V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng - Toán lớp 12

V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng

Quảng cáo

A. Phương pháp giải

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên đường thẳng d

- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d

- Tìm H là giao điểm của d và (P) => H là giao điểm của A trên d

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên mặt phẳng (P)

- Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P)

- Tìm H là giao điểm của d và (P) => H là giao điểm của A trên (P)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Tìm hình chiếu vuông góc của A(1; 2; 1) trên đường thẳng d:

V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

A. V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

B. V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

C. V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d có vecto chi phươngV. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12 .

+ Gọi mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình của (P) là:

1(x – 1) + 2. (y – 2) – 2.(z – 1) = 0 hay x + 2y – 2z – 3 = 0

+ Tìm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ H( t – 2; 2t + 1; -2t – 1) thỏa mãn :

(t-2) + 2(2t+1) – 2(-2t-1) – 3 = 0 <=> t = 1/9

Vậy H là hình chiếu của A trên d và V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ: 2

Cho M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +2 = 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P)

A. ( 2; 1; 0)

B. ( - 2;0; 1)

C.(-1; 0; 0)

D. ( 0; 2; 1)

Hướng dẫn giải

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12 .

Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương

Phương trình của d là: V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

+ Tìm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ của H(1+2t, -1-t; 2+2t) thỏa mãn:

2(1+2t) – (-1-t) + 2(2+2t) + 2 = 0

⇔ 2+ 4t + 1+ t + 4 + 4t + 2 = 0

⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t= - 1 nên H ( - 1; 0; 0)

Chọn C.

Ví dụ: 3

Cho điểm M (2; -1; 8) và đường thẳng V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12 . Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

A. ( 1; 2; 1)

B.( 5; - 3; 4)

C. ( -2; 1;3)

D. ( 1;1;3)

Hướng dẫn giải

Phương trình tham số của d là: V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

Xét điểm H(1+2t; -t-1; 2t) thuộc d

V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

Đường thẳng d có vecto chỉ phương V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

⇔ 2(2t-1) – 1(-t) + 2(2t-8) = 0

⇔ 4t- 2+ t + 4t – 16 = 0

⇔ 9t – 18= 0 nên t= 2

=> Hình chiếu vuông góc của M lên d là H(5; - 3; 4)

Chọn B.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12 và điểm M( -1; 3; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?

A. ( -1;3; 0)

B. ( -2; 1; 0)

C. ( -1; 2; 1)

D. ( - 2; -1; 1)

Hướng dẫn giải

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được:

V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

=> Điểm M thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d là chính điểm M .

Chọn A.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ 2y – z+ 5= 0 và điểm M( -1; 2; 1). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)

A. ( 1; 0; 2)

B. ( -1; 0; 2)

C. (- 2; 0; 2)

D. ( -1; 2; -2)

Hướng dẫn giải

+Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

+ Gọi d là đường thẳng đi qua M ( -1; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d nhận vecto V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12 làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d: V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

+ Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P) chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Thay x= - 1+ t; y= 2+ 2t;z= 1- t vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

( -1+ 2t)+ 2(2+ 2t) – ( 1- t) + 5= 0

⇔ - 1+ 2t+ 4 + 4t – 1+ t+ 5= 0

⇔ 7t+ 7= 0 ⇔ t= - 1 nên H( -2; 0; 2)

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12 và điểm M(1; 1; 1). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?

A.( 1; 0; - 2)

B. ( -2; 1; 1)

C. ( 1; 2; 3)

D. (- 1; 0; 6)

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua A(0; 0; 2) và có vecto chỉ phương V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

+ Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến

=> Phương trình mặt phẳng (P):

-1( x- 1) + 2( y-1) + 1( z- 1) = 0 hay – x + 2y + z – 2= 0

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

+ Điểm H thuộc đường thẳng d nên H(- t; 2t; 2+ t) . Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

- ( - t) + 2. 2t+ 2+ t- 2= 0 ⇔ 6t = 0 ⇔ t= 0

=> Hình chiếu của M lên d là H ( 0; 0; 2)

+ Do M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’.

=> Tọa độ điểm M’( - 1; 0; 6 )

Chọn D.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y - 4= 0 và điểm A( 1; 1; 0). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Tìm A’.

A. ( 3; -3; 0)

B. ( -2; 1; 3)

C. ( 0;2; -1)

D. (-2; 3; 1)

Hướng dẫn giải

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12 .

+ Gọi d là đường thẳng đi qua A( 1; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó đường thẳng d có vecto chỉ phương là ( 1; -2; 0)

=> Phương trình đường thẳng V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

+ Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ( P). Khi đó; H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P):

=> H( 1+ t; 1- 2t; 0) thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta có:

1+ t – 2( 1- 2t) - 4= 0 hay t= 1

=> H( 2; - 1; 0) .

Vậy hình chiếu vuông góc của A lên ( P) là H( 2; -1; 0) .

+ Do A’ là điểm đối xứng với A qua (P) nên H là trung điểm của AA’.

=> Tọa độ A’(3; -3; 0)

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Tìm hình chiếu vuông góc của A(- 2; 1;0) trên đường thẳng V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

A. ( -2; 0; 1)

B. ( 2; -1;- 5)

C. ( 0;3;-3)

D. Đáp án khác

+ Đường thẳng d có vecto chi phương V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12 .

+ Gọi mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình của (P) là:

- 2(x + 2) + 1. (y – 1) – 2.(z – 0) = 0 hay - 2x + y- 2z – 5= 0

+ Tìm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ H( - 2t; t; -7- 2t) thỏa mãn :

- 2(- 2t) + t – 2( -7- 2t) – 5= 0

⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t= - 1

Vậy H là hình chiếu của A trên d và H(2; -1; -5)

Chọn B.

Quảng cáo

Câu 2:

Cho M( 0; 1; 3) và mặt phẳng (P): x + y - z +2 = 0. Gọi H ( a; b; c ) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tính a+ b + c?

A. - 2

B. 6

C. - 4

D. 4

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P); nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương

Phương trình của d là: V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

+ Tìm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ của H( t; 1+ t; 3- t) thỏa mãn: t+ 1+ t- ( 3- t) + 2= 0

⇔ 3t= 0 nên t= 0

=> Tọa độ H( 0;1;3)

=> a+ b+ c= 0+1+3 = 4

Chọn D.

Câu 3:

Cho điểm M ( - 2; 1; - 2) và đường thẳng V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12 Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

A. ( 1; 2; 1)

B.( 0; 2; 2)

C. ( - 1; 2; 0)

D. (0; 1; 0)

Xét điểm H(-t; 2- 2t; 2+ t) thuộc d

V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

Đường thẳng d có vecto chỉ phương V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

⇔ - 1( - t+ 2)- 2( 1- 2t) + 1( 4+ t) = 0

⇔ t- 2- 2+ 4t + 4+ t = 0

⇔ 6t = 0 nên t= 0

=> Hình chiếu vuông góc của M lên d là H( 0; 2; 2)

Chọn B.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12 và điểm M( -2; 1; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?

A. (1; 0; -2)

B. ( -2; 1; 0)

C. ( -1; 2; 1)

D. ( - 2; -1; 1)

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được:

V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

=> Điểm M thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d là chính điểm M .

Chọn B.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ 2z+ 3= 0 và điểm M(-2; 1; 2). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)

A. ( 1; 0; 2)

B. ( -1; 0; 2)

C. (- 2; 0; 2)

D. ( -3; 1; 0)

+Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

+ Gọi d là đường thẳng đi qua M (- 2; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d nhận vecto V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12 làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d: V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

+ Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P) chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Thay x= - 2+ t; y= 1 và z= 2+ 2t vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

- 2+ t + 2( 2+ 2t) + 3= 0

⇔ 5t + 5= 0 ⇔ t= - 1 nên H( - 3; 1; 0)

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12 và điểm M( 1; 0; 2). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?

A.V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

B. ( -2; 1; 1)

C. V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

D. ( 2; 2; 1)

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

+ Gọi (P) là mặt phẳng qua M( 1; 0; 2) và vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến

=> Phương trình mặt phẳng (P):

1( x- 1) - 1( y-0) + 1( z- 2) = 0 hay x - y + z – 3= 0

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

+ Điểm H thuộc đường thẳng d nên H(t; -t; 2+ t) . Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

t- ( - t) + 2+ t- 3= 0 ⇔ 3t- 1= 0 ⇔ t= 1/3

=> Hình chiếu của M lên d là V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

+ Do M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’.

=> Tọa độ điểm M’V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x - 2y- 3z - 11= 0 và điểm A( 2; 1; 1). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Tìm A’.

A. ( 4; - 3; - 5)

B. ( -2; 1; 3)

C. ( 0;2; -1)

D. (-2; 3; 1)

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12 .

+ Gọi d là đường thẳng đi qua A( 2;1; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó đường thẳng d có vecto chỉ phương là (1; -2; - 3)

=> Phương trình đường thẳng d: V. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng | Toán lớp 12

+ Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ( P). Khi đó; H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P):

=> H( 2+ t; 1- 2t; 1- 3t) thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta có:

2+ t – 2( 1- 2t)- 3( 1- 3t) - 11 = 0

⇔ 2+ t -2+ 4t – 3 + 9t- 11 = 0

⇔ 14 t- 14= 0 ⇔ t= 1 nên H ( 3; -1; - 2)

Vậy hình chiếu vuông góc của A lên ( P) là H( 3; -1; - 2) .

+ Do A’ là điểm đối xứng với A qua (P) nên H là trung điểm của AA’.

=> Tọa độ A’( 4; -3; - 5)

Chọn A.

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12