Tìm điểm thuộc đường thẳng trong không gian thỏa mãn điều kiện

Bài viết Tìm điểm thuộc đường thẳng trong không gian thỏa mãn điều kiện với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm điểm thuộc đường thẳng trong không gian thỏa mãn điều kiện.

Tìm điểm thuộc đường thẳng trong không gian thỏa mãn điều kiện

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

+ Để tìm điểm thỏa điều kiện cho trước ta thường tham số hóa điểm M theo biến t, sau đó ta chỉ cần tìm giá trị t (dựa vào điều kiện bài toán đưa ra).,

Để tham số hóa điểm M ta phải đưa đường thẳng Δ về dạng tham số.

+ Sử dụng công thức tính khoảng cách hai điểm; khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng....

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và điểm A( 2; - 5; - 6) . Tìm tọa độ điểm M nằm trên Δ sao cho .

A. M(1; 0 ; 1) hoặc M(5; 0; - 7) .

B. M (1; -2; -1) hoặc M( 5; 0; - 7) .

C. M( 1; 0; -2) hoặc M( - 5; 0; 7)

D. Đáp án khác

Lời giải:

Vì điểm M thuộc Δ nên tọa độ M(1+ 2t;-2+ t; -1- 3t )

Chọn B.

Ví dụ: 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng (α): x- 2y – 2z + 5= 0. Tìm điểm A trên d sao cho khoảng cách từ A đến α bằng 3.

A. A( 0; 0 ; - 1) hoặc ( 1; 2; 3)

B. A( -2; 1; - 2) .

C. A( 2;-1; 0) hoặc ( 0; 0; -1)

D. Đáp án khác

Lời giải:

Điểm A nằm trên đường thẳng d nên tọa độ A( 2t; -t; -1+ t)

Ta có khoảng cách từ A đến α là

Chọn D.

Ví dụ: 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ y+ z- 3= 0 và đường thẳng . Biết điểm M thuộc Δ và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng . Tọa độ điểm M là

A. M( 4; -5 ; - 2) hoặc M( 2; 1; 0)

B. M( -1; -3; 2) hoặc M( -2; 7; 4)

C. M( 4; -5; - 2) hoặc M( -2; 7; 4)

D. Tất cả sai

Lời giải:

Suy ra M( 4; -5; - 2) hoặc M( - 2; 7 ; 4)

Chọn C.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và hai điểm A(1; -1; 2); B( 2;-1; 0) . Biết điểm M có hoành độ dương thuộc Δ và tứ diện OABM có thể tích bằng ( với O là gốc tọa độ ). Khi đó tọa độ điểm M là

A.M( 3; - 2; 1)

B. M( 11; -6; 5)

C. M( 5; -3; 2)

D. M( 7; -4; 3)

Lời giải:

Suy ra ⇒

Khi đó thể tích tứ diện OABM là

Chọn B.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng ( P): 3x- 4y + 1= 0, ( Q): 4x+ 3z – 10 = 0 và đường thẳng . Có điểm A thuộc d và cách đều hain mặt phẳng (P) và ( Q) . Tọa độ điểm A là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Do điểm A thuộc đường thẳng d nên tọa độ A( t; - 1+ 2t;2- t)

Ta có: d(A;(P))= d( A; ( Q))

Chọn A

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và hai điểm A( -2; 1;1) và B( -3; -1; 2). Điểm M có hoành độ dương thuộc Δ và tam giác MAB có diện tích bằng . Khi đó tọa độ điểm M là :

A. M( - 1; 3; - 1)

B. M( 0; 7; - 9)

C.M( -9; 2; 1)

D. M( -2; 1; - 5)

Lời giải:

Diện tích tam giác MAB là:

Chọn D.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Biết M thuộc tia Ox và khoảng cách từ M đến Δ bằng OM. Tọa độ điểm M là

A. M( 1; 0; 0 )

B. M( -2; 0; 0)

C. M(2; 0; 0 )

D.M( - 1;0; 0 )

Lời giải:

Do điểm M thuộc tia Ox nên tọa độ M( t; 0; 0) với t > 0 .

Suy ra

Mà

Chọn C.

Ví dụ: 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Xét hình bình hành ABCD có A( 1;0;0), C( 2; 2;2) và biết diện tích hình bình hành ABCD bằng . Tọa độ điểm B

A. B(0;- 2;4)

B. B( -2; 3; 1)

C. B( 0;1; 3)

D. Tất cả sai

Lời giải:

Điểm D thuộc d nên D (-2+ t; 3- 2t;1- 2t)

Khi đó

Ta có:

Suy ra

Từ (1) và ( 2) suy ra

Mặt khác ABCD là hình bình hành nên

Chọn D.

Ví dụ: 9

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu (S): x₂+ y₂ + z₂ -2x – 4y + 2z+5= 0 . Tọa độ điểm M trên (S) sao cho d(M; d) đạt GTLN là:

A. (1; 2; -1).

B. ( 2;2; -1).

C.(0; 2; -1).

D. (-3; - 2; 1)

Lời giải:

+Mặt cầu ( S) có tâm I( 1;2; -1) bán kính R= 1

+ Đường thẳng d đi qua A( 2; 0;1) và có vecto chỉ phương

Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là:

Suy ra (S) tiếp xúc với d và tiếp điểm là H.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d=> H( 2; 2; -1)

Đường thẳng IH: đi qua I(1; 2; -1) và có vecto chỉ phương

=> Phương trình IH:

Tọa độ giao điểm của IH và (S) là nghiệm hệ phương trình: x₂+ y₂ + z₂ -2x – 4y + 2z+5= 0 .

Thay (1); (2) và(3) vào (*) ta được :

(1+ t)2+ 4+1- 2( 1+ t) – 4.2 + 2. ( -1) + 5= 0

Ta có:

Vậy khoảng cách từ M đến d đạt giá trị lớn nhất khi M≡A( 0;2; -1).

Chọn C.

Ví dụ: 10

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-3;3; -3)thuộc mặt phẳng (α):2x-2y+z+15=0 và mặt cầu (S):(x-2)²+(y-3)²+(z-5)²=100. Đường thẳng Δ qua A, nằm trên mặt phẳng (α) cắt (S) tại A; B. Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; 5) , bán kính R= 10.

Khoảng cách từ I đến (α) là:

=> Δ luôn cắt (S) tại 2 điểm A và B.

Khi đó

Do đó, AB lớn nhất thì d(I,(Δ)) nhỏ nhất nên Δ qua H với H là hình chiếu vuông góc của I lên (α). Phương trình

Do vậy là véc tơ chỉ phương của Δ .

Phương trình của Δ:

Chọn A.

Ví dụ: 11

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-3; 3; -3) thuộc mặt phẳng (α):2x-2y+z+15=0 và mặt cầu (S):(x-2)²+(y-3)²+(z-5)²=100 và . Đường thẳng Δ qua A, nằm trên mặt phẳng (α) cắt (S) tại A; B. Để độ dài AB nhỏ nhất thì phương trình đường thẳng là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; 5) , bán kính R= 10.

Khoảng cách từ I đến (α) là:

=> luôn cắt (S) tại 2 điểm A và B.

Khi đó .

Do đó AB nhỏ nhất thì d(I,(Δ)) lớn nhất nên Δ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và vuông góc với AI.

Do đó Δ có véctơ chỉ phương

Vậy, phương trình của Δ: .

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng và mặt phẳng (Oxz) cắt d₁; d₂ lần lượt tại các điểm A; B. Diện tích S của tam giác OAB bằng bao nhiêu

A. S= 5

B. S= 3

C. S= 6

D. S= 10

Lời giải:

Mặt phẳng (Oxz) có phương trình: y= 0

Theo giả thiết ta có :

Chọn A.

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x- y- 2z= 0 và đường thẳng . Tìm tọa độ điểm A thuộc Ox sao cho A cách đều d và (P).

A. A( 2; 0; 0) .

B. A( 3; 0; 0) .

C. A( 4; 0; 0) .

D. A( 5; 0; 0).

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua M( 1; 0;-2) và có VTCP .

Do A thuộc Ox nên A( a;0; 0) .

Ta có:

Theo giả thiết d( A;(P)) = d( A; d)

Chọn B.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1; 4; 2) , B( -1;2; 4) và đường thẳng . Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho MA²+ MB² = 40.

A. M( 0;1; 2) hoặc M( - 2; 1; 6) .

B. M( 0;1; – 2) hoặc M( 2; 1; 6) .

C. M( 0;-1;2) hoặc M( -2; 1; 6) .

D. M(0;1; 2) hoặc M( 2; 1; 6) .

Lời giải:

Do M thuộc d nên tọa độ M( 1- t; - 2+ t; 2t)

Ta có

Theo giả thiết MA²+ MB² = 40 nên :

+ với t= 1 ta có M( 0; - 1; 2)

+ Với t= 3 ta có M( -2; 1; 6)

Chọn C.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và điểm M( 4; 0; 4) . Tìm trên đường thẳng d hai điểm A; B sao cho tam giác MAB đều.

A. A( 4; 4;0) và B(0; 0 ;0 ) .

B. A(0; 0 ;0) và B( 4; 4; 0)

C. A( 4; 4;0) ; B( 0;0; 0) hoặc A(0; 0 ;0); B( 4; 4; 0) .

D. Không có điểm thỏa mãn điều kiện bài toán.

Lời giải:

Do A và B thuộc d nên tọa độ A( 1+a; 1+ a;0); B( 1+ b; 1+ b; 0) với a ≠ b.

Ta có : .

Tam giác MAB đều khi và chỉ khi :

Từ ( 1) suy ra: 2a²- 4a = 2b² – 4b

⇔ ( 2a²- 2b² ) – 4( a- b) = 0

⇔ 2( a- b) ( a+ b) – 4( a- b) = 0

⇔ ( a- b) ( 2a+ 2b- 4) =0

⇔

Thay a=2- b vào ( 2) giải (2) ta được .

Vậy có 2 cặp điểm thỏa mãn đầu bài là:

Chọn C.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; -1; 3) và đường thẳng . Tìm trên đường thẳng d điểm H sao cho AH có độ dài nhỏ nhất.

A.H( 1; 2; -1) .

B. H(-1; 2; 1).

C. H( 5; 2; -2).

D. H( 3; 2; -1).

Lời giải:

Điểm H thuộc d nên tọa độ H(1+ 2t;2; -t). Khi đó

Dấu “=” xảy ra khi t= -1.

Suy ra H( - 1; 2;1).

Chọn B.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và hai điểm A(0; 1; 1) , B( -5; 0; 5). Điểm M thuộc d thỏa mãn MA²+ MB² có giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất đó bằng:

A. 28

B. 76

C.

D. 4

Lời giải:

Điểm M thuộc d nên M(1-t; - 2+ t; 2t).

Ta có

Suy ra MA²= ( t-1)²+ ( 3-t)²+ (1- 2t)² = 6t² – 12t + 11

MB²= ( t-6)² + (2-t)² + ( 5- 2t)² = 6t² - 36t + 65

Do đó : MA²+ MB² = 6t² – 12t + 11+ 6t² – 36t+ 65

= 12t² – 48t+76 = 12(t-2)² + 28 ≥ 28

=> MA²+ MB² đạt giá trị nhỏ nhất là 28; dấu “=” xảy ra khi t= 2

Chọn A.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;1;1); B( -5;0; 5) và đường thẳng đường thẳng . Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho có giá trị nhỏ nhất.

A. M(1; -2; 0).

B. M( -1;2; 0).

C. M( -3; 2;8)

D. M( 0; -1; 2) .

Lời giải:

Điểm M thuộc d nên M( 1-t; -2+ t; 2t)

Ta có:

Suy ra .

Do đó:

Dấu “=” xảy ra khi t= 4.

Suy ra: M( - 3; 2; 8) .

Chọn C.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;-5;2); B(3; -1; -2) và đường thẳng . Điểm M thuộc d thỏa mãn có giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất đó bằng:

A.

B.

C. 21

D. 29

Lời giải:

Điểm M thuộc d nên M( - 3+ 4t; 2+t; -3+ 2t).

Ta có : .

Suy ra:

Vậy giá trị nhỏ nhất của là 29 khi t= 1

Chọn D.

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;1;1), B( 1;2;1) và đường thẳng . Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho diện tích tam giác MAB có giá trị nhỏ nhất.

A. M( 2; -3; -2).

B. M(0;1; -2)

C. M(1;-2; 0)

D. M( -1; 0;4)

Lời giải:

Điểm M thuộc d nên M( t; -1- t; 2- 2t)

Ta có : .

Suy ra: .

Do đó: .

Dấu “=” xảy ra khi t= 0. Suy ra M( 0;-1; 2).

Chọn C.

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x- 2y- z+ 9= 0 và mặt cầu (S):(x-3)²+(y+2))²+(z-1)²=100 . Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) đạt giá trị nhỏ nhất là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I( 3; -2; 1).

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là

=> Mặt phẳng (P) cắt ( S).

Để khoảng cách từ M thuộc (S) đến (P) lớn nhất thì M thuộc đường thẳng d: đi qua tâm I và vuông góc với mp(P)

Phương trình: .

Ta có :

Mà :

Thử lại ta thấy : thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Câu 11:

Cho hai đường thẳng . Tìm mênh đề đúng?

A. Hai đường thẳng đã cho có nhiều hơn một điểm chung

B. Hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại điểm A( 1; 1;1)

C. Hai đường thẳng đã cho chéo nhau.

D. Hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại điểm B(3; 0; -1) .

Lời giải:

+ Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho:

Phương trình tham số của d:

Xét hệ phương trình: (1)

Hệ phương trình có 1 nghiệm. Vậy d cắt d’

+ Thay t = 0 vào phương trình tham số của d’ ta được giao điểm là B (3; 0; -1).

Chọn D.

Câu 12:

Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x + 2y + z – 2 = 0 Tìm mệnh đề đúng?

A. Đường thẳng d và mặt phẳng (P) có nhiều hơn một điểm chung

B. Đường thẳng d và mặt phẳng (P) cắt nhau tại một điểm có hoành độ âm.

C. Đường thẳng d và mặt phẳng (P) cắt nhau taị một điểm có tung độ âm.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Phương trình tham số của d là:

Thay x, y, z ở phương trình trên vào phương trình tổng quát của (P), ta được:

(1+2t) + 2(-1+t) + (-t) – 2 = 0 (1)

⇔ 3t – 3=0 hay t= 1

Phương trình (1) có 1 nghiệm t = 1, vậy d cắt (P) tại điểm A( 3;0; -1)

=> D đúng

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian với tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(1;4;2); B(−1;2;4) và đường thẳng Δ: $\frac{x-1}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{2}$. Tìm điểm M thuộc Δ sao cho MA² + MB² = 28.

Bài 2. Trong không gian với tọa độ Oxyz, tìm trên Ox điểm A sao cho A cách đều đường thẳng d: $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{2}$ và mặt phẳng (P): 2x – y – 2z = 0.

Bài 3. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: $\frac{x}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{2}$ và hai điểm A(2;−1;1); B(0;1;−2).Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất.

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(5;8;−11); B(3;5;−4); C(2;1;−6) và đường thẳng d: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{1}$. Điểm M thuộc d sao cho $\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm M?

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng $\frac{x}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{2}$. Biết M thuộc tia Ox và khoảng cách từ M đến Δ bằng OM. Tìm tọa độ điểm M.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách
• Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• 60 câu hỏi trắc nghiệm đường thẳng trong không gian có lời giải (phần 1)
• 60 câu hỏi trắc nghiệm đường thẳng trong không gian có lời giải (phần 2)

---