Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường đẳng d (cực hay)

---

---

Phần dưới là Chuyên đề tổng hợp Lý thuyết và Bài tập Toán 12: Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường đẳng d có đáp án. Bạn vào tên bài hoặc Xem chi tiết để theo dõi các chuyên đề Toán 12 Hình học tương ứng.

Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường đẳng d (cực hay)

Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

• Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và đi qua 2 điểm A, B Xem chi tiết
• Dạng bài: Mặt cầu có tâm thuộc d, cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r và tâm I cách mặt phẳng (P) một khoảng h. Xem chi tiết
• Dạng bài: Mặt cầu có tâm thuộc d, cắt đường thẳng Δ theo một dây cung có độ dài l và tâm I cách đường thẳng Δ một khoảng là h. Xem chi tiết
• Dạng bài: Mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và thỏa mãn một điều kiện cho trước Xem chi tiết

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và đi qua 2 điểm A, B

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng d về dạng tham số:

Tâm I thuộc đường thẳng d nên I (x₀+at; y₀+bt; z₀+ct)

Mặt cầu đi qua 2 điểm A, B cho trước nên IA = IB

⇒ IA²= IB²

⇒ Tìm được t

⇒ Tọa độ tâm và bán kính ⇒ Phương trình mặt cầu

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho các điểm A (1; 3; 1); B(3; 2; 2). Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oz

Lời giải:

Do tâm I thuộc trục Oz nên I (0; 0; z)

IA² =1² +3² +(z-1)²

IB²=3² +2²+(z-2)²

Do mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB

⇒ IA²= IB²

⇒ 1² +3² +(z-1)²=3² +2²+(z-2)²

⇔ 2z=6 ⇔ z=3

⇒ I (0; 0; 3); R² =IA² =14

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

x² +y² +(z-3)² =14

Bài 2: Cho các điểm A (0; 1; 3) và B (2; 2; 1) và đường thẳng Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d

Lời giải:

Phương trình tham số của

Gọi I là tâm của mặt cầu, do I thuộc d nên I (1+2t; 2 – t; 3 – 2t)

Ta có: IA²= (1+2t)²+(2-t-1)²+(3-2t-3)²=9t²+2t+2

IB²= (1+2t-2)² +(2-t-2)² +(3-2t-1)²= 9t² -4t+5

Do mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB

⇒ IA²= IB²

⇒9t²+ 2t +2= 9t² -4t+5

⇔ t=1/2

⇒ I(2; 3/2;2); R²= IA²=21/4

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là

(x-2)² +(y-3/2)² +(z-2)² =21/4

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường đẳng d và cắt mặt phẳng P

Dạng bài: Mặt cầu có tâm thuộc d, cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r và tâm I cách mặt phẳng (P) một khoảng h.

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng d về dạng tham số:

Tâm I thuộc đường thẳng d nên I (x₀+at; y₀+bt; z₀+ct)

Sử dụng công thức

d(I;(P))

d(I;(P))=h

⇒ Tìm được t ⇒ Tọa độ tâm

Gọi R là bán kính mặt cầu

⇒ R=√(r² +h² )

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

và (P): 2x – y – 2z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc Δ; I cách (P) một khoảng bằng 2 và (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn giao tuyến (C) có bán kính bằng 3.

Lời giải:

Phương trình tham số của

I thuộc Δ nên I (-t; -1 + 2t; 1+ t)

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

h=d(I;(P))=|-1-2t|

Theo đề bài, I cách (P) một khoảng bằng 2 nên d(I;(P))=2

⇔ |-1-2t|=2

Gọi R là bán kính của mặt cầu

Ta có: R=√13

Vậy có hai phương trình mặt cầu thỏa mãn là:

(x+1/2)² +y² +(z-3/2)²=13

(x-3/2)² +(y+4)² +(z-1/2)²=13

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 3y – z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm E thuộc tia Ox sao cho mặt phẳng (P) cách E một khoảng bằng √14 và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn có đường kính bằng 4.

Lời giải:

Tâm E thuộc tia Ox nên E (a; 0; 0)

Khoảng cách từ E đến mặt phẳng (P) là:

d(E;(P))

Theo giả thiết, khoảng cách từ E đến mặt phẳng (P) bằng √14

= √14 ⇔ |2a-2|=14

Gọi R là bán kính mặt cầu

Ta có: R

= √18

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn:

(x-8)² +y² +z²=18

(x+6)² +y² +z²=18

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và cắt đường thẳng

Dạng bài: Mặt cầu có tâm thuộc d, cắt đường thẳng Δ theo một dây cung có độ dài l và tâm I cách đường thẳng Δ một khoảng là h.

Phương pháp giải

Gọi M (a; b; c) thuộc Δ, u→ là một vecto chỉ phương

Khi đó, khoảng cách từ I đến đường thẳng Δ được tính theo công thức:

h=d(I;(d))=

⇒ Tìm được t ⇒ tọa độ điểm I

Gọi R là bán kính mặt cầu

⇒ R²=(l/2)² +h²

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng , t∈R và ,t' ∈ R. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I ∈∆₁, biết Δ₂ cắt mặt cầu theo dây cung có độ dài là 8 và I cách Δ₂ một khoảng bằng 3

Lời giải:

Tâm I ∈Δ₁ nên I(1;-t; -2+t)

Gọi R là bán kính của mặt cầu

⇒ R² =(l/2)² +h² =(8/2)² +3²=25

Ta có: M (3; -2; 0) ∈Δ₂, một Vecto chỉ phương của Δ₂ là u→=(0;1;1)

IM→ =(2; -2+t;2-t)

⇒ [IM→ ; u→ ]=(t-4;-2;2)

Khi đó, khoảng cách từ I đến Δ₂ là:

d(I; Δ₂ )

=3 ⇔ t² -8t +24 =18

Với t=4 +√10 thì I(1; -4 -√10;2 +√10)

Với t=4 -√10 thì I(1; -4 +√10;2 -√10)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)² +(y+4 +√10)² +(z-2-√10)²=25

(x-1)² +(y+4 -√10)² +(z-2+√10)²=25

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng , t∈R và , t'∈R. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I ∈Δ₁ và I cách Δ₂ một khoảng bằng 3, cho biết mặt phẳng (P): 2x + 2y – 7z = 0 cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn giao tuyến có bán kính r = 5.

Lời giải:

Tâm I thuộc Δ₁ nên I (t; -t; 0)

Điểm M (5; -2; 0) thuộc Δ₂ và một vecto chỉ phương là u→=(-2;0;1)

IM→=(5-t; -2+t;0)

⇒ [IM→ ; u→ ]=(t-2;t-5;2t-4)

Khi đó, khoảng cách từ I đến Δ₂ là:

d(I; Δ₂ )

=3 ⇔ 6t² -30t+45=45

+ Điểm I₁(0;0;0) thuộc mặt phẳng (P) nên bán kính của đường tròn giao tuyến là bán kính của mặt cầu.

Phương trình mặt cầu là:

x² +y² +z²=25

+ Điểm I₂ (5; -5;0) thuộc mặt phẳng (P) nên bán kính của đường tròn giao tuyến là bán kính của mặt cầu.

Phương trình mặt cầu là:

(x-5)² +(y+5)² +z²=25

Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

---

---

---