 3 \vec{b} + \vec{c})$ ;

B. $\frac{1}{3} (3 \vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ ;

C. $\frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + 3 \vec{c})$ ;

D. $\frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Cách chứng minh, phân tích các vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

Gọi I là trung điểm B'C'. Vì G' là trọng tâm tam giác A'B'C' => $\vec{A^{'} G^{'}} = \frac{2}{3} \vec{A^{'} I}$ .

Mặt khác $\vec{A G^{'}} = \vec{A A^{'}} + \vec{A^{'} G^{'}} = \vec{A A^{'}} + \frac{2}{3} \vec{A^{'} I} = \vec{A A^{'}} + \frac{1}{3} (\vec{A^{'} B^{'}} + \vec{A^{'} C^{'}})$

= $\vec{A A^{'}} + \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C}) = \frac{1}{3} (3 \vec{A A^{'}} + \vec{A B} + \vec{A C}) = \frac{1}{3} (3 \vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ .

Bài 9. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi O là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\vec{A O} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}})$ ;

B. $\vec{A O} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}})$ ;

C. $\vec{A O} = \frac{1}{4} (\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}})$ ;

D. $\vec{A O} = \frac{2}{3} (\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}})$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Cách chứng minh, phân tích các vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

Ta có $\vec{A C^{'}} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}}$ .

Mặt khác O là trung điểm AC' => $\vec{A O} = \frac{1}{2} \vec{A C^{'}} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}})$ .

Bài 10. Cho tứ diện ABCD. Điểm N xác định bởi đẳng thức sau $\vec{A N} = \vec{A B} + \vec{A C} - \vec{A D}$ . Mệnh đề nào đúng?

A. N là trung điểm BD;

B. N là đỉnh hình bình hành BCDN;

C. N là đỉnh hình bình hành CDBN;

D. N ≡ A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\vec{A N} = \vec{A B} + \vec{A C} - \vec{A D}$ ⇔ $\vec{A N} - \vec{A B} = \vec{A C} - \vec{A D}$ ⇔ $\vec{B N} = \vec{D C}$ .

Suy ra N là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDBN.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

HOT 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT, ĐGNL các trường ĐH fle word có đáp án (2025).

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho 2k7:

TÀI LIỆU FILE WORD DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

+ Bộ giáo án, đề thi tốt nghiệp THPT, DGNL các trường các trường có lời giải chi tiết 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/

+ Hỗ trợ zalo: VietJack Official

+ Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

500+ đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia form 2025

( 128 tài liệu )

100+ đề thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội, Tp.Hồ Chí Minh...

( 84 tài liệu )

Đề thi giữa kì, cuối kì 12

( 143 tài liệu )

Bài giảng Powerpoint Văn, Sử, Địa 12....

( 31 tài liệu )

Chuyên đề dạy thêm Toán, Lí, Hóa ...12

( 104 tài liệu )

Đề thi HSG 12

( 4 tài liệu )

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.