Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Bài viết Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Cách 1:

- Viết PT mặt phẳng (P) chứa d₁ và song song với d₂ - Viết PT mặt phẳng (Q) chứa d₁ và vuông góc với (P) - Tìm giao điểm M = d₁ ∩ (Q), pt đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P)

Cách 2:

Gọi M = d ∩ d₁; N = d ∩ d₂ Vì d là đường vuông góc chung nên

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

- Mặt phẳng (P) chứa d₁ và song song với d₂ có

Chọn 1 vectơ pháp tuyến của (P) là (6; 5; -4)

- Mặt phẳng (Q) chứa d₁ và vuông góc với (P) có

=>

1 điểm thuộc d₁ cũng thuộc (Q) là: (2; -1; 0)

Phương trình mặt phẳng (Q) là:

– 2.(x – 2) + 24.(y + 1) + 27.(z – 0) = 0 hay – 2x + 24y + 27z + 28 = 0

- Giao điểm M = d₂ ∩ (Q) có tọa độ là (t; 2t + 1; 4t – 1) thỏa mãn:

– 2.t + 24(2t + 1) + 27(4t – 1) + 28 = 0 ⇔ t = -25/154

=>

Đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của (P) : (6; 5; -4)

Chọn B.

Ví dụ: 2

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đã cho

M = d ∩ d₁ => M (t; 5-2t; 14-3t)

N = d ∩ d₂ => N (9-4t’; 3+t’; -1+5t’)

=>

Ta có :

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung d là (1; -1; 1)

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

Ví dụ: 3

Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1; d2 là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng cần tìm

Gọi A = d ∩ d₁; B = d ∩ d₂

+ Do A thuộc d₁ nên A( 2+a; 1- a; 2-a)

+ Do B thuộc d₂ nên B( b; 3; - 2+ b)

+ Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương

+ Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương

+ Ta có:

=> A( 2; 1; 2) và B( 3; 3; 1)

+ Đường thẳng d đi qua điểm A ( 2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của d là :

Chọn C.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A( -1;1;0); B( 1;3;3); C( 1; 2; 1) và D( 1; 1; 1) . Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại M và N. Tìm M?

A. ( -3; 0; -1)

B. ( 1; 0; 1)

C. ( -1; 0; 2)

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng AC : Đi qua A( -1 ; 1 ; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên có phương trình :

+ Đường thẳng BD : đi qua B( 1 ; 3 ; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên có phương trình :

+ M thuộc AC nên M( -1+ 2m;1+ m;m)

+ N thuộc BD nên N( 1; 3- 2n; 3- 2n)

+ Ta có đường thẳng MN vuông góc với AC và BD nên :

=> đường thẳng d cắt AC tại M( - 3; 0;-1)

Chọn A.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho ba điểm A(1; 2; 3); B(0;1 4) và C( - 1; -2; 1) . Gọi d là đường vuông góc chung của AB và OC. Tính độ dài đường vuông góc chung?

A. 2

B. 4

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng AB: Đi qua A( 1;2; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình AB:

+ Đường thẳng OC: đi qua O( 0; 0 ; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình OC:

+ Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AB và OC. Gọi giao điểm của d với AB và OC lần lượt là M và N

+ Điểm M thuộc AB nên M( 1- m; 2- m; 3+ m)

+ Điểm N thuộc OC nên N(n; 2n; - n)

.

=> Đường thẳng MN vuông góc với hai đường thẳng AB và OC.

Chọn C.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ trục Oxyz; cho các điểm A( 1; 1; 1) và B( -2; 1; 0). Đường thẳng d là đường thẳng vuông góc và cắt cả hai đường thẳng AB và trục Ox. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A. ( 0; 1; 1)

B. ( -2; 0; 1)

C. ( 0;0; 1)

D. ( 0; 1; 0)

Lời giải:

+ Đường thẳng AB có vectoc chỉ phương

+ Trục Ox có vecto chỉ phương là

+ Do đường thẳng d vuông góc với AB và Ox nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

+ Lại có vecto cùng phương với vecto u→ nên u'→ cũng là một vecto chỉ phương của d.

Chọn D.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Đường thẳng Δ cắt và vuông góc với hai đường thẳng d và trục Oz tại A và B. Tìm tọa độ trung điểm của AB?

A. ( 0;1; - 1)

B. ( 2; -1; 2)

C. ( -2; 1; 0)

D. ( 0; 2; 2)

Lời giải:

+ Trục Oz: đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình Oz:

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Điểm A thuộc d nên A( 1+ a; 2; a) .

+ Điểm B thuộc Oz nên B( 0; 0; b)

+ Đường thẳng Δ đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng Δ vuông góc với cả hai đường thẳng d và Oz nên :

=> Tọa độ hai điểm A(0; 2; - 1) và B( 0; 0; -1)

=>Tọa độ trung điểm của AB là M( 0; 1; - 1)

Chọn A.

Ví dụ: 8

Cho hai đường thẳng . Đường thẳng d cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng d₁ và d₂. Viết phương trình đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d₁ và d₂ có vecto chỉ phương lần lượt là: .

+ Gọi giao điểm của d với hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d₁ nên A( 1; a; 1-a) .

+ Điểm B thuộc d₂ nên B( 2+ b; 1- b; 2)

+ Ta có đường thẳng AB vuông góc với cả hai đường thẳng d₁ và d₂ nên :

=> Phương trình d:

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng cần tìm.

+ Hai đường thẳng d₁; d₂ có vecto chỉ phương lần lượt là :

+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng đã cho lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d₁ nên A( a; - 2a; a)

+ Điểm B thuộc d₂ nên B( - 1+ 2b; 1 + 2b; -1+ b)

+ ta có đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng đã cho nên :

=> Phương trình d:

Chọn C.

Câu 2:

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đã cho

Gọi M = d ∩ d₁ => M ( m; - 2; 1- m) và N = d ∩ d₂ => N ( 2; -1+n; -1+ n)

+ Hai đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương lần lượt là :

Ta có

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung d là (1; -1; 1)

Vậy phương trình của d là:

Chọn B.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Đường vuông góc chung của hai đường thẳng d₁; d₂ cắt hai đường thẳng d₁; d₂ lần lượt tại A và B. Biết B( m; n; p). Tính m+ n- p?

A. – 2

B. 4

C. 0

D. - 3

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng cần tìm.

Gọi A = d ∩ d₁; B = d ∩ d₂

+ Do A thuộc d₁ nên A( 2a; 1+ a; - a)

+ Do B thuộc d₂ nên B( 1- b; - 2; 2- b)

+ Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương

+ Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương

+ Ta có:

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A(- 2; 1; 3); B( 1;2; 1); C(0; 0; 2) và D(2; 3; 1) . Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại M và N. Tìm M?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng AC : Đi qua A( -2; 1; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên có phương trình :

+ Đường thẳng BD : đi qua B( 1; 2; 1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên có phương trình :

+ M thuộc AC nên M( - 2+ 2m; 1-m; 3- m)

+ N thuộc BD nên N( 1+ n; 2+ n; 1)

+ Ta có đường thẳng d vuông góc với AC và BD nên :

Chọn A.

Câu 5:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho ba điểm A(0; -1; 2); B( -1; 0; 1) và C(1;2 ; -1 ) . Gọi d là đường vuông góc chung của AB và OC. Độ dài đường vuông góc chung gần với số nào nhất?

A. 1

B.2

C. 3

D. 4

Lời giải:

+ Đường thẳng AB: Đi qua A( 0; -1; 2) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình AB:

+ Đường thẳng OC: đi qua O( 0; 0 ; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình OC:

+ Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AB và OC. Gọi giao điểm của d với AB và OC lần lượt là M và N

+ Điểm M thuộc AB nên M( - m; - 1+ m; 2- m)

+ Điểm N thuộc OC nên N(n; 2n; - n)

.

=> Đường thẳng MN vuông góc với hai đường thẳng AB và OC.

Chọn A.

Câu 6:

Trong không gian với hệ trục Oxyz; cho các điểm A(-1; 0; 1) và B( 0;1;2). Đường thẳng d là đường thẳng vuông góc và cắt cả hai đường thẳng AB và trục Oy. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A. ( 0; 1; 1)

B. ( -1; 0; 1)

C. ( 0;0; 1)

D. ( 0; 1; 0)

Lời giải:

+ Đường thẳng AB có vectoc chỉ phương

+ Trục Oy có vecto chỉ phương là

+ Do đường thẳng d vuông góc với AB và Oy nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

Chọn B.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Đường thẳng Δ cắt và vuông góc với hai đường thẳng d và trục Oy tại A và B. Tìm tọa độ trung điểm của AB?

A. ( -1; 1; 0)

B. ( 2; -1; 2)

C. ( -2; 1; 0)

D. ( 0; 2; 2)

Lời giải:

+ Trục Oy: đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình Oy:

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Điểm A thuộc d nên A( -2; 1+ a; - a) .

+ Điểm B thuộc Oy nên B( 0;b; 0)

+ Đường thẳng Δ đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng Δ vuông góc với cả hai đường thẳng d và Oy nên :

=> Tọa độ hai điểm A( -2; 1; 0) và B( 0; 1; 0)

=>Tọa độ trung điểm của AB là M( -1; 1; 0)

Chọn A.

Câu 8:

Cho hai đường thẳng Đường thẳng d cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng d₁ và d. Viết phương trình đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d₁ và d₂ có vecto chỉ phương lần lượt là: .

+ Gọi giao điểm của d với hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d₁ nên A( a; - 1- a; 2) .

+ Điểm B thuộc d₂ nên B( 2; 1+ b; 0)

+ Ta có đường thẳng AB vuông góc với cả hai đường thẳng d₁ và d₂ nên :

=> Phương trình d:

Chọn C.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của đường thẳng (d): $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}$ và (d’): $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1+t\\ z=t\end{array}\right.$.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂ biết: (d₁): $\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{-1}$ và (d₂): $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3\\ z=-2+t\end{array}\right.$.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d₁): $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-1}$ và (d₂): $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-6}{3}$. Viết phương trình đường vuông góc chung của d₁ và d₂.

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d: $\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z+4}{-5}$ và d′: $\frac{x+1}{3}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z-4}{-1}$.

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A(- 2; 1; 3); B( 1;2; 1); C(0; 0; 2) và D(2; 3; 1) . Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại E và F. Tìm E?

Bài 6. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂ biết: d₁: $\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}$ và d₂: $\frac{x+2}{-4}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-1}$.

Bài 7. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂ biết d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=0\\ z=-5+t\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=4-2u\\ z=5+3u\end{array}\right.$.

Bài 8. Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng chéo nhau d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\\ z=-3+3t\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\text{'}\\ y=-3+2t\text{'}\\ z=1+3t\text{'}\end{array}\right.$. Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với d₁ và d₂.

Bài 9. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂ biết d₁: $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{-1}$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3\\ z=-2+t\end{array}\right.$.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d₁: $\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}$ và d₂: $\frac{x+2}{-4}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-1}$.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
• Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

---