Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường eclip (cực hay)

---

---

Bài viết Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường eclip với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường eclip.

Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường eclip (cực hay)

Bài giảng: Các dạng bài tập hợp biểu diễn số phức cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Phương pháp giải

+ Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F₁;F₂, với F₁F₂ = 2c (c > 0). Đường Elip là tập hợp các điểm M sao cho trong đó a là số cho trước lớn hơn c.

Hai điểm F₁;F₂, được gọi là tiêu điểm của Elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của Elip.

+ Phương trình chính tắc của Elíp có tiêu điểm F₁ (c;0);F₂ (-c;0) :

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn |z - 4| + |z + 4| = 10 . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mô – đun của số phức z là

A.10 và 4        B. 5 và 4        C. 4 và 3        D. 5 và 3.

Lời giải:

Giải theo tự luận

Cách 1: Giả sử z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x ;y) . Giả sử F₁ (4;0); F₂ (0;-4) khi đó tập hợp các điểm M thỏa mãn là MF₁ + MF₂ = 10 là đường elip có các tiêu điểm là F₁;F₂, và trục lớn bằng 10.

Từ đó ta tìm được 2c = F₁F₂ = 8 <=> c = 4 .

2a = 10 nên a = 5

suy ra b² = a² - c² = 25 - 16 - 9 => b = 3 .

Từ đó

Vì M di động trên (E) nên z = |OM| lớn nhất, nhỏ nhất khi OM lần lượt là độ dài nửa bán trục lớn, nửa bán trục nhỏ. Hay max |z| = 5 ; min|z| = 3 .

Chọn D.

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức “tam giác” dạng |A| + |B| ≥ |A+B| suy ra

10 = |z - 4| + |z + 4| ≥ |(z - 4) + (z + 4)| = |2z| = 2|z| > |z| ≤ 5. Vậy |z| = 5 .

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi

Ví dụ 2: Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H).

Lời giải:

Giả sử z = a + bi, khi đó , giả thiết của bài toán là

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là điểm M(a; b) thuộc miền trong của elip (kể cả các điểm trên biên).

+ Bán trục lớn của (E) là a = 3, bán trục bé của (E) là b = 1 nên diện tích cần tính của miền (H) là S = πab = 3π .

Chọn A.

Ví dụ 3:Trong mặt phẳng phức Oxy, tâp hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho z² là số thuần ảo là hai đường thẳng d₁;d₂ . Góc giữa 2 đường thẳng d₁;d₂ là bao nhiêu?

A.α = 45^o . B.α = 60^o . C.α = 90^o . D.α = 30^o .

Lời giải:

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi

Ta có: z² = (x² - y²) + 2xyi là số thuần ảo =>

x² - y² = 0 ∧ xy ≠ 0 => y = ± x => α = 90^o

Chọn C.

Ví dụ 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + 2| + |z - 2| = 5 trên mặt phẳng tọa độ là một

A. đường thẳng.        B. đường tròn.        C. elip.        D. hypebol.

Lời giải:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M(x; y) biểu diễn số phức z = x + yi.

Đặt F₁ (-2;0);F₂ (2;0) khi đó (1) <=> MF₁ + MF₂ = 5 ;

suy ra M nằm trên Elip có hai tiêu điểm là F₁;F₂ và bán kính trục lớn là .

Phương trình của elip đó là

Chọn C.

Ví dụ 5: Trên mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức |z - 2| + |z + 2| = 10 thỏa mãn điều kiện .

Lời giải:

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi,x;y ∈ R .

Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2

Gọi B là điểm biểu diễn số phức -2

Ta có:|z - 2| + |z + 2| = 10 <=> MA + MB = 10 .

Ta có AB = 4.

Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip với 2 tiêu điểm là A(2; 0), B( -2; 0) tiêu cự AB = 4 = 2c, độ dài trục lớn là 10 = 2a , độ dài trục bé là

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 2| + |z + 2| = 10 là elip có phương trình

Chọn D

Ví dụ 6:Cho số phức z thỏa mãn |z - 2| + |z + 2| = 8 . Trong mặt phẳng phức tập hợp những điểm M biểu diễn cho số phức z là?

Lời giải:

Gọi M(x,y), F₁(-2;0) , F₂(-2;0)

Ta có :

Do đó điểm M(x; y) nằm trên elip (E ) có 2a = 8 nên a=4

Ta có F₁F₂ = 2c <=> 4 = 2c <=> c = 2 .

Ta có b² = a² - c² = 16 - 4 = 12

Vậy tập hợp các điểm M là elip

Chọn A.

Ví dụ 7:Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức thoả mãn điều kiện: là hình gì?

A. Một đường thẳng.        B. Một đường Parabol.

C. Một đường Elip.        D. Một đường tròn.

Lời giải:

Theo giả thiết

<=> a² + (b - 1)² = (b + 1)²

<=> a² = 4b

Quỹ tích các số phức z là một đường Parabol.

Chọn B.

Ví dụ 8:Cho số phức z = m - 2 + (m² - 1)i với m ∈ R . Gọi (C) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và Ox.

Lời giải:

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z.

Chọn B.

Ví dụ 9: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn . Tập hợp tất cả những điểm M như vậy là

A. một parabol.        B. một đường thẳng.        C. một đường tròn.        D. một elip.

Lời giải:

Gọi số phức z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x;y) trên mặt phẳng tọa độ:

Theo đề bài ta có:

Vậy tập hợp các điểm M(x;y) biểu diễn số phức z theo yêu cầu của đề bài là parabol .

Chọn A.

Ví dụ 10: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

A. Là đường Hyperbol.

B. Là đường Hyperbol.

C. Là đường tròn tâm 0 bán kính R = 4.

D. Là hai đường Hyperbol

Lời giải:

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi

Ta có:

Chọn D

Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho số phức z thỏa mãn $\left|z-2\right|+\left|z+2\right|=6$. Tìm GTLN và GTNN của P = $\left|z-1+3i\right|$.

Bài 2. Cho số phức z thỏa mãn $\left|z-1+3i\right|+\left|z+2-i\right|=8$. Tìm GTLN và GTNN của P = $\left|2z+1+2i\right|$.

Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn $\left|z-i\right|+\left|z-3+3i\right|=6$. Tìm GTLN và GTNN của A = $\left|z-6+7i\right|$.

Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn $\left|z+2-i\right|+\left|z-4+7i\right|=10$. Tìm GTLN và GTNN của T = $\left|z-1-4i\right|$.

Bài 5. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $\left|\frac{z}{z-i}\right|=3$ là đường:

A. Một đường elip.

B. Một đường parabol.

C. Một đoạn thẳng.

D. Một đường tròn.

Bài 6. Cho số phức z thỏa mãn |z + 2| + |z − 2| = 4. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ là:

A. Một đường elip.

B. Một đường parabol.

C. Một đoạn thẳng.

D. Một đường tròn.

Bài 7. Cho 2 số phức z₁ = x + yi với x, y ∈ ℝ⁺, z₂ thoả mãn $\left|z_1-1+yi\right|=2;\left|z_2\right|=1$. Tìm GTNN của P = $\left|z_1-z_2\right|$.

Bài 8. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn $\left|z-i\right|+\left|z+i\right|=4$ là:

A. Hình tròn tâm I(0; – 1), bán kính R = 4.

B. Elip (E): $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$.

C. Elip (E): $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$.

D. Elip (E): $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=4$.

Bài 9. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $\left|z+3\right|+\left|z-3\right|=10$ là đường elip. Tìm phương trình đường elip đó.

Bài 10. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng phức, số phức z thỏa mãn điều kiện $\left|z-4\right|+\left|z+4\right|=10$:

A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm O(0; 0) và có bán kính R = 4.

B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$.

C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm M(x; y) trong mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn phương trình $\sqrt{{\left(x+4\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-4\right)}^2+y^2}=12$.

D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

Bài giảng: Các dạng bài tập hợp biểu diễn số phức nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Điểm biểu diễn số phức
• Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng
• Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn
• Dạng 4: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là một miền

---

---

---