Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Bài viết Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Bài giảng: Các dạng bài về vị trí tương đối của hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Vị trí tương đối giữa đường thẳng d (đi qua M₀ và có vectơ chỉ phương u→) và đường thẳng d’ (đi qua M'₀ và có vectơ chỉ phương u'→)

- d và d’ cùng nằm trong một mặt phẳng ⇔

- d ≡ d’⇔

- d // d’ ⇔

- d và d’ cắt nhau: ⇔

- d và d’ chéo nhau ⇔

-

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’

A. Song song

B. Trùng nhau

C. Cắt nhau

D. Chéo nhau

Lời giải:

Đường thẳng d có ) và đi qua M₀ (-1;1;-2)

Đường thẳng d’ và đi qua M'₀(1;5;4)

Ta có:

Vậy d và d’ cắt nhau..

Chọn C.

Ví dụ: 2

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

A. Cắt nhau

B. Trùng nhau

C. Chéo nhau

D. Song song

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương và đi qua M₀ (0;1;2)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương

Nên hai đường thẳng d và d’ song song.

Chọn D.

Ví dụ: 3

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

A. Trùng nhau

B. Cắt nhau

C. Song song

D. Chéo nhau

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương ) và qua M₀ (0;0;-1)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương và đi qua M'₀(0;9;0)

Ta có:

Vậy d và d’ chéo nhau.

Chọn D.

Ví dụ: 4

Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:

A. a= 2

B. a= -3

C. a= -2

D. a= 4

Lời giải:

Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là

Để d // d’ thì

Khi đó đường thẳng d’ đi qua điểm N (1; 2; 2) và điểm N không thuộc d.

Vậy d // d’ khi và chỉ khi a = 2

Chọn A.

Ví dụ: 5

Xét vị trí tương đối của d và d’ biết: và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P) : 2x – 3y – 3z – 9 = 0 và (P’): x – 2y + z + 3 = 0

A. Trùng nhau

B.Song song

C. Cắt nhau

D. Chéo nhau

Lời giải:

- Trước hết viết phương trĩnh đường thẳng d’

M’ (x; y; z) thuộc d’ có tọa độ thỏa mãn hệ:

Chọn z = 0 => 1 điểm M’ thuộc d là (27; 15; 0)

Vectơ chỉ phương của d’ là

- đường thẳng d có vecto chỉ phương

Chọn A.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Khi đó, giá trị của m bằng bao nhiêu thì d₁ cắt d₂?

A. m= 0

B. m= 1

C. m= -2

D.Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d₁: đi qua A(1; 0; 1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d₂: đi qua B(0; -2; -m) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ để hai đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau thì:

⇔ - 3.( -1) – 1( - 2) + 5( - m- 1) =0 ⇔ 3+ 2- 5m- 5= 0 ⇔ 5m= 0 ⇔ m= 0

Chọn A.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. Δ cắt d và Δ vuông góc với d.

B. Δ và d chéo nhau, Δ vuông góc với d.

C. Δ cắt d và Δ không vuông góc với d .

D. Δ và d chéo nhưng không vuông góc.

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua A( 1; -1; 1) và có vecto chỉ phương .

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm B(1; 1; -1) có véctơ chỉ phương là .

+ Ta có

=> Hai vecto vuông góc với nhau. suy ra đường thẳng Δ vuông góc với d.

+ Mặt khác

Suy ra Δ và d chéo nhau.

Chọn B.

Ví dụ: 8

Cho hai đường thẳng . Tìm m để hai đường thẳng đã cho chéo nhau?

A. m ≠ -1

B. m ≠ -10

C. m ≠ 10

D. m ≠ 12

Lời giải:

+ Đường thẳng d₁ đi qua A( 2; 0;-1) và có vecto chỉ phương .

+ Đường thẳng d₂ đi qua B( 0; m; - 1) và có vecto chỉ phương

+ Để hai đường thẳng đã cho chéo nhau khi và chỉ khi: ⇔ 10+ m ≠ 0 hay m ≠ -10

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong hệ tọa độ không gian Oxyz, cho đường thẳng . Chọn khẳng định đúng?

A. d₁; d₂ chéo nhau.

B. d₁; d₂cắt nhau.

C. d₁; d₂ vuông góc với nhau.

D.d₁; d₂ chéo nhau và vuông góc với nhau .

Lời giải:

+ Đường thẳng d₁ đi qua A( 0; -1; 0); có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d₂ đi qua B(0; 1; 1); có vecto chỉ phương

Ta có

=> Hai vecto vuông góc với nhau. suy ra đường thẳng d₁ vuông góc với d₂.

+ Mặt khác

Suy ra d₁ và d₂ chéo nhau.

Chọn D.

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. song song.

B. trùng nhau.

C. cắt nhau.

D. chéo nhau.

Lời giải:

+ Đường thẳng d vecto chỉ phương và đi qua M( 1; 7; 3)

+ Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương và đi qua M’( 6; -1; -2).

Từ đó ta có

Lại có

Suy ra d cắt d’.

Chọn C.

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. song song.

B. trùng nhau.

C. chéo nhau.

D. cắt nhau.

Lời giải:

Đường thẳng d có VTCP và đi qua M(1;2; 0)

Đường thẳng d’ có VTCP và đi qua M’(0;-5; 4)

Từ đó ta có:

Lại có

Suy ra d chéo nhau với d’.

Chọn C.

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng khi nói về vị trí tương đối của hai đường thẳng trên?

A. song song.

B. trùng nhau.

C. chéo nhau.

D. cắt nhau.

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương và đi qua M( 2; 0; -1)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương và đi qua M’( 7; 2;0).

Từ đó ta có

Lại có

Suy ra d song song với d’.

Chọn A.

Câu 5:

Hai đường thẳng có vị trí tương đối là:

A. trùng nhau.

B. song song.

C. chéo nhau.

D. cắt nhau.

Lời giải:

Đường thẳng d có VTCP và đi qua M(-1; 2; 3)

Đường thẳng d’ có VTCP và đi qua M’ (7; 6; 5).

Từ đó ta có

Suy ra

Suy ra d trùng với d’.

Chọn A.

Câu 6:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Khi đó, giá trị của m bằng bao nhiêu thì d₁ cắt

d₂?

A. m= 0

B. m= 1

C. m= -2

D.Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d₁: đi qua A(0; -2; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d₂: đi qua B( m; -2; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ để hai đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau thì: ⇔ 7.m + 5.0+ 3.0= 0 ⇔ 7m= 0 ⇔ m= 0

Chọn A.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. Δ cắt d và Δ vuông góc với d.

B. Δ và d chéo nhau, Δ vuông góc với d.

C. Δ cắt d và Δ không vuông góc với d .

D. Δ và d chéo nhưng không vuông góc.

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua A( 1;1; 1) và có vecto chỉ phương .

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm B( - 2;0; -1) có véctơ chỉ phương là .

+ Ta có suy ra đường thẳng Δ không vuông góc với d.

+ Mặt khác

Suy ra Δ và d chéo nhau.

Chọn D.

Câu 8:

Cho hai đường thẳng . Tìm m để hai đường thẳng đã cho chéo nhau?

A. m ≠ -15

B. m ≠ -10

C. m ≠ 10

D. m ≠ 12

Lời giải:

+ Đường thẳng d1 đi qua A( 0; m;-1) và có vecto chỉ phương .

+ Đường thẳng d2 đi qua B( 1; 0; 2) và có vecto chỉ phương

+ Để hai đường thẳng đã cho chéo nhau khi và chỉ khi: ⇔ 15+ m ≠ 0 hay m ≠ -15

Chọn A.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

d: $\left\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=at\\ z=2-t\end{array}\right.$; d': $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\text{'}\\ y=a+4t\text{'}\\ z=2-2t\text{'}\end{array}\right.$.

Bài 2. Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song: d: $\left\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=at\\ z=2-t\end{array}\right.$; d': $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\text{'}\\ y=a+4t\text{'}\\ z=2-2t\text{'}\end{array}\right.$.

Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d₁:  $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{2}$ và d₂: $\frac{x}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+m}{1}$. Khi đó, giá trị của m bằng bao nhiêu thì d₁ cắt d₂?

Bài 4. Trong hệ tọa độ không gian Oxyz, cho đường thẳng d₁: $\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1-2t\\ z=1+3t\end{array}\right.$. Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng d₁ và d₂?

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-2t\\ z=t\end{array}\right.$ và d’: $\left\{\begin{array}{l}x=-2t\\ y=-5+3t\\ z=4+t\end{array}\right.$. Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng đã cho?

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng
• Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
• Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng

---