Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng

Bài viết Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng.

Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d’ và chứa d₁

- Viết phương trinh mặt phẳng (Q) song song với d’ và chứa d₂

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)

Cách 2:

M = d ∩ d₁; N = d ∩ d₂

Vì d // d’ nên và cùng phương hay

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Viết phương trình của đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁, d₂ và song song với d₃ biết:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Vecto chỉ phương của ba đường thẳng d₁, d₂ và song song với d₃ lần lượt là

- Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d₃

Ta có vectơ pháp tuyến của (P) là

=>

Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của (P) là

Một điểm thuộc d₁ là điểm thuộc (P) là : (2; -2; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) là: 1.(x – 2) – 1.(y + 2) + 1. (z – 1) = 0 hay x – y + z – 5 = 0

- Mặt phẳng (Q) chứa d₂ và song song với d₃

Ta có vectơ pháp tuyến của (Q) là

=>

Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của (Q) là

Một điểm thuộc d₂ là điểm thuộc (Q) là : (7; 3; 9)

Phương trình mặt phẳng (Q) là: 0.(x – 7) + 1.(y – 3) + 2. (z – 9) = 0 hay y + 2z – 21 = 0

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt z = t, ta có:

Vậy phương trình tham số của d là:

Chọn A.

Ví dụ: 2

Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Ox và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d₁ và d₂ có vecto chỉ phương là :

Trục Ox có vecto chi phương

- Mặt phẳng (P) chứa d₁ và song song với Ox

Ta có vectơ pháp tuyến của (P) là

=>

Một điểm thuộc d₁ là điểm thuộc (P) là : (0; 0; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) là: 0.(x – 0) + 3.(y – 0) – 2 . (z – 1) = 0 hay 3y – 2z + 2 = 0

- Mặt phẳng (Q) chứa d₂ và song song với Ox

Ta có vectơ pháp tuyến của (Q) là

=>

Một điểm thuộc d₂ là 1 điểm thuộc (Q) là : (2; -1; -1)

Phương trình mặt phẳng (Q) là: 0.(x – 2) + 2.(y + 1) – 3 . (z + 1) = 0 hay 2y – 3z – 1 = 0

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy phương trình tham số của d là:

Cách 2:

M = d ∩ d1 => M (t; 2t; 1+ 3t)

N = d ∩ d2 => N (2-t’; -1+3t’; -1+2t’)

Ox có 1 vectơ chỉ phương là cùng phương với

=>

=>

d//Ox nên

Vậy phương trình của d là:

Chọn C.

Ví dụ: 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng song song với d: và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ là:

A .

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm

Gọi giao điểm của Δ với d₁ và d₂ lần lượt là A và B.

Do A thuộc d1 nên tọa độ A (- 1+ 3a; 2+ a; 1+ 2a)

Do B thuộc d2 nên tọa độ B ( 1+ b; 2b; - 1+ 3b)

Vecto là một vecto chỉ phương của Δ.

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương .

+ Do đường thẳng d//Δ nên haii vecto cùng phương

=> có một số k thỏa mãn

=> Tọa độ A( 2; 3; 3) và B(2; 2; 2)

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A( 2; 3; 3) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn D.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Cho hai điểm M( 1;1;1 ) và N(0; -2 ; 3) . Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁ và d₂; song song với đường thẳng MN.

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d₁ nên A( a; 3- 2a; 1- a)

+ Điểm B thuộc d₂ nên B( 1- b;2+ 2b; - 2) .

=> Vecto là một vecto chỉ phươn của đường thẳng d

+ Đường thẳng MN nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

⇔

=> Tọa độ của

Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn B

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng d₁ và trục Ox; song song trục Oz?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Trục Ox: đi qua O (0; 0; 0)và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> phương trình trục Ox: .

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng d₁ và trục Ox lần lượt là A và B.

+ Do A thuộc d₁ nên tọa độ A( 1+ a; - 3+ 3a; - 2a)

+ Do B thuộc trục Ox nên tọa độ B( b; 0; 0) .

=> Vecto là một vecto chỉ phương của đường thẳng d

+ Trục Oz có vecto chỉ phương là: .

Lại có đường thẳng d// Oz nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực t khác 0 thỏa mãn:

⇔

=> tọa độ A( 2;0; - 2) và B( 2; 0; 0 )

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua A( 2; 0; -2) và có vecto chỉ phương là :

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn A.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ; cho hai điểm A( 1; 0; -2) và B( -1; 2; 4). Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và AB; song song với đường thẳng OM trong đó M là trung điểm AB. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và d₁

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M( 0; 1;1) .

+ Đường thẳng AB đi qua A (1; 0; -2) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng AB:

+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d₁ và AB lần lượt là H và K

+ Do H thuộc d₁ nên H ( - a; - 1+ 2a; 3+ a)

+ Do K thuộc AB nên K( 1- b; b; - 2+ 3b)

Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Lại có d song song với OM nên d cũng nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Tọa độ

Chọn C.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và cho hai điểm A(-1; 2; 1); B( 1; 0; 1). Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁ và AB; song song với trục Oy. Trong các điểm sau điểm nào thuộc đường thẳng d?

A. ( -1; 2; 0)

B. (0; -2; - 3)

C. (2; 3; 1)

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Đường thẳng AB: Đi qua A( -1; 2; 1) và hận vecto làm vecto chỉ phương

=> PHương trình đường thẳng AB:

+Gọi giao điểm của đường thẳng d với d₁ và AB lần lượt tại M và N .

+ Do M thuộc d₁ nên M( - 2; 1+ m; 2)

+ Do N thuộc AB nên N( -1+ n; 2- n; 1)

=> Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

Lại có; d song song trục Oy nên một vecto chỉ phương của d là

=> 2 vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Không tồn tại đường thẳng d thỏa mãn đầu bài.

Chọn D

Ví dụ: 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+ 3y – 2z + 1= 0 và hai đường thẳng , . Đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1; d2 có phương trình là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi

Do

cùng phương

⇔

Đường thẳng Δ đi qua N( 0; -1; 1) và có vectơ chỉ phương

⇒Δ:

Chọn C.

Ví dụ: 9

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng và mặt phẳng (P): x+ y- 2z + 3= 0 . Gọi Δ là đường thẳng song song với (P) và cắt d1; d2 lần lượt tại hai điểm A; B sao cho . Phương trình tham số của đường thẳng Δ là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Điểm A thuộc d₁ nên A( 1+ 2a; - 1+ a;a)

Điểm B thuộc d₂ nên B( 1+ b; 2+ 2b; b)

=> Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

Vì Δ// mp (P) nên

=> ⇔ 1( b- 2a) + 1( 3+ 2b- a) – 2( b- a) = 0 ⇔ b- 2a + 3 + 2b – a – 2b + 2a= 0 ⇔ b – a+ 3= 0 ⇔ b= a- 3

Khi đó nên

Theo đề bài:

⇔ 2a²+ 27 = 29 ⇔ a²= 1

⇔

Vậy có hai đường thẳng Δ thỏa mãn là

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁, d₂ và song song với d₃ biết . Tìm tọa độ giao điểm của d và d2?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d₁; d₂lần lượt là A và B

+ Do A thuộc d₁ nên tọa độ A( 2a; -2+ a; -1)

+ Do B thuộc d₂ nên tọa độ B( b; 0; b)

=> Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ đường thẳng d₃ có vecto chỉ phương . Mà d// d₃ nên đường thẳng d cũng nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

⇔

=> Tọa độ giao điểm của d và d₂ là:

Chọn A.

Câu 2:

Cho 2 đường thẳng . Đường thẳng d cắt d₁ và Oz; song song với d₂. Tìm tọa độ giao điềm của d và trục Oz

A. N(0;0;-3)

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Gọi M = d ∩ d₁ => M ( - 2- m; 2m; - 2m)

Gọi N = d ∩ Oz => N ( 0; 0; n)

Vecto là một vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Đường thẳng d₂ có 1 vectơ chỉ phương là .

Lại có đường thẳng d// d₂ nên đường thẳng d nhận vecto u→ làm vecto chỉ phương

=> Vecto u→ cùng phương với

=>

=> là giao điểm của d và Oz

Chọn B.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng song song với d: và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ là:

A .

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm

Gọi giao điểm của Δ với d₁ và d₂ lần lượt là A và B.

Do A thuộc d₁ nên tọa độ A ( -2a; 1+3a; 1+ 2a)

Do B thuộc d₂ nên tọa độ B ( - 2b; 1+ b; - 1+ b)

Vecto là một vecto chỉ phương của Δ.

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương .

+ Do đường thẳng d//Δ nên đường thẳng Δ nhận vecto u_d→ làm vecto chỉ phương

=> hai vecto cùng phương nên có một số k thực thỏa mãn

=> Tọa độ A( - 2; 4; 3) và B( - 6; 4; 2)

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A( - 2; 4; 3) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Cho hai điểm M(2; 1; -2) và N( 3; 2; 1) . Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁ và d₂; song song với đường thẳng MN.

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d₁ nên A( 1; 2a; 1-a)

+ Điểm B thuộc d₂ nên B( - b; 2; -2+ b) .

=> Vecto là một vecto chỉ phương của đường thẳng d

+ Đường thẳng MN nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Tọa độ của

Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn B

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng d₁ và trục Oy; song song trục Oz?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Trục Oy: đi qua O (0; 0; 0)và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> phương trình trục Oy: .

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng d₁ và trục Oy lần lượt là A và B.

+ Do A thuộc d₁ nên tọa độ A( 1+ a; -a; -2)

+ Do B thuộc trục Oy nên tọa độ B(0; b; 0) .

=> Vecto là một vecto chỉ phương của đường thẳng d

+ Trục Oz có vecto chỉ phương là: .

Lại có đường thẳng d// Oz nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực t khác 0 thỏa mãn:

=> tọa độ A(0; 1; - 2) và B( 0; 1; 0 )

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua B( 0; 1; 0) và có vecto chỉ phương là :

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn A.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ; cho hai điểm A(-2; 1; -3) và B( - 2; 1; -1). Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁ và AB; song song với đường thẳng OM trong đó M là trung điểm AB. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và AB

A.(-2;1;0)

B. ( -2; 1; 2)

C. (-2; 1; -4)

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M(-2; 1; -2) .

+ Đường thẳng AB đi qua A (-2; 1; -3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng AB:

+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d₁ và AB lần lượt là H và K

+ Do H thuộc d₁ nên H ( 1+ a; 2a; -1+ a )

+ Do K thuộc AB nên K( - 2; 1; - 3+ b)

Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Lại có d song song với OM nên d cũng nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Tọa độ K( - 2; 1; - 4)

Chọn C.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và cho hai điểm A(0; 1; 2); B(2; 2; 2). Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁ và AB; song song với trục Oz.

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Đường thẳng AB: Đi qua A(0;1;2) và hận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng AB:

+Gọi giao điểm của đường thẳng d với d₁ và AB lần lượt tại M và N .

+ Do M thuộc d₁ nên M( 1+ m; 1- m; - 1)

+ Do N thuộc AB nên N( 2n; 1+ n; 2)

=> Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Lại có; d song song trục Oz nên một vecto chỉ phương của d là

=> 2 vecto cùng phương nên tồn tại số thực t khác 0 sao cho:

=>

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng MN đi qua N( 2/3; 4/3;2) và có vecto chỉ phương .

=> Phương trình d:

Chọn C.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Gọi Δ là đường thẳng song song với (P): x+ y + z- 7= 0 và cắt d₁; d₂ lần lượt tại hai điểm A; B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng Δ là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Điểm A thuộc d₁ nên A( 1+ 2a; a; - 2- a)

Điểm B thuộc d₂ nên B( 1+b; -2+ 3b; 2- 2b)

+ Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

+ Mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến

+ Vì đường thẳng Δ// ( P) nên

=> ⇔ 1( b- 2a) + 1( 3b- a- 2) + 1( - 2b+ a+ 4) = 0

⇔ b- 2a + 3b – a- 2 – 2b + a+ 4= 0 ⇔ 2b – 2a + 2= 0 ⇔ 2b= 2a- 2 ⇔ b= a- 1

=>

Khi đó :

Dấu “=” xảy ra khi

Đường thẳng Δ đi qua điểm A và vec tơ chỉ phương

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn B.

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng mặt cầu (S): ( x-1)² + (y+3)²+ (z+ 1)² = 29 và A( 1; -2; 1). Đường thẳng Δ cắt d và (S) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Phương trình đường thẳng Δ là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+Điểm M thuộc đường thẳng d nên M( 2+ t; 1+ 2t;1- t)

+ Do A là trung điểm MN nên tọa độ N( -t; - 5- 2t;1+ t) .

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; -2; 1) và có vectơ chỉ phương

=> Có hai đường thẳng thỏa mãn đề bài là:

Chọn C.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng
• Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
• Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
• Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

---