Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng

Bài viết Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng.

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Gọi giao điểm của đường thẳng d và d₁ là B.

+ Vì B thuộc đường thẳng d₁ nên tọa độ B có dạng... ( theo tham số t).

=> Tọa độ AB→

+ Xác định vecto chỉ phương u₁→  của đường thẳng d₁.

+ Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d₁ nên

=>

=>Phương trình ẩn t ....=> t= ...

=> Tọa độ điểm B.

+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho đường thẳng d₁ có phương trình tham số: và điểm A(0;1; 0). Phương trình tham số đường thẳng d đi qua điểm A đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d₁ là:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+Đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương là:

Gọi giao điểm của đường thẳng d và d₁ là B.

+ Vì B thuộc đường thẳng d1 nên tọa độ B có dạng B( -3;1-t;2t)

=>

Vì đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d₁ nên ta có:

⇔

⇔ 0. (-3) – 1( - t) + 2.2t= 0 ⇔ 5t= 0 ⇔ t= 0

Suy ra tọa độ B( - 3; 1; 0)

+ Đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua A( 0;1; 0) và có vecto chỉ phương:

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho điểm A( -1; -2; 3) và đường thẳng d: . Đường thẳng Δ đi qua cắt và vuông góc với đường thẳng d. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ

A . ( 4; 4; 0)

B. (2; -2; 1)

C. ( 2;4; 1)

D. ( 3; -3;0)

Lời giải:

Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M

Khi đó :

Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

Khi đó :

⇔ 1. 2t+ 1( 3+ 2t) – 2( - 4t- 3) =0

⇔ 2t+ 3+ 2t+ 8t+ 6 = 0⇔ 12t + 9= 0

⇔ t= (-3)/4

Suy ra là một vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Chọn D.

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho điểm A(1; 0;2) và đường thẳng d có phương trình . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A vuông góc và cắt d

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có là một vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Gọi :

Do

⇔t+t+2(2t-3)=0⇔6t-6=0 nên t=1⇒

Đường thẳng Δ đi qua A và nhận làm vectơ chỉ phương nên có phương trình

Chọn B.

Ví dụ 4. Cho đường thẳng Δ có phương trình chính tắc: ; điểm A(-1;2; 0) . Đường thẳng d đi qua điểm A đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng Δ tại điểm có tọa độ là?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Ta có đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là B.

+ Vì B thuộc đường thẳng Δ nên tọa độ B có dạng B( 1+3t; -1-2t; t)

=>

+ Do

⇔ 3( 2+ 3t) – 2( - 3 -2t) + 1. t= 0

⇔ 6+ 9t + 6 + 4t + t= 0

⇔ 14t+ 12= 0 ⇔ t= (- 6)/7

=> Tọa độ giao điểm của d và Δ là

Chọn A.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm M( 1;1;1) và đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2;0) và B(-1;3;3). Gọi Δ là đưởng thẳng qua M vuông góc và cắt d. Biết rằng đường thẳng d và Δ cắt nhau tại . Tính a+ b ?

A. 16

B. – 10

C. 18

D. -8

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A( 1;2;0) và B( -1; 3;3) nên đường thẳng này nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

+ Gọi N là giao điểm của Δ và d.

Do N thuộc đường thẳng d nên tọa độ N( 1- 2t; 2+ t; 3t)

=>

+ Do

⇔ - 2. (-2t) + 1. ( 1+ t) + 3( 3t-1) = 0 ⇔ 4t+ 1+ t+ 9t – 3 = 0⇔ 14t - 2= 0 ⇔ t= 1/7

=> Tọa độ điểm

=> a= 15 và b= 3 nên a+ b= 18

Chon C.

Ví dụ 6: Cho điểm A (-4; -2; 4) và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d₁

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn A

Cách 1:

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng (P) là: 2.(x + 4) – 1 . (y + 2) + 4. (z – 4) = 0 hay 2x – y + 4z – 10 = 0

- Gọi giao điểm của ( P) và d1 là B( -3+ 2t; 1- t; - 1+ 4t) .

Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được: 2( -3+ 2t)- ( 1-t)+ 4(- 1+4t) – 10= 0 ⇔ - 6+ 4t – 1+ t – 4+ 16t – 10=0 ⇔ 21t – 21= 0 ⇔ t= 1 => B (-1; 0; 3)

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Cách 2:

Vecto chỉ phương của đường thẳng d₁ là:

Gọi B là giao điểm của d và d₁, vì d vuông góc với d₁ nên

Tọa độ của B (-3+2t; 1-t;-1+4t)

=>

⇔2(1+2t)-(3-t)+4(-5+4t)=0

⇔t=1

=>

Vậy phương trình của d là :

Ví dụ 7: Cho điểm A (2; 3; -1) và đường thẳng . Đường thẳng d đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d₁. Trong các vecto sau vecto nào không là vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A ( 6; 5; -32)

B. ( 6; -5; 16)

C. ( - 12; -10; 64)

D. ( -18; -15; 96)

Lời giải:

+ Đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương

+ Gọi B là giao điểm của d và d₁, vì d vuông góc với d₁ nên

Tọa độ của B (2t; 4t;3+t)

=>

+ ⇔t=4/7

=>

+ Ta thấy các vecto trong các phương án A; C; D cùng phương với vecto AB→  nên các vecto trong các phương án A; C và D cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Chọn B.

Ví dụ 8:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua hai điểm O và M( 1; 2; -1). Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A(-1;2;-1), cắt và vuông góc với d là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi Δ là đường thẳng cần tìm. Gọi giao điểm của d và Δ là B.

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm O và M (1; 2; -1) nên đường thẳng này nhận vecto làm vecto chỉ phương.

=> Phương trình đường thẳng d:

+ Do B thuộc d nên tọa độ B( t; 2t; - t) =>

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

+ Do ⇔ t+ 1 + 4t – 4- 1+ t= 0 ⇔ 6t – 4= 0 nên t= 2/3

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A( -1;2; -1) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn D.

Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P): 2x+ y- z -1= 0. Biết Δ vuông góc và cắt đường thẳng . Phương trình đường thẳng Δ là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi

Thay tọa độ điểm M vào phương trình ( P) ta được: ⇒2t-2+t-(2-2t)-1=0⇔5t-5=0 ⇔ t=1⇒M(1;-1;0)∈Δ.

Ta có Vecto pháp tuyến của (P) là :

Vecto chỉ phương của đường thẳng d là

Khi đó

⇒ .

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Cho đường thẳng d₁ có phương trình tham số: và điểm A(0; 1; 2). Phương trình tham số đường thẳng d đi qua điểm A đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d₁ là:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+Đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương là:

Gọi giao điểm của đường thẳng d và d₁ là B.

+ Vì B thuộc đường thẳng d1 nên tọa độ B có dạng B(-t; 2t; -1-t)

=>

Vì đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d₁ nên ta có:

⇔

⇔ - 1( - t) + 2( 2t- 1) – 1( - 3- t) = 0

⇔ t+ 4t- 2+ 3+ t= 0 ⇔ 6t+ 1= 0 ⇔ t= (- 1)/6

Suy ra tọa độ

+ Đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua A( 0;1; 2) và có vecto chỉ phương:

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn B.

Câu 2:

Cho điểm A( -3; 1; 2) và đường thẳng . Đường thẳng Δ đi qua cắt và vuông góc với đường thẳng d. Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M . Tính AM?

A . 6

B. 8

C.

D.

Lời giải:

Khi đó

Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

Khi đó

⇔ - 2( - 4- 2t) + 1( t- 1) + 1(t- 1)= 0

⇔ 8+ 4t + t- 1+ t- 1= 0 ⇔ 6t + 6= 0

⇔ t= - 1

Suy ra

=>

Chọn D.

Câu 3:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho điểm A( - 3;1; -2); B ( 1; 3;0) và đường thẳng d có phương trình . Gọi M là trung điểm AB. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M vuông góc và cắt d

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Do M là trung điểm AB nên tọa độ M( - 1; 2; -1).

Ta có là một vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Gọi

Do

⇔

⇒

Đường thẳng Δ đi qua M và nhận làm vectơ chỉ phương nên có phương trình Δ:

Chọn B.

Câu 4:

Cho đường thẳng Δ có phương trình điểm A( -3; -2; 0) . Đường thẳng d đi qua điểm A đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng Δ tại điểm có tọa độ là?

A. ( 0; -1; 2)

B. ( -2; -3; 2)

C. (1; 0;2)

D. ( 2; 3; 2)

Lời giải:

+ Ta có đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là B.

+ Vì B thuộc đường thẳng Δ nên tọa độ B có dạng B( -2t; -1-2t; 2)

=>

Do

=0

⇔ - 2( -2t+ 3) – 2( 1-2t) + 0.2 = 0

⇔ 4t – 6 – 2 + 4t+ 0 = 0

⇔ 8t- 8= 0 ⇔ t= 1

=> Tọa độ giao điểm của d và Δ là B ( -2; - 3; 2)

Chọn B.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm M(2; 0;2) và đường thẳng d đi qua hai điểm A(-1; 2;-2) và B(0; -1; 2). Gọi Δ là đường thẳng qua M vuông góc và cắt d. Biết rằng đường thẳng d và Δ cắt nhau tại N . Tìm hoành độ điểm N?

A.(-1)/28

B.(- 1)/18

C. (- 1)/26

D.3/2

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

+ Gọi N là giao điểm của Δ và d.

Do N thuộc đường thẳng d nên tọa độ N(-1+ t; 2- 3t; -2+ 4t)

=>

Do

⇔ 1( -3+ t) – 3( 2- 3t) + 4( - 4+ 4t)= 0

⇔ - 3+ t – 6 +9t – 16 + 16t = 0 ⇔ 26t - 25= 0

⇔ t= 25/26

=> Hoành độ điểm N:

Chon C.

Câu 6:

Cho điểm A ( 2;1; 0); B( -1; 2; -1) và C( -2; 0;0). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng BC?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Vecto chỉ phương của đường thẳng BC là:

=> Phương trình đường thẳng BC:

+ Gọi D là giao điểm của d và BC, vì d vuông góc với BC nên

Tọa độ của D (-2-t;-2t;t)

=>

Do

⇔ 4+ t + 4t+ 2 + t= 0 ⇔6t+ 6= 0

⇔t=-1

=>

Vậy phương trình của d là :

Chọn B.

Câu 7:

Cho điểm A (-2; 1; 4) và đường thẳng . Đường thẳng d đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d₁. Trong các vecto sau vecto nào là vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A ( 6; - 12; -12)

B. ( 7; - 6; -6)

C. ( 14; -9; -9)

D. (- 6; 9; 9)

Lời giải:

+ Đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương

+ Gọi B là giao điểm của d và d₁, vì d vuông góc với d₁ nên

Tọa độ của B (- 2+2t; -t;3-t)

=>

+ Do

⇔ -4 + t – 3+ t= 0 ⇔ 2t- 7= 0

⇔ t=7/2

+ Ta thấy vecto cùng phương với vecto AB→ nên vecto này cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d

Chọn C.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua hai điểm O và M(2;1; 4). Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A(-3; -2; -1), cắt và vuông góc với d là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi Δ là đường thẳng cần tìm. Gọi giao điểm của d và Δ là B.

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm O và M (2;1;4) nên đường thẳng này nhận vecto làm vecto chỉ phương.

=> Phương trình đường thẳng d:

+ Do B thuộc d nên tọa độ B( 2t; t; 4t) =>

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

+ Do

⇔ 4t+ 6 + t+ 2+ 16t + 4= 0

⇔ 21t + 12= 0 nên t= (-4)/7

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A( - 3; -2; -1) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn D.

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P): x- y + z -1= 0. Biết Δ vuông góc và cắt đường thẳng . Phương trình đường thẳng Δ là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi :

Thay tọa độ điểm M vào phương trình ( P) ta được:

⇒1+2t-t+2-2t-1=0⇔-t+2=0

⇔ t=2⇒M( 5;2; -2)∈Δ.

Ta có Vecto pháp tuyến của (P) là :

Vecto chỉ phương của đường thẳng d là

Khi đó

⇒

Chọn A.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng Δ: $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$. Lập phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt và vuông góc với ∆.

Bài 2.  Cho điểm A(1; 2; −1) và đường thẳng d: $\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{2}$. Viết phương trình đường thẳng qua A cắt và vuông góc với d.

Bài 3. Trong không gian tọa độ, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: $\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+7}{-2}$. Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với d và cắt Ox.

Bài 4. Cho đường thẳng d: $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}$. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A(1;0;2) vuông góc và cắt d.

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng Δ: $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc với Δ.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng
• Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
• Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
• Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

---