Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

Bài viết Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách.

Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A(2;3; -1) cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng (α): x+ y+ z – 1= 0 bằng .

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Do điểm B thuộc d nên tọa độ B( 1+ t; 2+ 2t; - t)

Do khoảng cách từ B đến mặt phẳng (α): x+ y+ z – 1= 0 bằng nên:

+ Với t= 2 ta có B(3; 6;-2).

Đường thẳng Δ≡AB: đi qua B(3;6; -2) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

Δ Phương trình Δ:

+ Với t= -4 ta có B(- 3; - 6;4)

Đường thẳng Δ≡AB đi qua B(- 3;-6;4) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

Δ Phương trình Δ:

Chọn D.

Ví dụ: 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A(-2;2;1) cắt trục tung tại B sao cho OB= 2OA

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Do B thuộc trục tung Oy nên B(0;b;0)

+ Ta có:

+ Do OB= 2OA nên |b|=2.3=6 ⇔

+ Với b= 6=> B( 0;6; 0)

Đường thẳng AB qua B( 0;6; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=>Phương trình AB:

+ Với b= -6 => B (0; - 6; 0)

Đường thẳng AB đi qua B( 0; - 6; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình AB:

Chọn D.

Ví dụ: 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm B(1;1;2) cắt đường thẳng tại C sao cho tam giác OBC có diện tích bằng .

A.

B.

C.

D. Cả A và C đúng

Lời giải:

+ Điểm C thuộc d nên tọa độ C( 2+ t; 3- 2t; - 1+ t)

+ Diện tích tam giác OBC là:

+ Với t= 2=> C( 4; -1; 1)

Ta có đường thẳng BC: đi qua B( 1; 1; 2) và vecto chỉ phương

Phương trình BC:

+

Đường thẳng BC: đi qua B( 1; 1; 2) và vecto chỉ phương chọn ( 31; 78; -109)

=> Phương trình BC:

Vậy phương trình của Δ là

Chọn D

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng , mặt phẳng (P): x+ y+ z+ 2= 0 . Gọi M là giao điểm của d và (P). Gọi Δ là đường thẳng nằm trong (P) vuông góc với d và cách M một khoảng bằng . Phương trình đường thẳng Δ là

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của d và (P) là M

M thuộc d nên M( 3+ 2t; - 2+ t; - 1- t)

Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

3+ 2t - 2+ t- 1- t + 2 = 0

⇔ 2t + 2= 0 ⇔ t= - 1 nên M( 1; -3; 0)

+ Mặt phẳng (P) có vecttơ pháp tuyến .

+ Đường thẳng d có vecttơ chỉ phương

+ Do đường thẳng Δ nằm trong (P) và vuông góc với d nên một vectoc chỉ phương của đường thẳng Δ là:

+ Gọi N( x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên Δ, khi đó .

Ta có:

Giải hệ ta tìm được hai điểm N( 5; - 2; - 5) và N( - 3;– 4; 5).

Với N( 5 ; - 2 ; - 5) , ta có phương trình Δ:

Với N( -3 ; -4 ; 5) , ta có phương trình Δ:

Chọn A.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng . Đường thẳng d song song với (P): x+ y- 2z + 5= 0 và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ lần lượt tại A; B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng d là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi giao điểm của đường thẳng d với hai đường thẳng d₁; d₂ lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d₁ nên A( - 1+ a; - 2+2a; a)

Điểm B thuộc d₂ nên B( 2+ 2b; 1+ b; 1+ b)

+ Mà đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên: là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P).

=> 1( -a+ 2b+ 3) + 1( -2a+b+ 3) – 2( - a+ b+ 1) = 0

⇔ -a + 2b + 3 – 2a + b+ 3 + 2a- 2b- 2= 0

⇔- a+ b+ 4= 0 hay b= a- 4

Khi đó;

Dấu “=” xảy ra khi a= 2 => b= 2- 4= - 2

=> A(1; 2; 2) và B( - 2; - 1; - 1)

+ Đường thẳng d: qua điểm A(1;2;2); có vectơ chỉ phương chọn (1;1; 1)

Vậy phương trình của d là

Chọn B.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) x+ y- z- 1 = 0 , hai đường thẳng . Đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng ( α) và cắt (Δ'); (d) và (Δ) chéo nhau mà khoảng cách giữa chúng bằng có vecto chỉ phương là:

A .

B .

C .

D .

Lời giải:

+ Mặt phẳng (α) có VTPT , đường thẳng (Δ) có VTCP

⇒n→ và u_Δ→ cùng phương nên (Δ) ⊥ (α).

+ Gọi A=(Δ') ⋂ (α)⇒A(0;0;-1) ; B=(Δ)⋂(α)⇒B(1;0;0)⇒

+ Vì (d) ⊂(α) và (d) cắt (Δ') nên (d) đi qua A và (Δ) ⊥ (α) nên mọi đường thẳng nằm trong (α) và không đi qua B đều chéo với (Δ).

+ Gọi là VTCP của (d) ⇒ u_d→.n→=a+b-c=0 (1) và u_d→ không cùng phương với AB→ (2)

+ Ta có: d(d; Δ) = d( B; d)

Từ (1) và (3)⇒ ac=0 ⇒ .

• Với a= 0. Chọn b= c= 1 ⇒

• Với c= 0. Chọn a= 1; b= -1⇒ .

Chọn C.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng có phương trình . Viết phương trình đường thẳng Δ, biết Δ cắt ba đường thẳng d₁ ; d₂ ; d₃ lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB= BC.

A .

B .

C .

D .

Lời giải:

+ Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d₁ ; d₂ ; d₃.

Giả sử A(t;4–t;-1+2t),B(u;2–3u;-3u),C(-1+5v;1+2v;-1+v).

+ Ta có: A, B, C thẳng hàng và AB = BC ⇔ B là trung điểm của AC

=> Tọa độ ba điểm A( 1; 3;1); B( 0; 2; 0) và C( - 1;1; -1) .

+ Đường thẳng Δ đi qua B( 0; 2; 0) và có vecto chỉ phương

=> phương trình đường thẳng

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng và mặt phẳng (P): - x+y+2z + 5= 0. Viết phương trình đường thẳng (Δ) nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là .

A .

B .

C .

D .

Lời giải:

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến

+ Chọn A(2;3; 3), B(6;5; 2) (d), mà A, B ∈ (P) nên (d) ⊂ (P) .

Gọi d₁ là đường thẳng đi qua A nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d.

Gọi u→ là VTCP của d₁ thì

=> Phương trình của đường thẳng

+ Gọi M là giao điềm của đường thẳng d₁ và Δ.

=> M(2+3t; 3 9t; 3+6t) ∈( d₁) .

Ta có AM là đoạn vuông góc chung của d và Δ nên :

Chọn C.

Câu 2:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+ y- z+ 1= 0 và đường thẳng . Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng Δ nằm trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến Δ bằng .

A .

B .

C .

D .

Lời giải:

+ Mặt phẳng (P) có VTPT và d có .

Gọi I là giao điểm của d và (P). Tọa độ I( 2+ t; 1-t; 1- 3t)

Thay tọa độ I vào (P) ta được:

2+ t+1- t- 1+ 3t + 1= 0

⇔3t + 3= 0 ⇔ t= -1 nên I ( 1; 2; 4)

+ Vì Δ ⊂(P);Δ⊥d ⇒ Δ có véc tơ chỉ phương

Gọi H là hình chiếu của I trên => H thuộc ( Q) qua I và vuông góc Δ.

⇒ Phương trình (Q): -2(x-1)+(y-2)-(z-4)=0⇔-2x+y-z+4=0

Gọi d_1=(P)∩(Q) có VTCP và d₁ qua I

⇒

+ Giả sử H∈d₁⇒ H(1;2+t;4+t)⇒ .

Ta có:

• Với t= 3 => H( 1; 5; 7) ⇒ Phương trình

• Với t- 3 => H( 1; -1; 1) ⇒ Phương trình

Chọn A.

Câu 3:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+ y- 2z+ 9= 0và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với (P) và cắt d tại một điểm M cách (P) một khoảng bằng 2.

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Vì Δ ⊥ (P) nên Δ nhận làm VTCP.

Giả sử M(t-1;7t+1;3-t)∈ d.

Ta có: d( M; (P))= 2 ⇒ |11t+2|=6 ⇒

+ Với

=> Phương trình Δ:

+ Với

=> Phương trình Δ:

Chọn A.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x- 2y + 2z - 1= 0 và hai đường thẳng . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng Δ₁ sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ₂ và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. Biết M có tọa độ nguyên.

A. M( 0; 1; - 3)

B. M( 1; 2;3)

C. M( -1; 0; -9)

D. M( -2; - 1; - 15)

Lời giải:

+ M (–1 + t; t; –9 + 6t) ∈ Δ₁

Đường thẳng Δ₂ qua A (1; 3; –1) có véctơ chỉ phương

+ Ta có : d (M, Δ₂) = d (M, (P))

Vậy M (0; 1; –3) hay ( Loại vì tọa độ M nguyên )

Chọn A.

Câu 5:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x- 2y + 2z – 1= 0 và các đường thẳng . Tìm các điểm M ∈ d₁ ,N∈d₂ sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.

A .

B .

C .

D .

Lời giải:

+ Phương trình tham số của d₁ là: . M ∈ d₁ nên tọa độ của M .

Theo đề:

+ Với t = 1 ta được M₁ (3; 0; 2)

+ Với t = 0 ta được M₂ ( 1; 3; 0)

• Ứng với M₁, điểm N₁ cần tìm phải là giao của d₂ với mp qua M₁ và // (P), gọi mp này là (Q₁).

Phương trình (Q₁) là: (x-3)-2y+2(z-2)=0⇔x-2y+2z-7=0(1).

+ Phương trình tham số của d₂ là:

Thay (2) vào (1), ta được: t = –1. Điểm N₁ cần tìm là N₁(–1;–4;0).

• Ứng với M₂, tương tự tìm được N₂(5;0;–5).

Chọn C

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P): x- 2y + 2z – 1= 0, đường thẳng và điểm I( 2; 1; -1). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho IM= .

A . M(3;0;2)

B. M( 2; - 1; 2)

C . M( 1; 2; 0)

D . M( -1; 2; - 3)

Lời giải:

Từ giả thiết ta có phương trình tham số của đường thẳng d :

Điểm M thuộc d nên tọa độ M( 1+ 2t; 3- 3t;2t)

Với t₁=1 ⇒ M(3;0;2)

Với

Vậy, có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là : M( 3 ; 0 ; 2) và .

Chọn A.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho đường thẳng . Biết rằng khoảng cách hai đường thẳng đã cho là . Có mấy giá trị của thỏa mãn ?

A. 0

B. 1

C.2

D. 3

Lời giải:

+ Đường thẳng d1 : đi qua A( 1 ; 2 ; 2) và có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d2 : đi qua B( -1 ;1 ; - m) và có vecto chỉ phương

+ta có ;

=> Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho là:

Theo đầu bài ta có:

Chọn C.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
• Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
• Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng
• Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
• Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

---