Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Bài viết Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Bài giảng: Các dạng bài về khoảng cách, góc trong không gian - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

- Muốn tìm khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng d: có 2 cách sau:

+ Cách 1: Tìm hình chiếu H của điểm đó đến d => MH là khoảng cách từ A đến d

+ Cách 2. công thức (với u→ là vectơ chỉ phương của d và M₀ là một điểm thuộc d)

- Muốn tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d (u→ là vectơ chỉ phương của d và d đi qua M₀) và d’ ((u') ⃗ là vectơ chỉ phương của d’ và d’ đi qua M₀') ta làm như sau:

+ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’

+ Khoảng cách giữa d và d’ chính là khoảng cách từ điểm M₀' đến mặt phẳng (P) d( d,d’) = d(M₀',(P))

+ Hoặc dùng công thức:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Tìm khoảng cách của A(-2; 1; 3) đến đường thẳng

A.

B.

C. 2

D.

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua B(0;1; -1) và có vectơ chỉ phương

Ta có:

Vậy

Chọn B.

Ví dụ: 2

Cho mặt phẳng (P): 3x – 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng Tính khoảng cách giữa d và (P)

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Đường thẳng d có vecto chỉ phương và đi qua điểm M₀(1;7;3)

Ta có:

Vậy d // (P)

Chọn D.

Ví dụ: 3

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

A.

B.

C.

D. 1

Lời giải:

Cách 1:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là: .

- Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và song song với d’. (P) nhận vectơ pháp tuyến là

M₀(1;-1;1) thuộc d cũng thuộc (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

- 1(x-1) – 2(y+1) + 1(z-1) = 0 hay x + 2y – z + 2 = 0

- d’ đi qua M₀'(2;-2;3)

Vậy

Cách 2:

Ta có:

Vậy

chọn A.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm A( -1; 2; 1). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( 1; 0; - 2) và có vecto chỉ phương

+ Ta có:

=> Khoảng cách từ A đến đường thẳng d là:

Chọn C.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho?

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua A( 1;0; - 2) và có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d’ đi qua B( 2; -1; 2) và có vecto chỉ phương

=> Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho là:

Chọn B.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho 3 điểm A( 0; 1; 2); B( -2;0; 1) và C( 2; 1; -3). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng BC đi qua B( -2; 0;1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Ta có:

=> Khoảng cách từ điể A đến đường thẳng BC là:

Chọn A.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho bốn điểm A(1; 2; -1); B( -2; 1; 1) C( 2; 1; 3) và D( -1; 0; 5). Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD? biết rằng ba điểm A, C và D không thẳng hàng.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng AB: đi qua A(1;2; -1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng CD đi qua C( 2; 1; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Hai đường thẳng AB và CD có cùng vecto chỉ phương và điểm A không thuộc đường thẳng CD.

=> AB// CD nên d( AB; CD) = d( A; CD)

+ Ta có:

Chọn C.

Ví dụ: 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(-1; 0;2) và đường thẳng d: . Tìm m để khoảng cách từ A đến d là ?

A. m= -1 hoặc m= (- 2)/3

B. m= - 1 hoặc m= 1/7

C. m= 1 hoặc m= - 1

D. m= 1 hoặc m= 1/7

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua M( 2; 1; 2) và có vecto chỉ phương

+ Ta có;

+ Theo đầu bài ta có: d( A; d)=

Chọn B.

Ví dụ: 9

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; m;2) và đường thẳng . Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng d là 2?

A. m= 2

B. m= - 1

C. m= 3

D. m= - 4

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua M( 1; 2; 0) và có vecto chỉ phương

+ Ta có:

+ Để khoảng cách từ A đến d là 2 thì:

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Tìm khoảng cách của A( 1;-2; 1) đến đường thẳng

A.

B.

C. 2

D.

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua B(2;0; -1) và có vectơ chỉ phương

Ta có:

Vậy

Chọn B.

Câu 2:

Cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1= 0 và đường thẳng . Tính khoảng cách giữa d và (P)

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Đường thẳng d có vecto chỉ phương và đi qua điểm M₀ (1;0;3)

Ta có:

Vậy d // (P)

Chọn C.

Câu 3:

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua A( 2; -1; 1) và có vecto chỉ phương .

Đường thẳng d’ đi qua B( 0; -2; 1) và có vecto chỉ phương

Ta có:

Và

Vậy

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm A( 0;-2; 3). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( 0;1; -1) và có vecto chỉ phương

+ Ta có;

=> Khoảng cách từ A đến đường thẳng d là:

Chọn A.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho?

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua A( 1;0; 0) và có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d’ đi qua B(0;1; 2) và có vecto chỉ phương

=> Khỏang cách giữa hai đường thẳng đã cho là:

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( 2; -1; -1); B(2; 3; 1). Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng AB đi qua A( 2; -1; -1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Ta có:

=>Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB là:

Chọn A.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho bốn điểm A(0; 0; 2); B(1; 2; -1) C( 2; 1; 3) và D( 4; 5; -3). Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD? biết rằng ba điểm A, C và D không thẳng hàng.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng AB: đi qua A(0;0; 2) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng CD đi qua C( 2; 1; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Hai đường thẳng AB và CD có hai vecto chỉ phương là cùng phương và điểm A không thuộc đường thẳng CD.

=> AB// CD nên d( AB; CD) = d( A; CD)

+ Ta có:

Chọn C.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng . Tìm m để khoảng cách từ A đến d là ?

A. m= -1

B. m= 0

C. m= - 2

D. m= 1

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua M( 1;2; 2) và có vecto chỉ phương

+ Ta có;

+ Theo đầu bài ta có: d( A; d)=

Chọn B.

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(m; 0; 2) và đường thẳng . Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng d là ?

A. m= 2 hoặc m=1

B. m= -1 hoặc m= 0

C. m= 3 hoặc m= 0

D. m= - 4 hoặc m= -1

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua M( 1; 2; - 1) và có vecto chỉ phương

+ Ta có:

+ Để khoảng cách từ A đến d là 2 thì:

Chọn B.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm M(4; -3; 2) đến đường thẳng d có phương trình: $\frac{x+2}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{-1}$?

Bài 2. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) M(2; 3; 1); d: $\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{2}$.

b) M(1; 0; 0); d: $\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{1}$.

Bài 3. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d): $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{1}$ điểm M(−3; 1; 2). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là?

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách d từ điểm A(1; -2; 3) đến đường thẳng  Δ: $\frac{x-10}{5}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{1}$.

Bài 5. Tính khoảng cách từ điểm N(2; 3; –1) đến đường thẳng Δ đi qua điểm M₀$\left(-\frac{1}{2};0;-\frac{3}{4}\right)$và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-4;2;-1\right).$

Bài giảng: Các dạng bài về khoảng cách, góc trong không gian - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
• Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
• Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng
• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách
• Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

---