Cách tìm Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng (cực hay)

Bài viết Cách tìm Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng.

Cách tìm Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng (cực hay)

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên đường thẳng d

- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d

- Tìm H là giao điểm của d và (P) => H là giao điểm của A trên d

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên mặt phẳng (P)

- Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P)

- Tìm H là giao điểm của d và (P) => H là giao điểm của A trên (P)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Tìm hình chiếu vuông góc của A(1; 2; 1) trên đường thẳng d:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d có vecto chi phương .

+ Gọi mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình của (P) là:

1(x – 1) + 2. (y – 2) – 2.(z – 1) = 0 hay x + 2y – 2z – 3 = 0

+ Tìm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ H( t – 2; 2t + 1; -2t – 1) thỏa mãn :

(t-2) + 2(2t+1) – 2(-2t-1) – 3 = 0 <=> t = 1/9

Vậy H là hình chiếu của A trên d và

Chọn A.

Ví dụ: 2

Cho M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +2 = 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P)

A. ( 2; 1; 0)

B. ( - 2;0; 1)

C.(-1; 0; 0)

D. ( 0; 2; 1)

Lời giải:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương

Phương trình của d là:

+ Tìm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ của H(1+2t, -1-t; 2+2t) thỏa mãn:

2(1+2t) – (-1-t) + 2(2+2t) + 2 = 0

⇔ 2+ 4t + 1+ t + 4 + 4t + 2 = 0

⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t= - 1 nên H ( - 1; 0; 0)

Chọn C.

Ví dụ: 3

Cho điểm M (2; -1; 8) và đường thẳng . Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

A. ( 1; 2; 1)

B.( 5; - 3; 4)

C. ( -2; 1;3)

D. ( 1;1;3)

Lời giải:

Phương trình tham số của d là:

Xét điểm H(1+2t; -t-1; 2t) thuộc d

Đường thẳng d có vecto chỉ phương

H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi

⇔ 2(2t-1) – 1(-t) + 2(2t-8) = 0

⇔ 4t- 2+ t + 4t – 16 = 0

⇔ 9t – 18= 0 nên t= 2

=> Hình chiếu vuông góc của M lên d là H(5; - 3; 4)

Chọn B.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M( -1; 3; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?

A. ( -1;3; 0)

B. ( -2; 1; 0)

C. ( -1; 2; 1)

D. ( - 2; -1; 1)

Lời giải:

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được:

=> Điểm M thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d là chính điểm M .

Chọn A.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ 2y – z+ 5= 0 và điểm M( -1; 2; 1). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)

A. ( 1; 0; 2)

B. ( -1; 0; 2)

C. (- 2; 0; 2)

D. ( -1; 2; -2)

Lời giải:

+Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

+ Gọi d là đường thẳng đi qua M ( -1; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

+ Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P) chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Thay x= - 1+ t; y= 2+ 2t;z= 1- t vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

( -1+ 2t)+ 2(2+ 2t) – ( 1- t) + 5= 0

⇔ - 1+ 2t+ 4 + 4t – 1+ t+ 5= 0

⇔ 7t+ 7= 0 ⇔ t= - 1 nên H( -2; 0; 2)

Chọn C.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M(1; 1; 1). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?

A.( 1; 0; - 2)

B. ( -2; 1; 1)

C. ( 1; 2; 3)

D. (- 1; 0; 6)

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua A(0; 0; 2) và có vecto chỉ phương

+ Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến

=> Phương trình mặt phẳng (P):

-1( x- 1) + 2( y-1) + 1( z- 1) = 0 hay – x + 2y + z – 2= 0

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

+ Điểm H thuộc đường thẳng d nên H(- t; 2t; 2+ t) . Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

- ( - t) + 2. 2t+ 2+ t- 2= 0 ⇔ 6t = 0 ⇔ t= 0

=> Hình chiếu của M lên d là H ( 0; 0; 2)

+ Do M' đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM'.

⇒ Tọa độ điểm M'(−1; −1; 3).

Chọn D.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y - 4= 0 và điểm A( 1; 1; 0). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Tìm A’.

A. ( 3; -3; 0)

B. ( -2; 1; 3)

C. ( 0;2; -1)

D. (-2; 3; 1)

Lời giải:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi d là đường thẳng đi qua A( 1; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó đường thẳng d có vecto chỉ phương là ( 1; -2; 0)

=> Phương trình đường thẳng

+ Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ( P). Khi đó; H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P):

=> H( 1+ t; 1- 2t; 0) thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta có:

1+ t – 2( 1- 2t) - 4= 0 hay t= 1

=> H( 2; - 1; 0) .

Vậy hình chiếu vuông góc của A lên ( P) là H( 2; -1; 0) .

+ Do A’ là điểm đối xứng với A qua (P) nên H là trung điểm của AA’.

=> Tọa độ A’(3; -3; 0)

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Tìm hình chiếu vuông góc của A(- 2; 1;0) trên đường thẳng

A. ( -2; 0; 1)

B. ( 2; -1;- 5)

C. ( 0;3;-3)

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d có vecto chi phương .

+ Gọi mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình của (P) là:

- 2(x + 2) + 1. (y – 1) – 2.(z – 0) = 0 hay - 2x + y- 2z – 5= 0

+ Tìm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ H( - 2t; t; -7- 2t) thỏa mãn :

- 2(- 2t) + t – 2( -7- 2t) – 5= 0

⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t= - 1

Vậy H là hình chiếu của A trên d và H(2; -1; -5)

Chọn B.

Câu 2:

Cho M( 0; 1; 3) và mặt phẳng (P): x + y - z +2 = 0. Gọi H ( a; b; c ) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tính a+ b + c?

A. - 2

B. 6

C. - 4

D. 4

Lời giải:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P); nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương

Phương trình của d là:

+ Tìm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ của H( t; 1+ t; 3- t) thỏa mãn: t+ 1+ t- ( 3- t) + 2= 0

⇔ 3t= 0 nên t= 0

=> Tọa độ H( 0;1;3)

=> a+ b+ c= 0+1+3 = 4

Chọn D.

Câu 3:

Cho điểm M ( - 2; 1; - 2) và đường thẳng Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

A. ( 1; 2; 1)

B.( 0; 2; 2)

C. ( - 1; 2; 0)

D. (0; 1; 0)

Lời giải:

Xét điểm H(-t; 2- 2t; 2+ t) thuộc d

Đường thẳng d có vecto chỉ phương

H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi

⇔ - 1( - t+ 2)- 2( 1- 2t) + 1( 4+ t) = 0

⇔ t- 2- 2+ 4t + 4+ t = 0

⇔ 6t = 0 nên t= 0

=> Hình chiếu vuông góc của M lên d là H( 0; 2; 2)

Chọn B.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M( -2; 1; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?

A. (1; 0; -2)

B. ( -2; 1; 0)

C. ( -1; 2; 1)

D. ( - 2; -1; 1)

Lời giải:

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được:

=> Điểm M thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d là chính điểm M .

Chọn B.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ 2z+ 3= 0 và điểm M(-2; 1; 2). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)

A. ( 1; 0; 2)

B. ( -1; 0; 2)

C. (- 2; 0; 2)

D. ( -3; 1; 0)

Lời giải:

+Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

+ Gọi d là đường thẳng đi qua M (- 2; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

+ Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P) chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Thay x= - 2+ t; y= 1 và z= 2+ 2t vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

- 2+ t + 2( 2+ 2t) + 3= 0

⇔ 5t + 5= 0 ⇔ t= - 1 nên H( - 3; 1; 0)

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M( 1; 0; 2). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?

A.

B. ( -2; 1; 1)

C.

D. ( 2; 2; 1)

Lời giải:

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Gọi (P) là mặt phẳng qua M( 1; 0; 2) và vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến

=> Phương trình mặt phẳng (P):

1( x- 1) - 1( y-0) + 1( z- 2) = 0 hay x - y + z – 3= 0

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

+ Điểm H thuộc đường thẳng d nên H(t; -t; 2+ t) . Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

t- ( - t) + 2+ t- 3= 0 ⇔ 3t- 1= 0 ⇔ t= 1/3

=> Hình chiếu của M lên d là

+ Do M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’.

=> Tọa độ điểm M’

Chọn C.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x - 2y- 3z - 11= 0 và điểm A( 2; 1; 1). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Tìm A’.

A. ( 4; - 3; - 5)

B. ( -2; 1; 3)

C. ( 0;2; -1)

D. (-2; 3; 1)

Lời giải:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi d là đường thẳng đi qua A( 2;1; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó đường thẳng d có vecto chỉ phương là (1; -2; - 3)

=> Phương trình đường thẳng d:

+ Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ( P). Khi đó; H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P):

=> H( 2+ t; 1- 2t; 1- 3t) thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta có:

2+ t – 2( 1- 2t)- 3( 1- 3t) - 11 = 0

⇔ 2+ t -2+ 4t – 3 + 9t- 11 = 0

⇔ 14 t- 14= 0 ⇔ t= 1 nên H ( 3; -1; - 2)

Vậy hình chiếu vuông góc của A lên ( P) là H( 3; -1; - 2) .

+ Do A’ là điểm đối xứng với A qua (P) nên H là trung điểm của AA’.

=> Tọa độ A’( 4; -3; - 5)

Chọn A.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x + 2z + 3 = 0 và điểm M(-2; 1; 2). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P).

Bài 2. Cho M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +2 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P).

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 5 = 0 và điểm M( -1; 2; 1). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P).

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y - 4= 0 và điểm A(1; 1; 0). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Tìm A'.

Bài 5. Cho M(0; 1; 3) và mặt phẳng (P): x + y - z +2 = 0. Gọi H (a; b; c) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tính a + b + c?

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
• Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
• Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách
• Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

---