Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu - Toán lớp 12

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Xét vị trí tương đối của đường thẳng  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 và mặt cầu (S) tâm I(a’; b’; c’) bán kính R. Gọi d= d( I; d) thì:

d > R thì d không cắt (S).

d=R thì d tiếp xúc (S). Để tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt cầu ( S) ta làm như sau:

Thay x= x0+ at; y= y0 + bt; z= z0 + ct vào phương trình mặt cầu

=> t= .... => Tọa độ giao điểm.

d < R thì d cắt ( S) tại hai điểm A và B. Để tìm được tọa độ giao điểm ta làm như trên.

* Chú ý: đường thẳng d đí qua A và có vecto chỉ phương u ⃗. Khi đó; khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d là:

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Cho mặt cầu (S): x2+ y2 + z2- 2x + 4z+ 1= 0 và đường thẳng  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 . Biết có hai giá trị thực của tham số m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A; B và các mặt phẳng tiếp diện của ( S) tại A và tại B luôn vuông góc với nhau . Tích của hai giá trị đó bằng

A. 16

B. 12

C.14

D. 10

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

+ Mặt cầu ( S) có tâm I( 1; 0; -2) và bán kính R= 2

Đường thẳng d qua M(- 1; 0; m) và vtcp  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

+Đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt A và B nên IA= IB = R= 2.

Lại có các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau nên IA vuông IB.

=> Tam giác IAB vuông cân tại I.

Suy ra  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

+ Mà  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Suy ra m= -2 hoặc m= - 6 và tích cần tìm là ( -2). ( - 6) = 12.

Chọn B.

Ví dụ: 2

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 và và mặt cầu ( S): x2+ y2 + z2 – 2x+ 4z + 1= 0. Số điểm chung của Δ và ( S) là

A.0

B.1

C.2.

D. 3

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Đường thẳng đi qua M( 0; 1; 2) và có VTCP  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; -2) và bán kính R= 2.

Ta có  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Vì d(I,Δ)>R nên không cắt mặt cầu ( S) .

Chọn A.

Ví dụ: 3

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 và mặt cầu ( S): (x-1)2+ ( y+ 3)2 + ( z- 2)2= 1. Giá trị của m để đường thẳng không cắt mặt cầu ( S) là:

A.  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

B.  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

C.  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

D.  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của đường thẳng Δ và mặt cầu (S) là nghiệm hệ phương trình :

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Thay (1); ( 2) và (3) vào ( *) ta được:

(2+t+1)2+(1+mt+3)2+(-2t-2)2=1

⇔ ( t+ 1)2 + ( mt+ 4)2+ ( 2t+ 2)2 = 1

⇔ t2 + 2t+ 1+ m2t2 + 8mt+ 16 + 4t2 + 8t+ 4- 1= 0

⇔ (m2 + 5)t2 + 2( 5+ 4m)t+ 20 = 0 ( **)

Để không cắt mặt cầu ( S) thì (**) vô nghiệm, hay (**) có Δ’<0

⇔ ( 5+ 4m)2 – 20( m2 + 5) < 0

⇔ 25+ 40m+ 16m2 – 20m2 – 100< 0

⇔ - 4m2 + 40m – 75 < 0

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 .

Chọn A.

Ví dụ: 4

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): ( x-1)2 + ( y+3)2 + ( z- 2)2 =1và đường thằng Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 . Giá trị của m để đường thẳng Δ tiếp xúc mặt cầu (S) là:

A.  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

B.  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 .

C.  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

D.  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của đường thẳng Δ và mặt cầu (S) là nghiệm hệ phương trình :

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Thay (1); ( 2) và (3) vào ( *) ta được:

(2+t-1)2 + (1 + mt + 3)2 + (-2t-2)2=1

⇔ ( t+ 1)2 + ( mt+ 4)2+ ( 2t+ 2)2 = 1

⇔ t2 + 2t+ 1+ m2t2 + 8mt+ 16 + 4t2 + 8t+ 4- 1= 0

⇔ (m2 + 5)t2 + 2( 5+ 4m)t+ 20 = 0 ( **)

Để Δ tiếp xúc mặt cầu ( S) thì (**) có nghiệm kép nên:

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 .

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ: 5

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): x2 +( y+1)2 + (z- 1)2 = 4 và đường thẳng  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 . Giá trị của m để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt là:

A. m < 2 hoặc m > 5.

B. m > - 2 hoặc m - 5

C. m= 2 hoặc m = - 5

D. Không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S) là nghiệm hệ phương trình :

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Thay (1); (2) ; (3) vào (*) ta được:

22 + ( 1- t+ 1)2 + ( mt- 1)2 =4

⇔ 4+ 4 – 4t+ t2+ t + m2t2 - 2mt+ 1- 4= 0

⇔ ( m2+ 1)t2 – ( 3+ 2m)t+ 5=0 ( **)

Để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ >0 ⇔ ( 3+ 2m)2 – 4. 5.( m2 +1) > 0

⇔ 9+ 12m + 4m2 – 20m2 – 20> 0

⇔ - 16m2 + 12m- 11> 0 ( vô lí - vì – 16m2 + 12m- 11 < 0 với mọi m)

Chọn D.

Ví dụ: 6

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 và và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y+ 6z – 67= 0. Số điểm chung của Δ và( S) là:

A.3.

B.0.

C.1

D. 2

Hướng dẫn giải

Đường thẳng đi qua M(-2; 0; 3) và có VTCP  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Mặt cầu ( S) có tâm I( 1; 2; - 3) và bán kính R= 9.

Ta có  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Vì d( I;Δ) < R nên cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt.

Chọn D.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 và mặt cầu ( S): ( x-1)2 + ( y+ m)2+ z2 = 1. Tìm điều kiện của m để đường thẳng d và mặt cầu ( S) có điểm chung?

A. -1≤ m ≤ 0 .

B. m > - 2 hoặc m < - 3

C. m > 1 hoặc m < 0

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S) là nghiệm hệ phương trình :

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Thay (1); ( 2) và ( 3)vào ( *) ta được:

( 1- t – 1)2 + ( 1+ m)2 + t2 = 1

⇔ t2+ 1+ 2m+ m2 + t2 – 1= 0

⇔ 2t2 + 2m + m2 = 0

⇔ t2 = - m- m2 ( **)

Để đường thẳng d và mặt cầu ( S) có điểm chung khi và chỉ khi phương trình ( **) có nghiệm nên: - m – m2 ≥ 0 ⇔ - 1 ≤ m ≤ 0 .

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Cho mặt cầu (S): x2+ y2 + z2+ 2x – 4y+ 4z= 0 và đường thẳng  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt

A.2

B. 3

C.4

D. Vô số

+ Mặt cầu ( S) có tâm I(- 1; 2; - 2) và bán kính R= 3

Đường thẳng d qua M( 2; 0; m) và vtcp  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

+ Để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi:

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Mà m nguyên nên m= - 5; m= - 4 hoặc m = -3

Chọn B.

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 và và mặt cầu ( S): x2+ y2 + z2 – 2x- 2z + 1= 0. Số điểm chung của và ( S) là

A.0

B.1

C.2.

D. 3

Đường thẳng d đi qua M( 1; -2; 0) và có VTCP  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 .

Mặt cầu (S) có tâm I (1; 1; 0) và bán kính R= 1.

Ta có:

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Vì d( I; d)> 1 nên d không cắt mặt cầu ( S) .

Chọn A.

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 và mặt cầu ( S): x2+ ( y- 2)2 + ( z+ 2)2= 1. Giá trị của m để đường thẳng d không cắt mặt cầu ( S) là

:

A.  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

B.  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

C.  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

D.  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu (S) là nghiệm hệ phương trình :

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Thay (1); ( 2) và (3) vào ( *) ta được: x

( 1- t)2 + (mt- 2)2 + ( 2+ 2)2 = 1

⇔ 1- 2t + t2 + m2t2 – 4mt + 4 + 16 – 1= 0

⇔ ( m2+1) t2 - 2( 1+ 2m)t + 20= 0 ( **)

Để d không cắt mặt cầu ( S) thì (**) vô nghiệm, hay (**) có Δ’<0

⇔ (1+ 2m)2 – 20( m2 + 1) < 0

⇔ 1+ 4m+ 4m2 – 20m2 – 20< 0

⇔ - 16m2 + 4m – 19< 0 luông đúng với mọi m ( vì hệ số a= -16 < 0 và Δ’<0 với mọi m)

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): x2 + ( y+3)2 + z2 = 4 và đường thẳng  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 Giá trị của m để đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S) là:

A. m < 1 hoặc m> 3

B. m= 1 hoặc m= - 3.

C.không có giá trị nào của m thỏa mãn

D. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu (S) là nghiệm hệ phương trình :

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Thay (1); ( 2) và (3) vào ( *) ta được:

( - 1+ 2t)2 + (0+ 3)2 + ( - 1+ mt)2 = 4

⇔ 1- 4t + 4t2+ 9+ 1- 2mt + m2t2 – 4= 0

⇔ ( m2+ 4)t2 – 2( 2+ m) t+ 7= 0

Để d tiếp xúc mặt cầu ( S) thì (**) có nghiệm kép nên:

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

⇔ 4+ 4m+ m2 - 7m2 – 28 = 0

⇔ - 6m2+ 4m- 24= 0 ( phương trình vô nghiệm vì Δ= 42-4.( -6).( -24)<0

Vậy không có giá trị nào của m để d tiếp xúc với mặt cầu

Chọn C.

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): (x- 2)2 +( y-1)2 + (z- 1)2 =1 và đường thẳng  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 . Giá trị của m để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt là:

A. m < 2 hoặc m > 5.

B. m > - 2 hoặc m - 5

C. m= 2 hoặc m = - 5

D. Không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S) là nghiệm hệ phương trình :

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Thay (1); (2) ; (3) vào (*) ta được:

( t- 2)2 + ( - t- 1)2 + (mt- 1)2 = 1

⇔ t2 – 4t + 4 + t2 + 2t +1+ m2 t2 - 2mt + 1- 1= 0

⇔ ( m2 + 2)t2 – 2( 1+ m)t+ 5= 0

Để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ' >0 ⇔ (1+m)2 – 5( m2+ 2) > 0

⇔ 1+ 2m+ m2 - 5m2 – 10> 0

⇔ - 4m2 + 2m- 9 > 0 vô lí

vì hệ số a= -4 < 0 và Δm= 4- 4( -4). (-9)< 0 nên - 4m2 + 2m- 9< 0 với mọi m.

Chọn D

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 và và mặt cầu (S): x2+ y2 + z2 – 2x + 4y - 2z – 3= 0. Số điểm chung của Δ và( S) là:

A. 3.

B.0.

C.1

D. 2

Đường thẳng d đi qua M(1; 1;0) và có VTCP  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Mặt cầu ( S) có tâm I(1; -2; 1) và bán kính R= 3.

Ta có

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Vì d( I;Δ)> R nên d không cắt mặt cầu ( S).

Chọn B.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12 và mặt cầu ( S): ( x+2)2 + ( y- m)2+ (z-1)2 = 4. Tìm điều kiện của m để đường thẳng d và mặt cầu ( S) có điểm chung?

A. -1≤m≤0 .

B. m= 2

C. m > 2

D. Đáp án khác

Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S) là nghiệm hệ phương trình :

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu | Toán lớp 12

Thay (1); ( 2) và ( 3)vào ( *) ta được:

( -t+2)2+ ( t- m)2 + ( 3-1)2 = 4

⇔ t2 – 4t + 4 + t2 – 2mt + m2 + 4- 4= 0

⇔ 2t2 – 2( 2+ m)t+ 4+ m2 = 0 ( **)

Để đường thẳng d và mặt cầu ( S) có điểm chung khi và chỉ khi phương trình ( **) có nghiệm nên: Δ'≥0 ⇔ ( 2+ m)2 – 2( 4 +m2)≥0

⇔ 4+ 4m+ m2 – 8 – 2m2 ≥0 ⇔ - m2+ 4m- 4≥0

⇔ - (m-2)2≥0 ⇔ m= 2

Chọn B.

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12