Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Vị trí tương đối giữa đường thẳng d (đi qua M0 và có vectơ chỉ phương u) và đường thẳng d’ (đi qua M'0 và có vectơ chỉ phương u')

- d và d’ cùng nằm trong một mặt phẳng ⇔ Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

- d ≡ d’⇔ Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

- d // d’ ⇔ Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

- d và d’ cắt nhau: ⇔ Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

- d và d’ chéo nhau ⇔ Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

- Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Quảng cáo

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

A. Song song

B. Trùng nhau

C. Cắt nhau

D. Chéo nhau

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 ) và đi qua M0 (-1;1;-2)

Đường thẳng d’ Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 và đi qua M'0(1;5;4)

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Ta có:

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Vậy d và d’ cắt nhau..

Chọn C.

Ví dụ: 2

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

A. Cắt nhau

B. Trùng nhau

C. Chéo nhau

D. Song song

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 và đi qua M0 (0;1;2)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Nên hai đường thẳng d và d’ song song.

Chọn D.

Ví dụ: 3

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

A. Trùng nhau

B. Cắt nhau

C. Song song

D. Chéo nhau

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 ) và qua M0 (0;0;-1)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 và đi qua M'0(0;9;0)

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Ta có:

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Vậy d và d’ chéo nhau.

Chọn D.

Ví dụ: 4

Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

A. a= 2

B. a= -3

C. a= -2

D. a= 4

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Để d // d’ thì Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Khi đó đường thẳng d’ đi qua điểm N (1; 2; 2) và điểm N không thuộc d.

Vậy d // d’ khi và chỉ khi a = 2

Chọn A.

Ví dụ: 5

Xét vị trí tương đối của d và d’ biết: Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P) : 2x – 3y – 3z – 9 = 0 và (P’): x – 2y + z + 3 = 0

A. Trùng nhau

B.Song song

C. Cắt nhau

D. Chéo nhau

Hướng dẫn giải

- Trước hết viết phương trĩnh đường thẳng d’

M’ (x; y; z) thuộc d’ có tọa độ thỏa mãn hệ:

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Chọn z = 0 => 1 điểm M’ thuộc d là (27; 15; 0)

Vectơ chỉ phương của d’ là

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

- đường thẳng d có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 . Khi đó, giá trị của m bằng bao nhiêu thì d1 cắt d2?

A. m= 0

B. m= 1

C. m= -2

D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d1: đi qua A(1; 0; 1) và nhận vecto Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d2: đi qua B(0; -2; -m) và nhận vecto Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 làm vecto chỉ phương

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

+ để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau thì:

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 ⇔ - 3.( -1) – 1( - 2) + 5( - m- 1) =0 ⇔ 3+ 2- 5m- 5= 0 ⇔ 5m= 0 ⇔ m= 0

Chọn A.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. Δ cắt d và Δ vuông góc với d.

B. Δ và d chéo nhau, Δ vuông góc với d.

C. Δ cắt d và Δ không vuông góc với d .

D. Δ và d chéo nhưng không vuông góc.

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua A( 1; -1; 1) và có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 .

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm B(1; 1; -1) có véctơ chỉ phương là Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 .

+ Ta có Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

=> Hai vecto Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 vuông góc với nhau. suy ra đường thẳng Δ vuông góc với d.

+ Mặt khác Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Suy ra Δ và d chéo nhau.

Chọn B.

Ví dụ: 8

Cho hai đường thẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 . Tìm m để hai đường thẳng đã cho chéo nhau?

A. m ≠ -1

B. m ≠ -10

C. m ≠ 10

D. m ≠ 12

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d1 đi qua A( 2; 0;-1) và có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 .

+ Đường thẳng d2 đi qua B( 0; m; - 1) và có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

+ Để hai đường thẳng đã cho chéo nhau khi và chỉ khi: Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 ⇔ 10+ m ≠ 0 hay m ≠ -10

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong hệ tọa độ không gian Oxyz, cho đường thẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 . Chọn khẳng định đúng?

A. d1; d2 chéo nhau.

B. d1; d2cắt nhau.

C. d1; d2 vuông góc với nhau.

D.d1; d2 chéo nhau và vuông góc với nhau .

+ Đường thẳng d1 đi qua A( 0; -1; 0); có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

+ Đường thẳng d2 đi qua B(0; 1; 1); có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Ta có Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

=> Hai vecto Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 vuông góc với nhau. suy ra đường thẳng d1 vuông góc với d2.

+ Mặt khác Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Suy ra d1 và d2 chéo nhau.

Chọn D.

Quảng cáo

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. song song.

B. trùng nhau.

C. cắt nhau.

D. chéo nhau.

+ Đường thẳng d vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 và đi qua M( 1; 7; 3)

+ Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 và đi qua M’( 6; -1; -2).

Từ đó ta có Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Lại có Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Suy ra d cắt d’.

Chọn C.

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. song song.

B. trùng nhau.

C. chéo nhau.

D. cắt nhau.

Đường thẳng d có VTCP Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 và đi qua M(1;2; 0)

Đường thẳng d’ có VTCP Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 và đi qua M’(0;-5; 4)

Từ đó ta có:

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Lại có Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Suy ra d chéo nhau với d’.

Chọn C.

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng khi nói về vị trí tương đối của hai đường thẳng trên?

A. song song.

B. trùng nhau.

C. chéo nhau.

D. cắt nhau.

Đường thẳng d có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 và đi qua M( 2; 0; -1)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 và đi qua M’( 7; 2;0).

Từ đó ta có Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Lại có Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Suy ra d song song với d’.

Chọn A.

Câu 5:

Hai đường thẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 có vị trí tương đối là:

A. trùng nhau.

B. song song.

C. chéo nhau.

D. cắt nhau.

Đường thẳng d có VTCP Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 và đi qua M(-1; 2; 3)

Đường thẳng d’ có VTCP Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 và đi qua M’ (7; 6; 5).

Từ đó ta có Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Suy ra Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Suy ra d trùng với d’.

Chọn A.

Câu 6:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 . Khi đó, giá trị của m bằng bao nhiêu thì d1 cắt

d2?

A. m= 0

B. m= 1

C. m= -2

D.Đáp án khác

+ Đường thẳng d1: đi qua A(0; -2; 0) và nhận vecto Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d2: đi qua B( m; -2; 0) và nhận vecto Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 làm vecto chỉ phương

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

+ để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau thì: Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 ⇔ 7.m + 5.0+ 3.0= 0 ⇔ 7m= 0 ⇔ m= 0

Chọn A.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. Δ cắt d và Δ vuông góc với d.

B. Δ và d chéo nhau, Δ vuông góc với d.

C. Δ cắt d và Δ không vuông góc với d .

D. Δ và d chéo nhưng không vuông góc.

+ Đường thẳng d đi qua A( 1;1; 1) và có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 .

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm B( - 2;0; -1) có véctơ chỉ phương là Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 .

+ Ta có Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 suy ra đường thẳng Δ không vuông góc với d.

+ Mặt khác Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Suy ra Δ và d chéo nhau.

Chọn D.

Câu 8:

Cho hai đường thẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 . Tìm m để hai đường thẳng đã cho chéo nhau?

A. m ≠ -15

B. m ≠ -10

C. m ≠ 10

D. m ≠ 12

+ Đường thẳng d1 đi qua A( 0; m;-1) và có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 .

+ Đường thẳng d2 đi qua B( 1; 0; 2) và có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12

+ Để hai đường thẳng đã cho chéo nhau khi và chỉ khi: Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian | Toán lớp 12 ⇔ 15+ m ≠ 0 hay m ≠ -15

Chọn A.

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12