Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng

Bài viết Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng.

Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

- Tìm giao điểm A = d₁ ∩ (P); B = d₂ ∩ (P)

- d là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

- Giao điểm A của d₁ và (P) có tọa độ (1 – t; t; 4t)

Thay vào phương trình mặt phẳng (P) có: t + 2. 4t = 0 ⇔ t = 0 => A (1; 0; 0)

- Giao điểm B của d₂ và (P) có tọa độ ( 2 – t’; 4 + 2t’; 4)

Thay vào phương trình mặt phẳng (P) có: (4 + 2t’) + 2.4 = 0 ⇔ t = - 6 => B (8; -8; 4)

- Ta có:

Vậy phương trình của d là :

Chọn B.

Ví dụ 2: Viết phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): x – y – 2z + 3 = 0 và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

- Giao điểm A của d₁ và (P) có tọa độ (2t-1;-t+1;t+1)

Thay tọa độ A vào phương trình (P) có:

(2t-1)-( -t+1)-2(t+1)+3 = 0 ⇔ 2t- 1 + t – 1- 2t- 2+ 3= 0

⇔ t- 1= 0 nên t=1 => A (1; 0; 2)

- Giao điểm B của d₂ và (P) có tọa độ (t+1;t+2;2t-1)

Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) Có: (t+1)-(t+2)-2(2t-1)+3 = 0 ⇔-4t+4=0 nên t=1 => B (2; 3; 1)

-Ta có

Vậy phương trình của d là :

Chọn A

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Đường thẳng d nằm trong (P): x+2y- 3z – 2= 0 và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ lần lượt tại A và B. Tính AB?

A. 8

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi A là giao điểm của d₁ và( P)

Tọa độ A( 2- t; 1+ 3t; 1+ 2t). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P) ta được: 2- t + 2( 1+ 3t) – 3( 1+ 2t) = 0 ⇔ 2- t + 2+ 6t – 3 – 6t= 0 ⇔ - t + 1= 0 ⇔ t= 1 nên A( 1; 4; 3)

+ Gọi B là giao điểm của d₂ và( P)

Tọa độ B( 1-3t; - 2+ t; - 1- t). Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) ta được:

1- 3t + 2( - 2+ t) – 3( - 1- t) - 2 = 0

⇔ 1- 3t – 4 + 2t + 3+ 3t – 2= 0

⇔ 2t – 2= 0 ⇔ t= 1 nên B ( -2; - 1; -2)

=>

Chọn D.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ; và mặt phẳng (P): x- y - 2z + 3= 0. Biết đường thẳng Δ nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ . Phương trình Δ là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi A; B lần lượt là giao điểm của Δ với d₁; d₂

Do Δ⊂(P)⇒A,B cũng chính là giao điểm của (P) với

Khi đó :

Suy ra phương trình

Chọn A.

Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Đường thẳng d nằm trong (P): x+2y- z + 1= 0 và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ . Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A.(9;-8; -7)

B. ( 9; 1; 4)

C. ( 6; 9; -2)

D. (-2; 1; -2)

Lời giải:

+ Gọi A là giao điểm của d₁ và( P)

Tọa độ A( 2t; 3; 1- t). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P) ta được: 2t + 2.3 – ( 1- t) + 1= 0 ⇔ 3t + 6= 0 ⇔ t= - 2 nên A( - 4; 3; 3)

+ Gọi B là giao điểm của d₂ và( P)

Tọa độ B( 1- t; -2+ 2t; - t). Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) ta được:

1- t + 2( - 2+ 2t) + t + 1= 0

⇔ 4t - 2= 0 ⇔ t= 1/2

=>

+ Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

Chọn A.

Ví dụ 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm M( 1; 2; 1); N( 0;1; 2) và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P): x- 2y+ z = 0 cắt đường thẳng d và MN?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Phương trình đường thẳng MN:

Đường thẳng MN đi qua M( 1; 2; 1) và có vecto chỉ phương nên có phương trình:

+ Gọi A là giao điểm của d và( P)

Tọa độ A(- 1+ 2t; - 2t; 1+ t). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P) ta được: - 1+ 2t – 2( - 2t)+ 1+ t = 0 ⇔ 7t = 0 ⇔ t= 0 nên A( -1; 0; 1)

+ Gọi B là giao điểm của MN và( P)

Tọa độ B( 1-t; 2- t; 1+ t). Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) ta được:

1- t – 2( 2- t) + 1+ t= 0 ⇔ 2t – 2= 0

⇔ t= 1 nên B( 0; 1; 2)

+ Đường thẳng Δ chính là đường thẳng AB: đi qua A( -1; 0;1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình Δ:

Chọn A.

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho các điểm A( 1; 1;1); B(0;1; 2); C( 2; 1; 2). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): x+ y- 2z- 3= 0 đồng thời cắt hai đường thẳng AB và OC?

A.

B.

C.

D. Không có phương trình chính tắc

Lời giải:

+ Phương trình đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1; 1) vecto chỉ phương

=> Phương trình AB:

+ gọi giao điểm của AB và mặt phẳng (P) là M( 1-t; 1; 1+ t) thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: 1- t + 1- 2( 1+ t) – 3= 0 ⇔ 1- t + 1- 2- 2t- 3= 0 ⇔ - 3t – 3= 0 ⇔ t= -1

Suy ra M( 2; 1; 0).

+ Phương trình đường thẳng OC : đi qua O(0; 0;0) và có vecto chỉ phương nên phương trình OC là:

+ gọi giao điểm của OC và ( P) là N( 2t; t; 2t) thay vào phương trình (P) ta được : 2t + t – 2.2t – 3= 0 ⇔ - t- 3= 0 ⇔ t= - 3 nên N( -6; -3; - 6)

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng MN đi qua M( 2; 1; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d là:

Chọn A.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; 2; 4); B(-3; -2; 2) và C( 1; -2; -1). Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): - 2x+ y+z-5= 0 đồng thời cắt đường thẳng AB và CO tại M và N . Tìm tọa độ vecto ?

A. ( 1; 2; - 3)

B. ( 0; 2; -2)

C. (0; -2; 2)

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Viết phương trình đường thẳng AB: đi qua A( 1; 2; 4) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình AB:

Gọi giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là M( 1+ 2t; 2+ 2t; 4+t).

Thay tọa độ điểm M vào phương trình ( P) ta được :

- 2( 1+ 2t) + 2+ 2t+ 4+ t – 5= 0

⇔ - 2- 4t + 2+ 2t +4+ t- 5= 0

⇔ - t – 1= 0 ⇔ t= -1 nên M( - 1; 0; 3) .

+ Viết phương trình đường thẳng OC: đi qua O(0; 0; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng OC:

Gọi giao điểm của đường thẳng OC và (P) là N( t; - 2t; - t) thay vào phương trình (P) ta được : - 2t+ (-2t)+ (-t) – 5= 0 ⇔ - 5t – 5= 0 ⇔ t= - 1 nên N( -1; 2; 1)

=>

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Viết phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P):x- 2y = 0 và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

- Giao điểm A của d₁ và (P) có tọa độ ( t; t; 2- t)

Thay vào phương trình mặt phẳng (P) có: t- 2t = 0 ⇔ t = 0 => A ( 0; 0; 2)

- Giao điểm B của d₂ và (P) có tọa độ ( 2 – t’; 3; 2t)

Thay vào phương trình mặt phẳng (P) có: 2- t’- 2.3 = 0 ⇔ t’ = - 4 => B (6; 3; - 8)

- Ta có:

Vậy phương trình của d là :

Chọn C.

Câu 2:

Viết phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): x +2y – 2z + 3 = 0 và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

- Giao điểm A của d₁ và (P) có tọa độ (- t; -1+2t;1+t)

Thay tọa độ A vào phương trình (P) có: - t+ 2( - 1+ 2t) – 2( 1+ t)+ 3= 0 ⇔ - t- 2 + 4t – 2- 2t + 3= 0 ⇔ t – 1= 0 ⇔ t= 1 nên A ( - 1; 1; 2).

- Giao điểm B của d₂ và (P) có tọa độ (-t;t; -1-2t)

Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) Có:

- t+ 2t – 2( -1- 2t) + 3= 0

⇔ - t + 2t + 2+ 4t + 3= 0

⇔ 5t + 5= 0 ⇔ t= -1 nên B(1; -1; 1)

-Ta có

Vậy phương trình của d là :

Chọn D

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Mặt phẳng ( P) cắt các trục tọa độ lần lượt tại A(1; 0; 0); B( 0; 2; 0) và C( 0; 0; 2). Đường thẳng d nằm trong (P)và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ lần lượt tại M và N. Tính MN?

A. 8

B.

C.

D.

Lời giải:

+Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (P) là: ⇔ (P): 2x+ y + z- 2= 0

+ Gọi M là giao điểm của d₁ và( P)

Tọa độ M( -t; 1- t; 1+ 2t). Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được:

2( -t) + ( 1- t) + ( 1+ 2t) – 2= 0

⇔ - 2t + 1- t + 1+ 2t – 2= 0

⇔ - t = 0 ⇔ t= 0 nên M( 0; 1; 1) .

+ Gọi N là giao điểm của d₂ và( P)

Tọa độ N( 1; 3+ t; -2- 2t). Thay tọa độ điểm N vào phương trình (P) ta được:

2. 1+ 3+ t – 2- 2t – 2= 0

⇔ -t + 1= 0 ⇔ t= 1 nên N( 1; 4;- 4)

=> Độ dài

Chọn B

Câu 4:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng . Biết đường thẳng Δ nằm trên mặt phẳng (Oxy) và cắt hai đường thẳng d₁; d₂. Phương trình Δ là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Mặt phẳng ( Oxy) có phương trình z= 0

+ Gọi giao điểm của d₁ và mp( Oxy) là A( 2t; - 2- t; t) thay vào phương trình (Oxy) ta được : t= 0

=> tọa độ A( 0; - 2; 0) .

+ Gọi giao điểm của d₂ và mp( Oxy) là B( 2- 2t; t; -2- 2t) thay vào phương trình ( Oxy) ta được : - 2- 2t= 0 ⇔ t= - 1 nên B( 4; - 1; 0)

+ Đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua A( 0; -2; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng AB:

Chọn C.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Mặt phẳng (P) song song với mp( Q): x- 2y- 2z= 0 và đi qua điểm I( 1; 1; 1). Đường thẳng d nằm trong (P) và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ .Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A.(- 4; -15;13)

B. ( - 4; 12; - 13)

C. ( 4;- 13; 15)

D. (- 2; 4; - 7)

Lời giải:

+ Viết phương trình mặt phẳng (P):

Do mp(P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x- 2y- 2z + D= 0

Do điểm I( 1; 1; 1) thuộc mặt phẳng ( P) nên thay tọa độ điểm I vào ta được : 1- 2.1- 2. 1+ D= 0 ⇔ D= 3

Vậy phương trình mp (P): x- 2y - 2z + 3= 0

+ Gọi A là giao điểm của d₂ và( P)

Tọa độ A( 1- t; - 2t; t). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P) ta được: 1- t – 2(-2t ) - 2t + 3 =0 ⇔ t= -4

=> Tọa độ A( 5; 8; - 4)

+ Gọi B là giao điểm của d₁ và( P)

Tọa độ B( 1; -2+ t; -1- 2t). Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) ta được:

1 - 2( - 2+ t) – 2( - 1- 2t) + 3= 0

⇔ 1+ 4- 2t + 2+ 4t + 3= 0

⇔ 2t + 10= 0 ⇔ t= - 5

=> Tọa độ B( 1; - 7; 9 )

+ Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

Chọn A.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm M(1; 1; 1); N(2; -3;1) và đường thẳng Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P): 2x+y+ 2 z = 0 cắt đường thẳng d và MN?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Phương trình đường thẳng MN:

Đường thẳng MN đi qua M(1; 1;1) và có vecto chỉ phương nên có phương trình:

+ Gọi A là giao điểm của d và( P)

Tọa độ A ( - t; 2t; 1+ t). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P) ta được:

2( - t) + 2t +2( 1+ t) = 0

⇔ - 2t + 2t + 2+ 2t= 0

⇔ t= - 1 nên A( 1; - 2; 0)

+ Gọi B là giao điểm của MN và( P)

Tọa độ B( 1+ t;1- 4t;1 ). Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) ta được:

2( 1+ t) + ( 1- 4t) + 2= 0

⇔

+ Đường thẳng Δ chính là đường thẳng AB: đi qua A(1; -2; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình

Chọn A.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho các điểm A( 2; 1; 1); B( 2; 1; 0); C(1; 0; - 2). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): x+ y+ z- 2= 0 đồng thời cắt hai đường thẳng AB và OC?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Phương trình đường thẳng AB: đi qua A(2;1;1) vecto chỉ phương

=> Phương trình AB:

+ gọi giao điểm của AB và mặt phẳng (P) là M(2;1; 1- t) thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: 2+ 1+1- t – 2= 0 ⇔ t= 2

=> Tọa độ M(2;1; -1)

+ Phương trình đường thẳng OC: đi qua O(0; 0;0) và có vecto chỉ phương nên phương trình OC là:

+ gọi giao điểm của OC và ( P) là N(t; 0; -2t) thay vào phương trình (P) ta được : t+ 0 + (-2t) – 2 = 0 ⇔ t= - 2

=> tọa độ N( - 2; 0; 4)

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng MN đi qua M( 2; 1; - 1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d là:

Chọn D .

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( - 2; 0; 1); B( - 1; 1; 2) và Đường thẳng . Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): - 3x+ y+ z- 1= 0 đồng thời cắt đường thẳng AB và Δ tại M và N . Tìm tọa độ vecto ?

A.

B.

C. (0; 2;- 4)

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Viết phương trình đường thẳng AB: đi qua A( - 2; 0; 1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình AB:

Gọi giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là M( - 2+ t; t; 1+ t).

Thay tọa độ điểm M vào phương trình ( P) ta được :

- 3( - 2+ t) + t + 1+ t – 1= 0

⇔ t= 6 nên M( 4; 6; 7)

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và (P) là N(1- t;2; 2t ) thay vào phương trình (P) ta được : - 3( 1- t) + t + 1+ t – 1= 0

⇔ - 3+ 3t + 2t= 0

⇔

=>

Chọn B.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng
• Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
• Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
• Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

---